Инверсия на плоскости

федеральное государственное бюджетное  образовательное учреждение высшего  профессионального образования  «Красноярский государственный  педагогический университет им. В. П. Астафьева»

институт математики, физики и информатики

 

 

 

РЕФЕРАТ

Инверсия на плоскости

 

 

 

Выполнила:

Студентка 12 группы

Копачёва Ю.Н.

Проверил:

Доцент М. А. Кейв

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г. Красноярск 2012г.

Оглавление:

 

Введение………………………………………………………………3

§1. Вводные понятия…………………………………………………5

§2. Понятие инверсии плоскости……………………………………6

§3. Аналитическое выражение  инверсии…………………………...8

§4. Образы прямых и окружностей  при инверсии…………………10

§5. Инвариантные окружности инверсии…………………………..13

§6. Свойства углов и  расстояний при инверсии……………………16

§7. Инверсия и гомотетия……………………………………………20

§8. Применение инверсии при решении задач на построение……22

§9. Применение инверсии при решении задач на доказательство..30

Заключение…………………………………………………………...34

Литература……………………………………………………………35

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

В геометрии основную роль играют различные преобразования фигур. В курсе геометрии более подробно изучаются движения и гомотетии, а также их приложения. Важной особенностью этих преобразований является сохранение ими природы простейших геометрических образов: прямые переводятся в прямые, а окружности в окружности. Инверсия представляет собой более сложное преобразование геометрических фигур, при котором прямые уже могут переходить в окружности, и наоборот. При этом утверждение о том, что прямые и плоскости —   это окружности и сферы, проходящие через некоторую «идеальную» точку, называемую «бесконечно удаленной точкой» может быть заменено на достаточно понятное утверждение о том, что прямые и плоскости представляют собой «окружности и сферы бесконечного радиуса» . Такой подход позволяет дать в применении к задачам элементарной геометрии единообразную методику изучения. Это, прежде всего, относится к задачам на построение и к некоторым задачам на доказательство. Следует отметить, что рассмотрение указанных разделов элементарной геометрии без применения инверсии связано с привлечением разнообразных, большей частью искусственных построений, носящих частный характер. Поэтому интересно было бы узнать понятие, свойства инверсии и научиться применять эти знания на практике. Из сказанного вытекает актуальность темы реферата.

 

Цель работы - познакомится с понятием инверсии на плоскости, изучить свойства инверсии, выявить связь инверсии и гомотетии, научиться строить образы фигур при инверсии и применять эти знания при решении задач на построение и на доказательство.

 

Поэтому в процессе выполнения работы необходимо было решить следующие задачи:

1. Дать определение  инверсии на плоскости.

2. Изучить основные  свойства инверсии на плоскости,  следующие непосредственно из  определения.

3. Вывести формулы аналитического выражения инверсии на плоскости.

4. Научиться строить  образы точек, прямых и окружностей  при инверсии.

5. Выявить свойства  углов и расстояний между точками  при инверсии, доказать свойства  инверсии, непосредственно следующие  из этого.

6. Изучить ортогональные  и инвариантные окружности инверсии.

7. Выявить связь инверсии  и гомотетии.

8. Научиться решать  задачи на построение и на  доказательство при помощи инверсии.

Объектом исследования является инверсия на плоскости, предметом исследования - свойства инверсии и возможность их применения к решению задач на построение и доказательство.

 

Содержание работы изложено в 9 параграфах.

В §1 дается понятие преобразования множества и преобразования плоскости, понятие гомотетии и некоторые  ее свойства.

В §2 даются понятия инверсии на плоскости, окружности инверсии, степени  инверсии и метод построения образа точки при инверсии.

В §3 выведены формулы  аналитического выражения инверсии на плоскости.

В §4 найдены образы прямой и окружности при инверсии.

В §5 даны определения  ортогональных и инвариантных окружностей  инверсии и доказаны некоторые теоремы, связанные с этими понятиями.

В §6 доказаны свойства углов  и расстояний между точками при  инверсии.

§7 посвящен связи инверсии и гомотетии.

В §8 показано применение определения и свойств инверсии в задачах на построение.

§9 посвящен применению инверсии при решении задач на доказательство.

Все выводы по проделанной  работе сформулированы в «Заключении».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Вводные понятия

Перед тем как перейти к изучению инверсии на плоскости сформулируем определения основных понятий, необходимых для дальнейшего изложения.

Пусть X и Y - два непустых множества. Если каждому элементу х

X ставится в соответствие один-единственный элемент у Y, тo говорят, что задано отображение множества X в множество Y.

Пусть дано отображение f множества X в множество Y. Тогда, если для любых двух различных элементов x₁ и x₂, принадлежащих множеству X, выполняется f(x₁) ≠ f(x₂), то отображение f называется инъективным (или инъекцией).

Отображение f множества X на множество Y называется сюрьективным (или сюрьекцией), если каждый элемент множества Y имеет хотя бы один прообраз.

Отображение называется биекцией множества X на множество Y , если это отображение является инъекцией и сюрьекцией.

Преобразованием множества X называется биекция множества X на себя.

Напомним определение  гомотетии.

Гомотетией с центром в точке O и коэффициентом k≠0 называется преобразование плоскости, которое произвольной точке М ставит в соответствие точку М' такую, что ОМ'=kОМ.

Основное свойство гомотетии: если точка A переходит в A' и B переходит в B' при гомотетии с коэффициентом k, то

= k ∙ .

Некоторые свойства гомотетии

1. При гомотетии отрезок переходит в отрезок.
2. Гомотетия сохраняет величину углов.
3. Композиция двух гомотетий с общим центром и коэффициентами k₁ и k₂,будет гомотетией с тем же центром и коэффициентом k₁k₂. Преобразование, обратное гомотетии с коэффициентом k будет гомотетией с тем же центром и коэффициентом .

(Кокстер Г.С.М. Введение в геометрию)

§2. Понятие инверсии плоскости

Зададим на плоскости  окружность (О, R) и обозначим через Е₀ множество всех точек плоскости без точки О. Каждой точке М множества E₀ поставим в соответствие точку М' так, чтобы она лежала на луче ОМ и

ОМ∙ОМ' = R². (1)

Получаем преобразование множества Е₀, которое называется инверсией относительно окружности (О, R) или просто инверсией. Окружность (О, R) называется окружностью инверсии, точка О — центром инверсии, а R² — степенью инверсии.

Рассмотрим задачу построения образа точки в данной инверсии.

 

Рис. 1

Имеется простой способ построения образа M' данной точки M при инверсии. Если точка M лежит вне окружности инверсии, то проведем через нее касательную MT к окружности ω и перпендикуляр из точки T касания на прямую OM (рис. 1). Основание M' этого перпендикуляра и является образом точки M при инверсии относительно окружности. Из подобия треугольников OMT и O T M' имеем: OM:OT = OT:OM', откуда OM • OM' = OT² = R².

Из определения инверсии следует, что в инверсии соответствие между точками множества Е₀ взаимно, поэтому если M→M', то M'→M, т.е. преобразование, обратное данной инверсии, совпадает с той же инверсией. По этой причине образ M точки M' строится в обратном порядке.

Если M

ω, то OM • OM = R² и поэтому точка M отображается на себя. Значит, и вся окружность ω инверсии отображается на себя (является множеством неподвижных точек). Других неподвижных точек инверсия не имеет.

Отметим простейшие свойства инверсии, непосредственно вытекающие из определения.

1. Если точка M' инверсна точке M, то и обратно: точка M инверсна точке M'.
2. Если при инверсии фигура Ф преобразуется в фигуру Ф', то фигура Ф' преобразуется в фигуру Ф (Рис. 2).

 

Рис. 2

 

3. Каждая точка окружности инверсии инверсна самой себе.
4. Если данная точка лежит вне окружности инверсии, то инверсная ей точка лежит внутри этой окружности, и наоборот.

Это вытекает из равенства (1).

5. Если точка, лежащая вне окружности инверсии, неограниченно удаляется от этой окружности, то инверсная ей точка (внутри базисной окружности) неограниченно приближается к центру инверсии. Верно и обратное предложение.
6. При инверсии луч, исходящий из центра инверсии, преобразуется в себя. При этом часть луча, внутренняя относительно окружности инверсии, преобразуется в его внешнюю часть, и наоборот.

(Атанасян Л.С. Геометрия, ч.1. Учебное пособие для студентов физ.-мат. факультетов пед. институтов с. 188-189)

§3. Аналитическое выражение инверсии

Зададим прямоугольную  декартову систему координат  с началом в центре O инверсии. Если М(х, у)→М'(x', y'), то

=λ при λ>0. При условии ∙ =R², получим λ= .

Эти равенства в координатах  запишутся так:

x'=λx, y'=λy, где λ>0; (2)

xx'+yy'=R². (3)

Подставив значения x' и y' из равенства (2) в равенство (3), получаем: λ(x²+y²)=R². Так как точка М не совпадает с точкой О, то x²+y²≠0, поэтому λ=

. Подставив значение λ в равенство (2), окончательно получаем аналитическое выражение инверсии:

x'=

, y'= . (4)

Так как М'(х', у')→М(х, у) при этой инверсии, то

x=

, y= . (5)

Как видим, эти формулы  не линейные. Поэтому образом произвольной прямой Ax+By+C=0 при C≠0 не будет прямая линия, т.е. инверсия не является аффинным преобразованием.

Пример 1. Определить пропущенные координаты точек А'(5, ...) и

A(..., 2), если известно, что точка А' является образом точки А при инверсии с центром в начале координат и радиусом инверсии R= 5.

Решение.

Используем формулы, полученные ранее. Учитывая, что О(0, 0) и R = 5 можно записать х=

, у = . Подставив известные координаты, легко получить

 

,

x₁ = 10, у₁' = 2 и х₂ = 2,5, y₂' = 4.

 

Следовательно, эта задача имеет  два решения:

1. А'(5, 10), А(1, 2);
2. А'(5, 2,5), А(4, 2).

Пример 2. Пусть центр инверсии совпадает с началом системы координат, а степень инверсии R² = 1. Записать в той же системе координат уравнение образа параболы у - 2рх = 0.

Решение. Подставляя в уравнение параболы х и у из формул аналитического выражения инверсии (5), можно вывести равенство: 

 

.

Умножив это равенство  на

, получим: , или . Заменяя х' на х, у' на у, получим: . Откуда . Известно, что уравнение

Рис. 3 определяет и циссоиду Диоклеса. Если R² = 1, то параметр этой кривой равен

(рис. 3).

(Бакельман И.Я. Инверсия)

§4. Образы прямых и окружностей при инверсии

 

Формулы (4) и (5) дают возможность  найти образы прямых и окружностей  при инверсии.

Теорема 1. Прямая, проходящая через центр О инверсии 
(без точки О), переходит в себя, а прямая, не проходящая 
через центр инверсии, переходит в окружность, проходящую через 
центр инверсии.

Доказательство. Первая часть теоремы непосредственно следует из определения инверсии, поэтому докажем только вторую часть теоремы.

Пусть, Ах+Ву+С=0 — уравнение произвольной прямой, не проходящей через центр инверсии. Если в этом уравнении х и у заменить выражениями (5), то получим уравнение образа этой прямой:

х'²+у'²+А∙R²x'+B∙R²y'=0.  (6)

Этим уравнением задается окружность, проходящая через точку О. ■

Следствие 1. Если прямая d, не проходящая через центр О инверсии, переходит в окружность (О₁, R), то прямые ОО₁ и d перпендикулярны.

Доказательство. Из уравнения (6) находим координаты центра О₁ окружности (О₁, R): О₁ (-

, - ). Таким образом, вектор (- ,- ) перпендикулярен прямой d, заданной уравнением Ах + Ву +1 =0.