Группа. Примеры групп. Простейшие свойства группы. Подгруппа. Гомоморфизм и изоморфизм групп

Вопрос 4. Группа. Примеры групп. Простейшие свойства группы. Подгруппа. Гомоморфизм и  изоморфизм групп.

Определение. Полугруппой  называется непустое множество G с бинарной алгебраической операцией , если выполнена  аксиома:

- бинарная алгебраическая  операция на G ассоциативна, т.е.

Примеры: — полугруппа аддитивная полугруппа натуральных  чисел

- полугруппа

Определение. Моноидом называется непустое множество G с бинарной алгебраической операцией , если выполнены  следующие две аксиомы:

- бинарная алгебраическая операция на G ассоциативна, т.е.

- в множестве  G имеется нейтральный элемент  е относительно операции , т.е.

Примеры: — моноид

- моноид

Определение. Группой  называется непустое множество G с бинарной алгебраической операцией , если выполнены  следующие три аксиомы:

- бинарная алгебраическая  операция на G ассоциативна, т.е.

- в множестве  G имеется нейтральный элемент  е относительно операции , т.е.

- для каждого  элемента аЄG имеется симметричный  элемент аЄG, т.е.

Примеры:

Конечные группы: симметрическая группа подстановок, знакопеременная группа подстановок, группа вращений треугольника.

Бесконечные группы: , .

, — не являются  группами не выполнено 3 условие  группы

1. числовые группы

- группа, где  Q=Q{0}

- группа

- группа, где  R=R{0}

2. группы классов  вычетов

А={0,1,2} — множество остатков от деления на 3.

Образует группу относительно сложения.

АO, т.к. состоит  по крайней мере из трех элементов, операция сложения замкнута на А, выполнены  все аксиомы группы. Значит —  группа.

3. матричные  группы

Множество всех матриц п-го порядка над

4. группы подстановок

Подстановкой множества  А первых п натуральных чисел, начиная с 1 называется взаимно-однозначное  отображение множества А на себя.

Обозначение: .

Множество всех подстановок  множества А обозначим Sп замкнуто относительно умножения т.е. умножение подстановок является бинарной алгебраической операцией, умножение на Sп ассоциативно, существует в Sп нейтральный элемент е относительно умножения и . Поэтому множество Sп образует группу причем конечную порядка п! относительно умножения, которую называют группой подстановок п-ой степени симметрической группой подстановок п-ой степени.

Множество четных подстановок  п-й степени будет по умножению  конечной группой порядка . Эта группа называется знакопеременной группой п-й степени.

Определение. Группа G называется бесконечной имеет бесконечный  порядок, если множество G бесконечно.

Определение. Абелевой группой  называется группа G с бинарной операцией , если выполнена аксиома:

- бинарная операция коммутативна, т.е.

Примеры: — абелева группа.

Определение. Порядком группы g= называется число элементов основного  множества G группы. Если множество G конечно  бесконечно, то