Гармонические функции и их свойства

Содержание.

1. Введение………………………………………………………2

2. Свойства гармонических функций ………………………..  3

3. Список литературы………………………………………….27

                          

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

        1. Введение

Определение 1.1.

Функцию будем называть гармонической функцией в области , если принадлежит классу и удовлетворяет в каждой точке уравнению Лапласа .

( - символ дифференциального оператора). Это уравнение обычно называют  уравнением Лапласа. Однако Лаплас рассмотрел его в 1782 г., а задолго до него это уравнение использовал Л. Эйлер в своих работах по гидродинамике и другим разделам математической физики. Заметим, что в силу линейности уравнения Лапласа - любая линейная комбинация гармонических функций с действительными постоянными коэффициентами снова является гармонической функцией. Потенциалы важнейших векторных полей, рассматривающихся в физике, являются гармоническими функциями, и любую гармоническую функцию можно представлять физически как потенциал некоторого поля. Поэтому и в общем случае гармонические функции часто называют потенциалами, а теорию гармонических функций - теорией потенциала.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

      2. Свойства гармонических функций

2.1. Формулы Грина. Интегральное представление решения.

При изучении уравнений эллиптического типа мы часто будем пользоваться формулами Грина являющимися прямым следствием формулы Остроградского – Гаусса.

   Формула Остроградского  – Гаусса в простейшем случае  имеет вид

                               

где некоторый объем ограниченный достаточно гладкой поверхностью произвольная функция непрерывная в области и дифференцируемая внутри угол между внешней нормалью к и осью В справедливости этой формулы нетрудно убедиться выполняя интегрирование по

Формулу Остроградского – Гаусса обычно записывают в виде

 

где элемент объема углы внешней нормали к поверхности с координатными осями произвольные дифференцируемые функции.

       Если  рассматривать как компоненты некоторого вектора то формулу Остроградского – Гаусса (2) можно записать следующим образом:

 

где      и составляющая вектора вдоль внешней нормали.

Перейдем теперь к выводу формул Грина.

Пусть и функции непрерывные вместе со своими первыми производными внутри и имеющие непрерывные вторые производные внутри

Полагая и пользуясь формулой Остроградского – Гаусса ( приходим к так называемой первой формуле Грина:

 
 

где оператор Лапласа производная по направлению внешней нормали.

Если учесть соотношение

 

то формулу Грина можно представить в виде

 

Меняя местами функции и будем иметь

 

Вычитая из равенства ( равенство получаем вторую формулу Грина

 

Область может быть ограничена несколькими поверхностями. Формулы Грина применимы и в этом случае причем поверхностные интегралы следует брать по всем поверхностям ограничевающим область

        Для  функций  двух переменных имеют место аналогичные формулы Грина. Вторая формула Грина в области с границей имеет вид

 

где элемент дуги вдоль производная по направлению внешней к контуру нормали

Функция   где

                                                                         расстояние между точками   и                                   

   удовлетворяет                                                   Рис. 1                                                                                                                            

уравнению Лапласа при                                                                                                  

Пусть функция непрерывная вместе с первыми производными в области и имеющая вторые производные в Рассмотрим функцию   где   некоторая внутренняя точка области Поскольку эта функция имеет внутри разрыв непрерывности в точки то непосредственно применить вторую формулу Грина в области к функциям и нельзя. Однако функция  ограничена в области с границей где шар радиуса с центром в точке и поверхностью (рис. 1).

      Применяя  вторую формулу Грина (5) к функциям  и в области     получаем

      
 
  В правой части этого равенства только последние два интеграла зависят                    от Вычисляя производную по внешней нормали к области на найдем, что    откуда

          

где среднее значение функции на поверхности Преобразуем третий интеграл:

   

Здесь среднее значение нормальной производной на сфере Подставляя выражения (7) и (8) в формулу (6) и учитывая что   в будем иметь 

Устремим теперь радиус к нулю. Тогда получим: 

1) так как непрерывная функция а ее среднее значение по сфере радиуса с центром в точке                                       2) так как из непрерывности первых производных функции внутри сразу же вытекает ограниченность нормальной производной

  в окрестности точки                 

3) по определению несобственного интеграла   

 

В результате указанного предельного перехода мы приходим к основной интегральной формуле Грина

 

где точка с координатами лежащая на поверхности     

Если точка находится вне области то непрерывна и гармонична во всех точках области Поэтому слева в формуле получим нуль. 

      Рассмотрим  случай когда   принадлежит поверхности                               Предположим что    имеет в касательную плоскость с непрерывными угловыми коэффициентами. Сфера радиуса с центром в пересекает поверхность и делит ее на две части: и  часть  лежит внутри шара Формулу Грина применим к и в области где область ограниченная  и частью сферы лежащей внутри Общая схема рассуждений приведших к (9) остается неизменной. При этом следует лишь учесть что интеграл по стремится к и внести соответствующие изменения в и В результате мы приходим к формуле получающейся из при замене и .

       Объединяя  все случаи запишем основную формулу Грина в виде

 

 

где  принимает следующие значения:

 

Отметим что если точка является конической вершиной поверхности то где величина телесного угла образуемого касательными к в точке

          Для гармонической функции  и формула принимает вид

   

(здесь точка внутри ).

         Таким образом значение гармонической функции в любой внутренней точке области выражается через значение этой функции и ее нормальной производной на поверхности области. При этом предполагается непрерывность функции и ее первых производных вплоть до границы. Отметим сразу же что каждый из интегралов                            

 где и непрерывные функции является гармонической функцией вне поверхности В самом деле поскольку подынтегральные функции и все их производные непрерывны вне поверхности то производные функций любого порядка можно вычислять при помощи дифференцирования под знаком интеграла. Так как кроме того функции

  и  
удовлетворяют уравнению Лапласа по переменным то в силу обобщенного принципа суперпозиции функции также удовлетворяют уравнению Лапласа по переменным

     Отсюда вытекает важное следствие: всякая гармоническая функция внутри области гармоничности дифференцируема бесчисленное множество раз. Отметим также что гармоническая функция аналитична (разлагается в степенной ряд) во всякой точке области В этом можно убедится с помощью рассуждений основанных на том же интегральном представлении

       Аналогичные  формулы имеют место и для  гармонических функций двух независимых  переменных. Пусть  некоторая область на плоскости ограниченная контуром а направление нормали к этому контуру внешнее по отношению к области

      Полагая во второй формуле Грина 

 где расстояние от фиксированной точки до точки и проводя рассуждения подобные тем которые были проведены для трехмерного случая получим основную формулу Грина на плоскости:

 

где  

Если гармоническая внутри функции и лежит внутри то

 

2.2. Некоторые основные свойства гармонических функций.

Установим несколько важнейших свойств гармонических функций.

1. Если функция гармоническая в области ограниченной поверхность то 

где любая замкнутая поверхность целиком лежащая в области

В самом деле подставляя в первую формулу Грина какую – либо гармоническую функцию и функцию сразу же получаем формулу Из формулы следует что вторая краевая задача

 в  на может иметь решение только при условии  

Это свойство гармонических функций можно интегрировать как условие отсутствия источников внутри области

2. Теорема  о среднем значении. Если функция гармонична в некоторой области а какая-нибудь точка лежащая внутри области то имеет место формула

 

где сфера радиуса с центром в точке целиком лежащая в области  
            Эта теорема утверждает что значение гармонической функции в некоторой точке равно среднему значению этой функции на любой сфере с центром в если сфера не выходит из области гармоничности функции

       Применим формулу к шару с центром в точке и поверхностью :

 

Принимая во внимание что

 

(направление внешней  нормали к совпадает с направлением радиуса) сразу же получаем

      Записывая  в виде

    

и интегрируя по от 0 до получаем

     

т.е. есть среднее по объему шара с границей

Для случая двух независимых переменных имеет место аналогичная теорема о среднем значении:

 

где окружность радиуса с центром в точке лежащая в области гармоничности

3. Принцип максимального значения.

Если функция определенная и непрерывная в замкнутой области удовлетворяет уравнению внутри то максимальное и минимальное значения функции достигает на поверхности

Допустим что функция достигает максимального значения в некоторой внутренней точке области Окружим точку сферой радиуса целиком лежащей внутри области Поскольку по предположению есть наибольшее значение функции в то Пользуясь формулой среднего значения и заменяя под интегралом всюду значением получаем

 

Если предположить что хотя бы в одной точке сферы то очевидно что вместо знака будем иметь знак а это приводит к противоречию. Таким образом на всей поверхности имеет место            

Если минимальное расстояние от до поверхности то               для всех точек  лежащих внутри Отсюда следует что в точках принадлежащих общей части и по непрерывности   Это доказывает теорему поскольку мы убедились что максимальное значение достигается в точках границы

Нетрудно убедиться что если область связная и максимальное значение достигается хотя бы в одной внутренней точке то во всей области. Пусть какая-либо другая точка области Соединим точку с точкой ломаной линией длину которой обозначим

Рис. 2

Пусть есть последняя точка выхода линии из   В этой точке Опишем из нее сферу радиуса касающуюся и пусть последняя точка выхода  из в этой точке Продолжая процесс дальше получим что не более чем через шагов где минимальное расстояние от до одна из этих сфер захватит точку откуда следует что В силу произвольности и  непрерывности в замкнутой области заключаем что  всюду включая точки границы. Таким образом из всех гармонических функций только постоянная может достигать своего максимального значения во внутренних точках области.                                               

    Аналогичную теорему  можно доказать и относительно  минимального значения.                    

Следствие 1. Если функции и непрерывны в области гармоничны в и если на то всюду внутри

В самом деле функция  непрерывна в гармонична в и           на

В силу принципа максимального значения всюду внутри откуда и следует наше утверждение.

 Следствие 2. Если функции и непрерывны в области гармоничны в и если на то всюду внутри

Из условий теоремы следует что три гармонические функции: удовлетворяют неравенствам на .

Применяя дважды следствие 1 получаем что всюду внутри или всюду внутри

Следствие 3. Для гармонической в и непрерывной в функции выполняется неравенство всюду в

    Для доказательства следствия 3 достаточно положить и воспользоваться следствием 2.

   Хотя изложение  проводилось для трех измерений однако все результаты переносятся на случай гармонических функций любого числа переменных.

 

 

 

 
                                                                                   

2.3. Единственность и устойчивость решения первой внутренней краевой задачи.

Пусть дана область ограниченная замкнутой поверхностью на которой задана некоторая функция . В простейшем случае, когда граничная функция непрерывна первая внутренняя краевая задача (внутренняя задача Дирихле) для уравнения Лапласа обычно ставится следующим образом.

Требуется найти функцию , которая:

а) определена и непрерывна в замкнутой области включая границу;

) удовлетворяет  внутри области  уравнению

в) принимает на границе заданные значения .

В условии   предполагается гармоничность функции внутри области

Требование гармоничности на границе является излишним, так как оно повлекло бы за собой дополнительные ограничения для граничных значений.