Формирование представления о математике как части человеческой культуры

СОДЕРЖАНИЕ

 

Введение:

1 Формирование представления  о математике как части человеческой  культуры.

2  Роль математики  в современном мире. Основные  этапы развития математики.

3 История науки о числе. 

4  Особенности математического  стиля мышления.

 

1. Формирование представления о математике как части человеческой культуры

Культура – это совокупность материальных, общественных и духовных ценностей, созданных и создаваемых  человечеством в процессе общественно-исторической практики. Культура это «вторая природа», её можно определить и как совокупность смыслов и ценностей, рожденных  творческой активностью человека. На сегодняшний день уже не осталось ни одной области человеческой деятельности, куда в той или иной степени  не проникла бы математика. Математика – «наука наук». Математика – удобный (если не сказать универсальный) инструмент описания мира. А прикладная математика, т.е. математика практическая, ориентированная на конкретные актуальные цели и нужды, является не только средством познания, но также и средством воздействия на окружающий мир. Главная миссия математики в том, чтобы решать. Если возникает проблема (не важно, в какой области) – математика ищет её решение: анализирует проблему и пытается предложить методы её устранения или смягчения. Если появляется какая-то необходимость, ставится какая-то задача (не важно, где: в экономике или в оборонной сфере, в социологии или в компьютерной графике, в медицине или в конструкторском деле, в международных переговорах или в освоении космоса) – то математика, опять же, берётся за решение данной задачи: как получить то, что требуется. И именно специалисты по математике, оказываются порой единственными, кому под силу ту или иную задачу решить. История знает немало примеров, когда решения задач биологических, астрономических, экономических, технических – находились именно математиками, а не биологами, астрономами, экономистами или технарями. Именно математический аппарат позволил совершить революционные открытия в физике. Именно развитая математическая теория обеспечила проектирование всех потрясающих творений современной техники. Государственные потребности в определенном уровне математической подготовки в общеобразовательной школе и социокультурные приоритеты школьного математического образования обычно декларируются в целях обучения математике. Цели всегда типичны и отражают преобладающие в обществе представления относительно «места и роли» математики в системе национальных образовательных ценностей, ее связей с другими направлениями интеллектуально и практической деятельности человека. Современный этап развития общества характеризуется резким ростом его информационной культуры, модернизацией общего образования, поэтому приоритет отдается вкладу математического образования в индивидуальное развитие личности. Развитие, прежде всего, в таких направлениях, как точность и ясность мысли, высокий уровень интеллекта, воля и целеустремленность в поисках и принятии решений, способность ориентироваться в новых ситуациях, стремление к применению полученных знаний, умение и желание постоянно учиться, творческая активность и самостоятельность, способность воспринимать красоту и гармонию мира. Главную цель математического образования – освоение учащимися системы математических знаний как неотъемлемой части человеческой культуры, выработка понимания ими того, что математика является инструментом познания окружающего мира и самого себя.

Мы, педагоги, в ответе за то, какой мир для себя сотворит ребенок. Одно из направлений педагогической деятельности по формированию представлений  о математике как части человеческой культуры – развитие творческих способностей учащихся, способных воспринимать красоту  и гармонию мира. Важна максимальная ориентация на творческое начало в  учебной деятельности учащихся, в  частности, на потребность и умение самостоятельно находить решение не встречавшихся ранее учебных задач. Важнейшим элементом в деятельности учителя является работа над содержанием, включающим глубокое продумывание учебного материала и выявление существенных связей не только внутри одной темы, раздела, но и по всему курсу школьного математического образования. Возникает потребность усиления гуманистической, общечеловеческой направленности математики, обеспечения активного творческого включения учащихся в процесс освоения математического материала. При этом предусматривается:

отбор и структурирование содержания учебного материала;

увеличение доли самостоятельной  работы учащегося;

формирование учебно-познавательной, общекультурной компетенции, овладение социальным опытом в процессе совершенствования преподавания предмета.

Творческие работы ребят, такие как: составление кроссвордов, описание портрета дроби, реклама алгебраических выражений, понятий, написание сочинений  по изучаемым темам — обеспечивают психологически комфортный режим умственной деятельности учащихся, раскрывают их творческие способности. Научить учиться, научить творческой деятельности возможно только через решение задач, требующих  от учеников исследовательской деятельности и творческого подхода. Поэтому  большую роль следует отводить выполнению детьми творческих работ и выступлению  с ними на конференциях и различных  конкурсах. Необходимо использовать все  возможности для того, чтобы показать детям значимость математики в развитии общечеловеческой культуры, поэзии, архитектуры, живописи, музыки, делать всё, чтобы  дети учились с интересом, чтобы  большинство из них испытали и  осознали притягательные стороны математики, ее возможности в совершенствовании  умственных способностей, в преодолении  трудностей изучения других предметов .

 

2  Роль математики  в современном мире. Основные  этапы развития математики.

 

Целью изучения математики является повышение общего кругозора, культуры мышления, формирование научного мировоззрения.

Математика – наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.

Академик Колмогоров А.Н. выделяет четыре периода развития математики:

• зарождение математики,

• элементарная математика,

• математика переменных величин,

• современная математика.

Начало периода элементарной математики относят к VI-V веку до нашей эры. К  этому времени был накоплен достаточно большой фактический материал. Понимание  математики, как самостоятельной  науки возникло впервые в Древней  Греции.

В течение этого периода математические исследования имеют дело лишь с достаточно ограниченным запасом основных понятий, возникших для удовлетворения самых  простых запросов хозяйственной  жизни. Развивается арифметика –  наука о числе.

В период развития элементарной математики появляется теория чисел, выросшая постепенно из арифметики. Создается алгебра, как  буквенное исчисление. Обобщается труд большого числа математиков, занимающихся решением геометрических задач в  стройную и строгую систему элементарной геометрии геометрию Евклида, изложенную в его замечательной книге  Начала (300 лет до н. э.).

В XVII веке запросы естествознания и техники привели к созданию методов, позволяющих математически  изучать движение, процессы изменения  величин, преобразование геометрических фигур. С употребления переменных величин  в аналитической геометрии и  создание дифференциального и интегрального  исчисления начинается период математики переменных величин. Великим открытиям XVII века является введенная Ньютоном и Лейбницем понятие бесконечно малой величины, создание основ анализа бесконечно малых (математического анализа).

На первый план выдвигается понятие  функции. Функция становится основным предметом изучения. Изучение функции  приводит к основным понятиям математического  анализа: пределу, производной, дифференциалу, интегралу.

К этому времени относятся и  появление гениальной идеи Р. Декарта  о методе координат. Создается аналитическая  геометрия, которая позволяет изучать  геометрические объекты методами алгебры  и анализа. С другой стороны метод  координат открыл возможность геометрической интерпретации алгебраических и  аналитических фактов.

Дальнейшее развитие математики привело  в начале ХIX века к постановке задачи изучения возможных типов количественных отношений и пространственных форм с достаточно общей точки зрения.

Связь математики и естествознания приобретает все более сложные  формы. Возникают новые теории. Новые  теории возникают не только в результате запросов естествознания и техники, но и в результате внутренней потребности  математики. Замечательным примером такой теории является воображаемая геометрия Н. И. Лобачевского. Развитие математики в XIX и XX веках позволяет  отнести ее к периоду современной  математики. Развитие самой математики, математизация различных областей науки, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности, прогресс вычислительной техники привели к появлению  новых математических дисциплин, например, исследование операций, теория игр, математическая экономика и другие.

В основе построения математической теории лежит аксиоматический метод. В основу научной теории кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами, а все остальные положения  теории получаются, как логические следствия аксиом.

Основными методами в математических исследованиях являются математические доказательства – строгие логические рассуждения. Математическое мышление не сводится лишь к логическим рассуждениям. Для правильной постановки задачи, для оценки выбора способа ее решения  необходима математическая интуиция.

В математике изучаются математические модели объектов. Одна и та же математическая модель может описывать свойства далеких друг от друга реальных явлений. Так, одно и то же дифференциальное уравнение может описывать процессы роста населения и распад радиоактивного вещества. Для математика важна не природа рассматриваемых объектов, а существующие между ними отношения.

В математике используют два вида умозаключений: дедукция и индукция.

Индукция – метод исследования, в котором общий вывод строится не основе частных посылок.

Дедукция – способ рассуждения, посредством которого от общих посылок  следует заключение частного характера.

Математика играет важную роль в  естественнонаучных, инженерно-технических  и гуманитарных исследованиях. Причина  проникновения математики в различные  отрасли знаний заключается в  том, что она предлагает весьма четкие модели для изучения окружающей действительности в отличие от менее общих и  более расплывчатых моделей, предлагаемых другими науками. Без современной  математики с ее развитым логическими и вычислительным аппаратом был бы невозможен прогресс в различных областях человеческой деятельности.

Математика является не только мощным средством решения прикладных задач  и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры.

 

3 История науки о числе. 

 

Сложность цивилизации, как  в зеркале отражается в сложности  используемых ею чисел. Две с половиной  тысячи лет назад вавилоняне довольствовались натуральными числами, подсчитывая  принадлежащие им несколько овец, сегодня экономисты пользуются метрической  алгеброй для описания взаимосвязей сотен предприятий.

Числовые системы, применяемые  в математике, могут быть расчленены на пять главных ступеней:

1) множество целых положительных  чисел – натуральное множество  N;

2) относительные числа,  включающие положительные числа,  отрицательные числа и нуль;

Свойства ноля:

o нуль есть целое число.

o нуль не является натуральным числом.

o нуль ни отрицательное, ни положительное число

3) рациональные числа,  в которые входят целые числа  и дроби;

4) действительные числа,  включая иррациональные числа,  т.е. числа, которые можно представить  бесконечной непериодической десятичной  дробью, такие как p , е и т.д.

5) комплексные числа, вводящие  в рассмотрение мнимое число.

История развития числа от целого числа до иррационального знакома нам по школьному курсу.

С эпохи Возрождения математики стали использовать числа вида

z=x+iy для решения квадратных уравнений, дискриминант у которых отрицателен, где

i2 = -1, х и у вещественные  числа

Само число z=x+i y называется комплексным, а i – мнимой единицей. Нельзя назвать число i ни положительным, ни отрицательным.

“Мнимые числа поразительный  полет духа божьего…” писал Лейбниц  в 1702 году. Сегодня комплексные числа  прочно вошли в математический аппарат. Языком комплексных чисел написаны многие труды по математике, физике, технике.

Пример. Найти корни уравнения  .

1) Находим дискриминант  .

2) Находим корни уравнения  

Это уравнение имеет комплексные  корни, где i2 = -1.

Итак, число z=x+iy называется комплексным числом. x=Re(z) называется вещественной частной числа, y=Im(z) – называется мнимой частью числа, х и у – вещественные числа.

Например, 1) z=2+3i, Re(z)=2 – вещественная часть числа, Im(z)=3 мнимая часть числа.

2) z=-15+i, Re(z)=-15 – вещественная часть числа, Im(z)=1 – мнимая часть числа.

Свойства комплексных  чисел

1. Комплексное число равно  нулю тогда и только тогда,  когда равны нулю его вещественная  и мнимая части, т.е. z=0 <=> Re(z)=х=0, Im(z)=у=0.

(<=> – знак эквивалентности,  или можно заменить слова тогда  и только тогда, необходимо  и достаточно).

2. Если мнимая часть  числа Im(z)=у=0, то z=х есть вещественное число, т.е. вещественные числа являются частью комплексных чисел.

Например, z=5+i•0=5. Мнимая часть  числа 5 равна 0.

3. Два комплексных числа  равны тогда и только тогда,  когда соответственно равны их  вещественные и мнимые части.  Пусть z1=х1+iy1, z2=х2+iy2, z1=z2 если х1=х2 и y1=y2.

4. Множество комплексных  чисел – неупорядоченное множество,  т.е. из двух комплексных чисел  нельзя указать последующее и  предыдущее. Между двумя комплексными  числами нельзя поставить знаки  неравенства > или <.

Например, z =10+15i, z=2-100i. Нельзя сказать какое из двух чисел больше.

Определение. Числа z1=x+iy и z2=x-iy называются комплексно сопряженными.

Например, z1=-2+3i, z2=-2-3i

z1=1+i, z2=1-i

Действия над комплексными числами.

Если два комплексных  числа складывать, перемножать или  делить друг на друга, то мы получим  новое комплексное число.

 

4. Особенности  математического стиля мышления