Зонная теория твердого тела

     Зонная  теория твёрдого тела — квантовомеханическая теория движения электронов в твёрдом теле.

     В соответствии с квантовой механикой  свободные электроны могут иметь  любую энергию — их энергетический спектр непрерывен. Электроны, принадлежащие изолированным атомам, имеют определённые дискретные значения энергии. В твёрдом теле энергетический спектр электронов существенно иной, он состоит из отдельных разрешённых энергетических зон, разделённых зонами запрещённых энергий.

     основы  зонной теории

     Согласно  постулатам Бора в изолированном атоме энергия электрона может принимать строго дискретные значения (также говорят, что электрон находится на одной из орбиталей).

     В случае нескольких атомов, объединенных химической связью (например, в молекуле), электронные орбитали расщепляются в количестве, пропорциональном числу атомов, образуя так называемые молекулярные орбитали. При дальнейшем увеличении системы до макроскопического кристалла (число атомов более 10²⁰), количество орбиталей становится очень большим, а разница энергий электронов, находящихся на соседних орбиталях, соответственно очень маленькой, энергетические уровни расщепляются до практически непрерывных дискретных наборов — энергетических зон. Наивысшая из разрешённых энергетических зон в полупроводниках идиэлектриках, в которой при температуре 0 К все энергетические состояния заняты электронами, называется валентной зоной, следующая за ней — зонной проводимости. В металлах зоной проводимости называется наивысшая разрешённая зона, в которой находятся электроны при температуре 0 К. 

     В основе зонной теории лежат следующие главные приближения.

1. Твердое тело  представляет собой идеально  периодический кристалл.

2.Равновесные  положения узлов кристаллической  решетки фиксированы, т.е. ядра  атомов считаются неподвижными (адиабатическое  приближение). Малые колебания атомов  вокруг равновесных положений, которые могут быть описаны как фононы, вводятся впоследствии как возмущение электронного энергетического спектра.

3. Многоэлектронная  задача сводится к одноэлектронной: воздействие на данный электрон всех остальных описывается некоторым усредненным периодическим полем.

     Ряд явлений, по существу многоэлектронных, таких, как ферромагнетизм, сверхпроводимость, и таких, где играют роль экситоны, не может быть последовательно рассмотрен в рамках зонной теории. Вместе с тем, при более общем подходе к построению теории твердого тела оказалось, что многие результаты зонной теории шире ее исходных предпосылок.

Зонная  структура различных  материалов

Рисунок 1: Упрощенная зонная диаграмма для проводников, полупроводников и диэлектриков.

В различных  веществах, а также в различных  формах одного и того же вещества, энергетические зоны располагаются по-разному. По взаимному  расположению этих зон вещества делят  на три большие группы (см. Рисунок 1):

• проводники — зона проводимости и валентная зона перекрываются, образуя одну зону, называемую зоной проводимости, таким образом, электрон может свободно перемещаться между ними, получив любую допустимо малую энергию. Таким образом, при приложении к твердому телу разности потенциалов, электроны смогут свободно двигаться из точки с меньшим потенциалом в точку с большим, образуя электрический ток. К проводникам относят все металлы.
• диэлектрики — зоны не перекрываются и расстояние между ними составляет более 3.5 эВ. Таким образом, для того, чтобы перевести электрон из валентной зоны в зону проводимости требуется значительная энергия, поэтому диэлектрики ток практически не проводят.
• полупроводники — зоны не перекрываются и расстояние между ними составляет менее 3.5 эВ. Для того, чтобы перевести электрон из валентной зоны в зону проводимости требуется энергия меньшая, чем для диэлектрика, поэтому чистые (собственные, нелегированные) полупроводники слабо пропускают ток.

     Зонная  теория является основой современной  теории твёрдых тел. Она позволила  понять природу и объяснить важнейшие  свойства металлов, полупроводников  и диэлектриков. Величина запрещённой  зоны между зонами валентности и  проводимости является ключевой величиной  в зонной теории, она определяет оптические и электрические свойства материала.

     Поскольку одним из основных механизмов передачи электрону энергии является тепловой, то проводимость полупроводников очень  сильно зависит от температуры. Также, проводимость можно увеличить, создав разрешенный энергетический уровень  в запрещенной зоне, путем легирования. Таким образом создаются все полупроводниковые приборы: солнечные элементы (преобразователи света в электричество), диоды, транзисторы, твердотельные лазеры и другие.

     Переход электрона из валентной зоны в  зону проводимости называют процессом  генерации носителей заряда (отрицательного — электрона, и положительного — дырки), обратный переход — процессом рекомбинации.

Методы расчета зонной структуры

     Энергетический  спектр электронов в кристалле в  одноэлектронном приближении описывается  уравнением Шредингера:

,

где - периодический потенциал кристалла.

     Нахождение  собственных функций и значений уравнения Шредингера по сути складывается из двух частей. Первая часть - это определение периодического потенциала, вторая сводится к решению уравнения при данном потенциале. Расчет зонной структуры конкретных полупроводников крайне затруднен в силу целого ряда причин, и прежде всего потому, что отсутствует аналитическое выражение для . Поэтому при любых расчетах в формулах содержатся некоторые параметры, значение которых определяется на основе сравнения с экспериментальными данными. Например, ширина запрещенной зоны определяется только экспериментально.

     Наиболее  широко в конкретных расчетах зонной структуры используются следующие  методы:

1)Метод линейных  комбинаций атомных орбит (ЛКАО)

2)Метод присоединенных  плоских волн (ППВ или APW - Augmented Plane Waves)

3)Метод Функции  Грина (Корринги - Кона - Ростокера, или ККР)

4)Метод ортогонализированных плоских волн (ОПВ)

5)Метод псевдопотенциала

6)Различные интерполяционные  схемы ( -метод, эмпирический метод псевдопотенциала, комбинированный метод псевдопотенциала и ЛКАО).