Кристаллическая решётка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кристаллическая решётка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Кристаллическая решетка 

   1.1. Описание структуры кристаллов

   1.2. Физические механизмы  образования кристаллов

   1.3. Дифракция излучения  и частиц на кристаллической решетке

ГЛАВА 2. Дефекты кристаллической  решетки 

   2.1. Точечные дефекты

   2.2. Линейные дефекты - дислокации

   2.3. Поверхностные и объемные  дефекты

ГЛАВА 3. Тепловые свойства кристаллов

   3.1. Методы экспериментального  изучения фононов

   3.2. Колебания атомов в кристаллической решетке

   3.3. Теплоемкость кристаллов

   3.4. Ангармоническое приближение

ГЛАВА 4. Электрические свойства кристаллов

   4.1. Электронные состояния  в твердых телах

   4.2. Диэлектрики полупроводники  и проводники

   4.3. Электропроводность проводников

   4.4. Электропроводность полупроводников

   4.5. Полупроводниковый p-n- переход

ГЛАВА 5. Магнитные свойства твердых  тел 

   5.1. Природа магнитного упорядочения

   5.2. Типы магнитного упорядочения

   5.3. Температура Кюри. Теория среднего поля

   5.4. Спиновые волны и магнитный  вклад в теплоемкость

   5.5. Домены, механизмы перемагничивания  и магнитные свойства

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ГЛАВА 1. Кристаллическая решетка  

  

   

 

 

     Главной отличительной  особенностью кристаллических твердых тел является периодическое расположение в пространстве их атомов, образующих пространственную трехмерную кристаллическую решетку. С периодическим расположением атомов связана и естественная огранка кристаллов. Анизотропное расположение атомов в кристаллической решетке объясняет анизотропию многих физических свойств твердых тел широко используемую в технике. Тепловые свойства кристалла вытекают из анализа колебаний его кристаллической решетки. Рассмотрение движения электронов в периодическом потенциале кристаллической решетки объясняет электрические свойства кристаллов. На атомах кристаллической решетки наблюдается дифракция всех частиц, движущихся внутри кристалла или попавших в него извне: электронов, фотонов, нейтронов. Дифракцией движущихся в кристалле электронов объясняют особенности расположения энергетических уровней электронов в кристалле. Дифракция пучков электронов, фотонов, нейтронов на кристаллической решетке дает самые информативные способы изучения структуры твердых тел. И, наконец, нарушения — дефекты кристаллической решетки очень сильно влияют на все физические свойства твердых тел.

     В этой главе рассматриваются  способы описания кристаллов  с использованием понятия кристаллической  решетки, физические причины образования кристаллов и особенности дифракции частиц на кристаллах, как способа их экспериментального изучения. Анализируемые и объясняемые в последующих главах различные свойства твердых тел, опираются на понятия и концепции, рассмотренные в этой главе.

 

1.1. Описание структуры кристаллов

     Кристалл можно представить  как периодически повторяющиеся  в пространстве одинаковые элементарные  структурные единицы - элементарные  ячейки кристалла, состоящие из  одного, в простейшем случае, или  нескольких атомов каждая.

     Элементарная ячейка  в общем случае имеет форму  косоугольного параллелепипеда.  Все расположенные в ней атомы  принято называть базисом элементарной  ячейки кристалла. Закономерности  строения элементарной ячейки  и базиса, в частности степень  их симметричности определяет многие свойства кристалла, в первую очередь электрические, магнитные и механические. Элементарная ячейка может содержать как один, так и несколько атомов. Так у многих металлов, например железа, хрома, меди, серебра, она состоит из одного атома. В тех случаях когда, кристалл состоит из нескольких химических элементов, например, натрия и хлора, элементарная ячейка будет содержать как минимум два атома: натрий и хлор. Широко распространены кристаллы с элементарной ячейкой, состоящей из нескольких сцепленных друг с другом молекулярных групп, например кристаллы льда или же многих магнитных материалов. Существуют кристаллы, например, белковые, элементарная ячейка которых состоит из молекул, содержащих несколько тысяч атомов.

     Выбор элементарной ячейки. Описание структуры любого кристалла можно и принято проводить, охарактеризовав его элементарную ячейку. Ясно, что выбрать элементарную ячейку одного и того же кристалла можно несколькими способами (рис. 1.1). При таком выборе стремятся к наиболее простой форме ячейки, в частности к наибольшему числу прямых углов, а также к минимальности ее объема. Ячейку с наименьшим объемом принято называть примитивной элементарной ячейкой. Однако часто выбирают элементарную ячейку большего объема, но более простой формы, содержащую несколько наборов атомов, формирующих базис элементарной ячейки. На рис. 1.1 изображена кристаллическая решетка  - железа. Проще всего ее представить как пространство, заполненное кубиками, в углах (1) и в центре (2) которых расположены атомы железа. Такую очень распространенную решетку принято называть объемно-центрированной кубической (ОЦК). Элементарную ячейку можно выбрать как косоугольный параллелепипед (б) с квадратным основанием. Однако за элементарную удобнее выбрать ячейку в 2 раза большего объема, но со всеми прямыми углами (а), она гораздо нагляднее, лучше отражает симметричность в расположении атомов, ее легче анализировать математически.

     Выбор элементарной ячейки ОЦК решетки.

     Выбранную элементарную ячейку характеризуют тремя векторами основных трансляций, совпадающими с ее тремя ребрами, сходящимися в одной точке. Две точки с радиус-векторами  и, связанные соотношением , где - целые числа, описывают одну и ту же точку базиса, но в разных элементарных ячейках кристалла. В таком случае удобно подробно охарактеризовать расположение атомов базиса в пределах одной элементарной ячейки, а всю структуру кристалла получить трансляцией - "тиражированием" данной ячейки, осуществляя параллельные переносы на векторы, называемые векторами трансляций. Можно сказать, что для полного описания структуры кристалла достаточно задать: 1) пространственную решетку, получаемую путем параллельных переносов на все векторы  одной точки и 2) базис.

     Пространственную решетку обычно характеризуют тремя векторами, задав их длины называемые периодами кристаллической решетки и углы  между ними; именно эти параметры обязательно содержатся во всех справочниках по структуре веществ [2,3].

     Базис принято задавать, описав положения всех атомов в одной ячейке набором радиус-векторов, числа задают положения атомов в долях соответственно векторов .

     Число атомов в  базисе удобно подсчитывать, просуммировав  все атомы, отсеченные гранями  ячейки и оказавшиеся внутри  ячейки, складывая также и "половинки", "четвертинки" и "восьмушки" попавших внутрь атомов. В случае ячейки на рис. 1.1(б) внутрь ячейки попадает 8 восьмушек "угловых" атомов, считают, что такой базис состоит из 1 атома с координатами. Заметим, что в кристаллографии координаты атомов не заключают в круглые скобки , поскольку, как увидим далее, круглыми скобками принято обозначать кристаллические плоскости. В случае же ОЦК решетки (см. рис. 1.1 (а)) внутрь ячейки попадает один центральный и 8 восьмушек "угловых" атомов, то есть базис состоит из двух атомов: один занимает положение 1 с координатами, а второй - .

     Структура очень многих соединений аналогична рассмотренной: положение 1 занимают атомы одного элемента, а положение 2 - другого (см. рис. 1.1 (а), отличаются они лишь длиной ребра куба, называемой периодом кубической кристаллической решетки. Такую элементарную ячейку называют структурой типа цезий хлор.

     Симметрия кристаллических  решеток. Кристаллические решетки  большинства веществ имеют как  правило несколько элементов  симметрии. Существует несколько элементов симметрии. С элементом симметрии связана операция симметрии, при выполнении которой пространственная решетка переходит сама в себя. Элементом симметрии часто бывает поворотная ось на углы, называемая соответственно осью вращения (или поворотной осью) 2-го, 3-го, 4-го и 6-го порядка. Приведенные на рис. 1.1 (а) и 1.2 решетки имеет много осей вращения, например оси четвертого порядка, оси третьего порядка, второго порядка. Другими элементами симметрии являются плоскость симметрии (часто ее называют зеркальной плоскостью) и центр симметрии (часто его называют центром инверсии).

 

Рис. 1.2.

Некоторые элементы симметрии куба: а) 3 плоскости симметрии, перпендикулярные ребрам куба; б) 4 из 6 плоскостей симметрии, перпендикулярные диагонали граней куба; в) 2 из 6 осей симметрии 2-го порядка, параллельные диагоналям граней куба, проходящие через середины противоположных ребер; г) 3 оси симметрии 4-го порядка, перпендикулярные граням куба и проходящие через их центры; д) 4 оси симметрии 3-го порядка, параллельные диагоналям куба, проходящие через его вершины.

     Кубическая решетка  (рис. 1.2) имеет три плоскости симметрии,  параллельные граням, шесть диагональных  плоскостей симметрии, перпендикулярных  диагоналям граней, три оси четвертого порядка, шесть осей второго порядка, четыре оси третьего порядка и центр симметрии в центре куба. Существует строгая математическая теория групп, которая описывает в частности допустимые наборы операций симметрии кристаллической решетки [4].

     Типы кристаллических решеток. С помощью теории групп было показано, что все многообразие кристаллов может быть описано с помощью 14 типов кристаллических решеток, изображенных на рис. 1.3. Их принято группировать в семь систем, различающихся видом элементарной ячейки: триклинную, моноклинную, ромбическую, тетрагональную, тригональную, гексагональную и кубическую. Каждая система имеет свои соотношения между величинами  и, приведенными в табл. 1. Некоторые из этих решеток имеют разновидности: примитивная - , объемноцентрированная (ОЦ) - , гранецентрированная (ГЦ) -  и с одной парой центрированных противоположных граней.

 

Рис. 1.3а.

Решетки Браве.

 

Рис. 1.3б.

Решетки Браве.

     1. В триклинной системе  как все углы не равны друг  другу так и все длины сторон  не равны друг другу. Данная решетка имеет центр симметрии в центре элементарной ячейки.

     2. В моноклинной системе  ячейка имеет форму прямой  призмы с ребрами разной длины.  Ячейка может быть с центрированными основаниями прямой призмы  и примитивной. У такой решетки добавляются элементы симметрии: плоскость симметрии, параллельная основанию прямой призмы, и ось вращения 2-го порядка, проходящая через середины оснований.

     3. В ромбической системе  ячейка имеет форму прямоугольного  параллелепипеда с ребрами  разной длины. Ячейка имеет все 4 разновидности. У такой решетки еще больше элементов симметрии: три плоскости симметрии, параллельные граням, и три оси вращения 2-го порядка, проходящие через середины противоположных одинаковых граней.

     4. В тетрагональной системе ячейка имеет форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием. Ячейка может быть примитивной  и ОЦ. По сравнению с предыдущей решеткой у нее появляется ось вращения 4-го порядка и несколько плоскостей симметрии.

     5. В кубической системе ячейка имеет форму куба. Ячейка может быть с центрированными гранями куба (ГЦК - гранецентрированный куб) или центром (ОЦК - объемноцентрированный куб). Это самая симметричная решетка, элементы симметрии которой мы рассматривали выше (см. рис. 1.2).

     6. В гексагональной  системе ячейка имеет форму  прямой призмы с ромбом в  основании, причем угол в ромбе  равен 60 градусам. Часто рассматривают  утроенную ячейку (см. рис. 1.4), имеющую  вид правильной шестигранной  призмы с осью симметрии шестого  порядка (отсюда и ее название).

     7. В тригональной системе ячейку принято выбирать в виде ромбоэдра, все грани которого - одинаковые ромбы с углом при вершине. Заметим, что в случае ОЦК и ГЦК решеток можно выбрать элементарную тригональную ячейку с объемом в 2 и 4 раза меньшим, чем выбранная кубическая (см. задачу. 1.1).

 

Рис. 1.4а.

Элементарные ячейки гексагональной решетки.

 

Рис. 1.4б.

Варианты расположения атомов в  плотноупакованных структурах (б).

     Все другие "типы" решеток, которые казалось бы должны существовать, например изображенная на рис. 1.1 решетка "б" с квадратом в основании, могут быть сведены выбором других векторов  к одному из указанных выше типов.

     Симметрия решетки  определяет анизотропию (различные  значения по различным направлениям) физических свойств. Анизотропия некоторых физических свойств может быть предсказана по виду элементарной ячейки. Например для ромбической, моноклинной и триклинной решеток, обладающих сравнительно малым числом элементов симметрии, наблюдается анизотропия многих характеристик, рассмотренных в главах 3-5, например относительной электрической проницаемости, коэффициента теплопроводности. Эти характеристики веществ обычно описывают матрицами второго порядка [4-6]. В случае симметричной кубической решетки эти величины могут превратиться в скалярные; в случае тетрагональной или гексагональной решетки свойства кристалла могут оказаться одинаковыми в плоскости перпендикулярной ребру с. Достаточно подробно связь симметрии кристаллической решетки с симметричностью тензоров, описывающих различные физические свойства, рассматривается в литературе по кристаллографии, например [4-6].

     Ячейка Вигнера-Зейца.  Существует способ выбора элементарной  ячейки, называемой ячейкой Вигнера-Зейца,  используемой в последующих главах для анализа движения частиц в кристалле. Для выбора ячейки выделяют область пространства "более приближенную" к данному узлу кристаллической решетки, чем к другим. Для этого соединяют выбранный узел с одним из ближайших (или иногда также и следующими за ближайшими) его соседей отрезком, находят его середину и через нее проводят перпендикулярную данному отрезку плоскость, делящую пространство на два полупространства. Выделяют полупространство, содержащее выбранный узел. Такую операцию повторяют со всеми соседями выбранного узла. Пересечение всех выделенных полупространств и даст ячейку Вигнера-Зейца. Можно легко показать, например, что в случае примитивных кубической, тетрагональной и ромбической решеток ячейка Вигнера-Зейца по форме и размерам совпадает с элементарной ячейкой, а ее центр совпадает с узлом решетки. В случае ОЦК и ГЦК решеток ячейка Вигнера-Зейца имеет более сложную форму [1].