Задачи на построение циркулем и линейкой

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И  НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ 

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Институт математики и компьютерных наук

Кафедра алгебры и математической логики

 

 

 

Курсовая работа по дисциплине «Аналитическая геометрия»  по теме

«Задачи на построение циркулем и линейкой.»

 

 

 

 

 

 

 

 

Проверил

к. ф.-м. н., доцент

__________.

Выполнил студент группы

__________.

 

 

 

Тюмень – 2013

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………3

ГЛАВА 1. АКСИОМЫ ЦИРКУЛЯ  И ЛИНЕЙКИ……………………….4

1. Аксиомы циркуля………………………………………………..4
2. Аксиомы линейки………………………………………………..4

ГЛАВА 2. ПОСТРОЕНИЯ ЦИРКУЛЕМ И ЛИНЕЙКОЙ……………….4

2.1 Простейшие построения………………………………………..4

2.2 Основные построения…………………………………………..5

ГЛАВА 3. РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ……………………………………………9

3.1 Этапы решения задач…………………………………………...9

3.2 Пример решения задач…………………………………………10

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ……………………...13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Работа посвящена построению с помощью линейки и циркуля.

Доказательства, да и вычисления в геометрии, как правило, опираются  на какие-то дополнительные построения. Конечно, их можно просто описать, но нужно быть уверенными, что они  действительно возможны. Еще важнее то, что определения геометрических объектов и понятий при строгом  изложении теории должны сопровождаться доказательствами их существования. А  главный метод доказательства существования  в геометрии - конструктивный, т. е. построение нужного объекта с последующим  доказательством, что построенный  объект удовлетворяет нужным условиям.

Построения с помощью  циркуля и линейки — раздел евклидовой геометрии, известный с  античных времён. В задачах на построение циркуль и линейка считаются  идеальными инструментами, в частности: 
линейка не имеет делений и имеет только одну сторону бесконечной длины; 
циркуль может иметь сколь угодно большой или сколь угодно малый раствор.

Цель работы заключается  в рассмотрении решения задач  на построение с помощью циркуля  и линейки.

 

 

 

 

 

 

 

1.Аксиомы циркуля и линейки

1. Аксиомы циркуля

С помощью циркуля можно:

1. Построить окружность, если даны ее центр и отрезок, равный радиусу;
2. Построить любую из двух дополнительных дуг, если даны центр и концы дуг;
3. Отложить отрезок заданной длины от данной точки по данной прямой.

 

2. Аксиомы линейки

С помощью линейки можно:

1. Построить отрезок, соединяющий две данные (построенные) точки;
2. Построить прямую, проходящую через две заданные (построенные) точки;
3. Построить луч, исходящий из данной точки и проходящий через другую данную точку. 
   
2. Построение циркулем и линейкой
1. Простейшие построения

Простейшие построения линейкой: 
1) Построение прямой;

 
2) Построение прямой, проходящей через данную точку;

 

3) Построение прямой, проходящей через две данные точки;

Простейшие построения циркулем: 
Построение окружности с данным центром и данным радиусом;

2. Основные построения

Рассмотрим основные задачи на построение, при решении которых  используют только простейшие построения: 
1) Отложить на данном луче от его начала отрезок, равный данному отрезку; 
Дано: луч ON, отрезок AB.

Устанавливаем раствор циркуля  равным отрезку АB, делаем насечку  на луче из его начала (точка O) и получим  точку P. Отрезок OP будет равен отрезку AB. 
2) Отложить от данного луча в данную полуплоскость угол, равный данному; 
Дано: луч ON, угол ABC.

 
Берем произвольный раствор циркуля  и чертим полукруг, который пересекает луч ON, из точки O (получим точку P), чертим полукруг из точки B (получим точки E и F). Ставим раствор циркуля равный EF, этим раствором делаем насечку  на полукруге (получим точку Q). Строим прямую OQ. Полученный угол QOP будет равен  углу ABC.

3) Построить треугольник по трем сторонам; 
Дано: 3 отрезка длиной a, b, c.

 
Произвольно чертим луч m и откладываем  на нем отрезок a (1 пункт). C- начало, B- конец отрезка. Берем раствор  циркуля, равный b и чертим полукруг из точки C; берем раствор циркуля, равный с и чертим полукруг из точки B. Получим A (точка пересечения полукругов). Строим отрезок CA и BA. Получим треугольник ABC.

4)  Построить биссектрису угла; 
Дано: угол ABC.

 
Берем произвольный раствор циркуля  и из точки B проводим полукруг (получим  точки D и E). Из точек D и E чертим полукруг и получим F (точка пересечения  полукругов). Чертим BF- это будет  биссектриса угла ABC.

5) Из данной точки прямой восстановить к этой прямой перпендикуляр; 
Дано: прямая m, точка C, лежащая на прямой m.

Берем произвольный раствор  и из точки C чертим окружность (получим  точки D и E). Берем раствор циркуля  чуть больше длины DC (или EC) и чертим два полукруга из точек D и E (получим F- одна из точек пересечения полукругов). Строим прямую FC- она будет являться перпендикуляром к прямой m.

6) Построить серединный  перпендикуляр данного отрезка; 
Дано: отрезок AB.

 
Берем произвольный раствор циркуля, чуть длиннее половины отрезка AB (на глаз). Из точек A и B чертим два полукруга (получим точки C и D). Строим прямую через  точки C и D. Прямая CB будет являться серединным перпендикуляром отрезка AB.

7)  Построить середину  данного отрезка; 
Дано: отрезок AB.

 
Берем произвольный раствор циркуля, чуть длиннее половины отрезка AB. Из точек A и B чертим два полукруга (получим  точки C и D). Строим прямую CD. Точка пересечения  прямой CD и отрезка AB (точка E) будет  являться серединой отрезка AB (AE=EB).

8)  Построить прямую, проходящую через данную точку перпендикулярно данной прямой; 
Дано: прямая m, точка A, не лежащая на прямой m.

 
Берем произвольный раствор циркуля  и чертим полукруг из точки A (получим  точки C и B). Берем произвольный раствор  циркуля, чуть длиннее половины отрезка CB и чертим два полукруга из точек C и B (одной из точек их пересечения будет точка D). Строим прямую AD- она будет проходить перпендикулярно прямой m.

3. Решение задач
1. Этапы решения задачи

В решении задач на построение выделяются следующие четыре этапа:

1. Анализ
2. Построение
3. Доказательство
4. Исследование

 

Сейчас подробно рассмотрим каждый этап:

Первый этап- "Анализ". На этом этапе происходит поиск решения  задачи. Из предположения, что задача решена и требуемая фигура построена, пытаются вывести такие следствия, которых окажется достаточно для  того, чтобы требуемую фигуру построить.

Второй этап - "Построение". Построение предлагается поэтапное, шаг  за шагом, выполнение построений с помощью  циркуля и линейки, т. е. подробное  описание последовательности простейших задач на построение, к решению  которых сводится построение фигуры в данный задаче.

Третий этап- "Доказательство". В этом этапе требуется доказать, что построенная фигура действительно  удовлетворяет всем требованиям  задачи.

Четвертый этап- "Исследование". Здесь нужно установить, при каком  выборе начальных данных задача имеет  решение и сколько решений  имеет задача при каждом допустимом выборе начальных данных.

 

 

2. Пример решения задач

Задача о построении правильных многоугольников, вписанных в единичную окружность.  
Пусть дана окружность единичного радиуса. С помощью циркуля и линейки можно вписать в эту окружность правильные треугольник, шестиугольник и т. д. 3*2ⁿ-угольник (рис. 1).  
Аналогично, в единичную окружность можно вписать правильные 2*2ⁿ-угольники (рис. 2), правильные 5*2ⁿ-угольники (рис. 3).

Полностью вопрос о возможности  построений правильных многоугольников  с помощью циркуля и линейки  был исследован Гауссом. А именно, он доказал, что правильный n-угольник может быть построен с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда n представимо в виде произведения степени двойки и различных простых чисел Ферма, т.е. простых чисел вида  . В частности, из этого следует, что правильный семиугольник нельзя построить циркулем и линейкой. Докажем это отдельно с использованием комплексных чисел.  
    Вершины правильного семиугольника в комплексной плоскости, вписанного в единичную окружность, являются корнями уравнения z⁷ - 1 = 0. Один из корней есть z = 1, а остальные удовлетворяют уравнению z⁶ + z⁵ + z⁴ + z³ +z² + z + 1 = 0. Деля на z³, получим уравнение

 

Простые алгебраические преобразования приводят  его к виду

Положив теперь z + 1/z=t, окончательно приходим к уравнению

t³ + t² - 2t - 1 = 0 (*).

Так как комплексное число z представляется в виде z = cosa + i sina, то 1/z = cosa - i sina и, следовательно, t = 2cosa является действительным числом.  
    Как легко видеть, уравнение (*) не имеет рациональных корней и, следовательно, его корни не выражаются с помощью квадратичных операций.  
   Таким образом, задача построения правильного семиугольника циркулем и линейкой неразрешима.

Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними.

Пусть даны два вектора b и c, и угол A.

Нужно построить треугольник  ABC.

Решение:

1. Построить угол А, равный заданному углу.

2. На одной стороне  угла отметить точку С так,  чтобы отрезок АС был равен  заданному отрезку b.

 
3. На другой стороне угла отметить  точку В так, чтобы отрезок  АВ был равен заданному отрезку  с.

 
4. Соединить с помощью линейки  точки В и С.

Построен треугольник  АСВ по двум сторонам и углу между  ними.

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы:

• И. И. Александров Сборник геометрических задач на построение. — Издание восемнадцатое. — М.: Учпедгиз, 1950. 
• А. М. Воронец Геометрия циркуля. — М.-Л.: ОНТИ, 1934.
• В. В. Прасолов Три классические задачи на построение. Удвоение куба, трисекция угла, квадратура круга. — М.: Наука, 1992.
• Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991.
• В. А. Кириченко Построения циркулем и линейкой и теория Галуа // Летняя школа «Современная математика». — Дубна, 2005.