Шпаргалка по "Геометрие"

1. Угол. Виды углов. Теорема о смежных углах. Теорема о вертикальных углах.

 
 
Углом называется фигура, которая состоит из точки (вершины  угла) и двух лучей (стороны угла), исходящих из этой точки.  
 
  
Угол обозначается тремя точками «угол AOB»: берется одна любая точка на одном из лучей угла (точка А), вершина угла (точка О) и одна любая точка на другом луче угла (точка В). Можно обозначить это угол как «угол ВОА». Запись «угол АОВ» и «угол ВОА» обозначают один и тот же угол. В место слова угол употребляют знак ∠. Угол АОВ можно записать так:  
1. ∠АОВ, ∠ВОА ;  
2. ∠О – точка О вершина угла;  
3. ∠(ab) – a и b лучи угла.  
 
Угол разбивает плоскость на две части. Каждая часть называется плоским углом. Дополнительными углами называются плоские углы с общими сторонами.  
  
Если стороны угла являются дополнительными полупрямыми одной прямой, то угол называется развернутым. Угол СОD – развернутый угол с вершиной О. Виды угл.

 

Два угла называются смежными, если у них  одна сторона общая, а другие стороны  являются дополнительными лучами. На рисунке (a2b) и (a1b) смежные углы. 

  
 
Угол называется острым, если его  градусная мера которого больше 0°, но меньше 90°.  
Угол называется тупым, если его градусная мера которого больше 90°, но меньше 180°.  
Угол равный 90°, называется прямым.  
Если угол острый, то смежный с ним угол тупой и наоборот. 

Теорема Сумма смежных углов равна 180?.  
Доказательство.  
Пусть ∠(a2b) и ∠(a1b) – смежные углы. Полупрямая b разбивает развернутый угол (a1a2) на два угла. Значит ∠(a2b) + ∠(a1b) = ∠ (a1a2) = 180?. Т.е. сумма смежных углов равна 180?. Теорема доказана.  
 

Теорема.  
Вертикальные углы равны.  
Доказательство.  
Пусть ∠(a2b2) и ∠(a1b1) – вертикальные углы. Угол (a2b1) является смежным ∠(a2b2) и ∠(a1b1) и дополняет их до 180°, по теореме о сумме смежных углов, следовательно ∠(a2b2) и ∠(a1b1) равны. Теорема доказана.  
 
  
 
∠(a2b2) = ∠(a1b1), ∠(a2b1) = ∠(a1b2) .  
 
  
 
Углом между прямыми a и b называется меньший из углов с вершиной в точке O.  
Углом между прямыми a и b считается угол AOB.

 

 

2.Треугольник. Виды треугольников. Признаки равенства треугольников.  Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, соединяющих эти точки попарно. Точки называются вершинами, а отрезки – сторонами треугольника.      A, B и С – вершины треугольника. AB, BC и CA - стороны треугольника.   Треугольник обозначается указанием его вершин: треугольник ABC.   Вместо слова треугольник употребляется символ Δ. т.е. Δ ABC.   Углом треугольника ABC при вершине A (или углом между сторонами AB и AC) называется угол, образованный лучами AB и AC; ∠A = ∠BAC = ∠CAB.

Виды  треугольников

  
Треугольник называется разносторонним, если любые две стороны его  не равны друг другу. Δ ABC и Δ DEF разносторонни  треугольники.  
 
  
Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним. Δ PKM – равносторонний треугольник.  
На сторонах треугольника ставят черточки, чтобы графически показать равные и различные по длине стороны треугольника. Если число черточек на сторонах треугольника совпадает, то эти стороны равны. PK=PM=KM.  
 
 

Равенство треугольников 
  
 
Два треугольника называются равными (Δ A1B1C1 = Δ A2B2C2), если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны. A1B1=A2B2, B1C1=B2C2, C1A1=C2A2 и ∠ B1A1C1 = ∠ B2A2C2, ∠ A1B1C1 = ∠ A2B2C2, ∠ B1C1A1 = ∠ B2C2A2.  
 
Равные углы обычно графически отмечают одной, двумя или тремя дужками.  
 
Аксиома  
 
Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.  
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Равнобедренный треугольник и его свойства.

  
 
Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти стороны называются боковыми (AC и CB), а третья сторона называется основанием (AB).

Свойства  углов равнобедренного треугольника

 
Теорема  
 
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.  
 
Доказательство.  
 
Пусть ABC – равнобедренный треугольник с основанием AB.  
 
  
 
Треугольник ACB равен треугольнику BCA по первому признаку равенства треугольников. AC = BC, CB = CA, ∠ C = ∠ C. Следовательно ∠ A = ∠ B. Теорема доказана.

 

 

 

 

 

 

4.Признаки параллельности прямых. Свойства параллельных прямых. Теорема о сумме углов в треугольнике.

Признак параллельности прямых

Теорема.  
  
Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны  
Доказательство.  
Пусть прямые a и b образуют с секущей AB равные внутренние накрест лежащие углы.  
  
Допустим, прямые a и b не параллельны, а значит, пересекаются в некоторой точке С.  
Отложим от секущей AB треугольник ABC1, равный треугольнику ABC, так, что вершина С1 лежит в другой полуплоскости, чем вершина С.  
По условию внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых a, b и секущей AB равны.  
Из равенства треугольников следует, что ∠ CAB = ∠ C1BA и ∠ CBA = ∠ C1AB и они совпадают с внутренними накрест лежащими углами. Значит, прямая AC1 совпадает с прямой a, a прямая BC1 совпадает c прямой b. Отсюда следует, что через две различные точки С и С1 проходят две различны прямые a и b. Это противоречит аксиоме о том, что «Через любые две точки можно провести прямую, и только одну». Значит, прямые параллельны. Из теоремы следует:  
Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.  
На основании теоремы доказывается:  
Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.  
Если сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

 

Свойства  параллельных прямых Теорема   Две прямые, параллельные третьей, параллельны.      Доказательство.   Пусть прямые a и b параллельны прямой с. Допустим, что прямые a и b не параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке С. Получается, что через точку С проходит две прямые параллельные прямой с. Но это противоречит аксиоме «Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной». Теорема доказана.   Теорема   Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны.        Доказательство.   Пусть есть параллельные прямые a и b, которые пересекаются секущей прямой с. Прямая с пересекает прямую а в точке A и прямую b в точке B. Проведем чрез точку A прямую a1 так, что бы прямые a1 и b с секущей с образовали равные внутренние накрест лежащие углы. По признаку параллельности прямых прямые a1 и b параллельны. А так как через точку A можно провести только одну прямую параллельную b, то a и a1 совпадают.   Значит, внутренние накрест лежащие углы, образованные прямой a и b, равны. Теорема доказана.   На основании теоремы доказывается:   Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то соответствующие углы равны.   Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то сумма внутренних односторонних углов равна 180 º Сумма углов треугольника Теорема.   Сумма углов треугольника равна 180º.          Доказательство. Пусть дан треугольник ABC. Проведем через вершину B прямую, параллельную прямой AC. Отметим на полученной прямой точку D так, чтобы она лежала в другой полуплоскости относительно прямой BC.   ∠ CAB и ∠ ABD – внутренние односторонние углы для параллельных прямых AC и BD с секущей AB, тогда:   ∠ CAB + ∠ ABD = 180º ⇒ ∠ ABD = 180º - ∠ CAB   ∠ ABD = ∠ ABC + ∠ CBD.   Так как ∠ CBD = ∠ ACB как внутренние накрест лежащие, образованные пересечением параллельных прямых BD и AC c секущей BC, то   ∠ ABD = ∠ ABC + ∠ ACB   Приравниваем ∠ ABD:   ∠ ABC + ∠ ACB = 180º - ∠ CAB   И ∠ ABC + ∠ ACB + ∠ CAB = 180º   Теорема доказана.     Из теоремы следует:   У любого треугольника хотя бы два угла острые.   Доказательство.   Допустим, что у треугольника один угол острый или вообще нету. Тогда, по крайней, у этого треугольника два тупых угла. А градусная мера тупого угла больше 90º. Значит сумма двух тупых углов уже будет больше 180º. А это невозможно, так как сумма всех углов треугольника 180º. Что и требовалось доказать.

 

5. Параллелограмм и его свойства. Признаки параллелограмма.

Параллелограмм. Признаки параллелограмма. 
Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.  
  
Теорема.  
Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.  
  
Доказательство.  
Пусть ABCD – данный параллелограмм, O – точка пересечения диагоналей данного параллелограмма.  
Δ AOD = Δ COB по первому признаку равенства треугольников (OD = OB, AO = OC по условию теоремы, ∠ AOD = ∠ COB, как вертикальные углы). Следовательно, ∠ OBC = ∠ ODA. А они являются внутренними накрест лежащими для прямых AD и BC и секущей BD. По признаку параллельности прямых прямые AD и BC параллельны. Так же доказываем, что AB и DC тоже параллельны. По определению данный четырехугольник параллелограмм. Теорема доказана.  
Теорема.  
Если у четырехугольника пара противоположных сторон параллельны и равны, то четырехугольник – параллелограмм.  
 
  
Пусть ABCD – данный четырехугольник. AD параллельно BC и AD = BC.  
Тогда Δ ADB = Δ CBD по первому признаку равенства треугольников (∠ ADB = ∠ CBD, как внутренние накрест лежащие между прямыми AD и BC и секущей DB, AD=BC по условию, DB – общая).  
Следовательно, ∠ ABD = ∠ CDB, а эти углы являются внутренними накрест лежащими для прямых AB и CD и секущей DB. По теореме признаке параллельности прямых AB и CD параллельны. Значит, ABCD – параллелограмм. Теорема доказана.  
Теорема.  
Если в четырехугольнике противолежащие углы равны, такой четырехугольник – параллелограмм.  
 
  
Доказательство.  
Пусть дан четырехугольник ABCD. ∠ DAB = ∠ BCD и ∠ ABC = ∠ CDA.  
 
  
 
Проведем диагональ DB. Сумма углов четырех угольника равна сумме углов треугольников ABD и BCD. Так как сумма углов в треугольнике равна 180 º,  
∠ DAB + ∠ BCD + ∠ ABC + ∠ CDA.= 360 º. Так как противолежащие углы в четырехугольнике равны, то ∠ DAB + #8736 ABC = 180 º и ∠ BCD + ∠ CDA = 180 º.  
Углы BCD и CDA являются внутренними односторонними для прямых AD и ВС и секущей DC, их сумма равна 180 º, поэтому из следствия к теореме о признаке параллельности прямых, прямые AD и ВС параллельны. Так же доказывается, что AB || DC. Таким образом, четырехугольник ABCD – параллелограмм по определению. Теорема доказана.

 

Свойства  параллелограмма

Теорема. (Свойство диагоналей параллелограмма)  
Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.  
 
  
 
Доказательство.  
 
Пусть ABCD – данный параллелограмм. Проведем диагональ AC. Отметим на ней середину O. На продолжении отрезка DO отложим отрезок OB1, равный DO.  
По предыдущей теореме AB1CD – параллелограмм. Поэтому, прямая AB1 параллельна DC. Но через точку A можно провести только одну прямую, параллельную DC. Значит, прямая AB1 совпадает с прямой AB.  
Также доказывается, что BC1 совпадает с BC. Значит, точка С совпадает с С1. параллелограмм ABCD совпадает с параллелограммом AB1CD. Следовательно, диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Теорема доказана.  
 
Теорема. (Свойство противолежащих сторон параллелограмма).  
 
У параллелограмма противолежащие стороны равны.  
 
  
 
Доказательство.  
 
Пусть ABCD – данный параллелограмм. И пусть его диагонали пересекаются в точке O.  
Так как Δ AOB = Δ COD по первому признаку равенства треугольников (∠ AOB = ∠ COD, как вертикальные, AO=OC, DO=OB, по свойству диагоналей параллелограмма), то AB=CD. Точно также из равенства треугольников ВОС и DOA, следует что BC=DA. Теорема доказана.  
 
Теорема. (Свойство противолежащих углов параллелограмма).  
 
У параллелограмма противолежащие углы равны.  
 
  
 
Доказательство.  
 
Пусть ABCD – данный параллелограмм. И пусть его диагонали пересекаются в точке O.  
Из доказанного в теореме о свойства противолежащих сторон параллелограмма Δ ABC = Δ CDA по трем сторонам (AB=CD, BC=DA из доказанного, AC – общая). Из равенства треугольников следует, что ∠ ABC = ∠ CDA.  
Так же доказывается, что ∠ DAB = ∠ BCD, которое следует из ∠ ABD = ∠ CDB. Теорема доказана.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Прямоугольник и его свойства. Квадрат и его свойства.

Прямоугольник. Признак прямоугольника Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.        Теорема.   Если у параллелограмма все углы равны, то он является прямоугольником.   Доказательство.   Пусть дан параллелограмм ABCD и ∠ A = ∠ B = ∠ С = ∠ D. Углы A и B являются внутренними односторонними, а значит их сумма равна 180 º. По условию они равны, значит каждый из них равен 90 º. Значит, ∠ A = ∠ B = ∠ С = ∠ D = 90 º. А параллелограмм, у которого все углы прямые, есть прямоугольник. Теорема доказана.

Свойства  прямоугольника    Теорема (свойство прямоугольника).     Диагонали прямоугольника равны.          Доказательство.     Пусть ABCD – данный прямоугольник.   Δ DAB = Δ CAB по первому признаку (∠ DAB = ∠ CBA, AD=BC, как противолежащие стороны параллелограмма, AB – общая), поэтому DB=AC. Теорема доказана.

 

 

 

7. Трапеция, ее виды. Теорема о средней линии трапеции. 
   Трапеция

  
Трапецией называется четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны. ABCD – трапеция.  
Параллельны стороны трапеции, называются основаниями трапеции.  
Две другие стороны называются боковыми сторонами трапеции.  
BC и AD – основания трапеции.  
AB и CD – боковые стороны трапеции.  
  
Трапеция EFGI – равнобокая трапеция. У этой трапеции боковые стороны равны. EF = GI.  
Отрезок, который соединяет середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции. ST – средняя линия трапеции

Свойства  трапеции Теорема.   Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.          Пусть ABCD – данная трапеция.EF – средняя линия трапеции.   Проведем через вершину B и точку F прямую. Пусть эта прямая пересекает прямую AD в некоторой точке G.   Δ CFB = Δ FDG по второму признаку равенства треугольников (CF = FD, по построению, ∠ BCF = ∠ ПВА, как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых ВС и DG и секущей CD, ∠ CFB = ∠ DFG, как вертикальные). Значит BC = DG и BF = FG.   Поэтому, средняя линия трапеции EF является средней линией треугольника ABG. По свойству средней линии треугольника EF || AD, а        Теорема доказана.