Применение окружности Аполлония в погони на местности

Согласно задаче 1 точки М₂ и Р совпадают.

Итак, MQ — биссектриса треугольника АВМ, a MP — биссектриса внешнего угла этого треугольника. Поэтому MP перпендикулярен MQ. Но это означает, что отрезок PQ виден из точки М под прямым углом, и, значит, точка М лежит на окружности с диаметром PQ.

Мы доказали, что любая точка  искомого множества лежит на окружности с диаметром PQ. Рассмотрим теперь любую точку М этой окружности, отличную от Р и Q, и убедимся в том, что она принадлежит искомому множеству точек. Проведем отрезок МА₁ так, чтобы отрезок MQ был биссектрисой треугольника А₁МВ. Тогда MP — биссектриса внешнего угла этого треугольника. Докажем, что точки А и А₁ совпадают. По теоремам о биссектрисе треугольника и биссектрисе внешнего угла треугольника имеем:

                                             = и =                                             (2)

откуда =, или = . Но из равенства (1) следует, что

= Тем самым точки А и А_х лежат на отрезке PQ и делят его в одинаковом отношении: =. Следовательно, точки А и А₁ совпадают. Поэтому первую из пропорций (2) можно записать так:=, а поскольку = k(1), то и = k, т. е. точка М принадлежит искомому множеству.

   Итак, искомое множество точек в случае k≠1 — окружность с диаметром PQ.

Радиус этой окружности выражается формулой R =^, ее центр 0₁ лежит на прямой АВ, причем OO₁ = где О — середина отрезка АВ. При k > 1 окружности Аполлония расположены по ту же сторону от серединного перпендикуляра к отрезку АВ, что и точка А, а при 0 < к < 1 — по ту же сторону, что и точка В. (Приложение 3).

Окружности, соответствующие для  данных точек А и В различным значениям к≠1), рассматривались еще во II в. до н. э. древнегреческим математиком Аполлонием в его трактате «О кругах». Поэтому их называют окружностями Аполлония.

Задача 3.

Даны две точки А, В и прямая l, не перпендикулярная к прямой АВ. Для каждой точки М прямой l составим отношение . Построить те точки, в которых это отношение принимает наибольшее и наименьшее значения.

Решение. Сначала проанализируем условие задачи. Рассмотрим какую-нибудь точку М_у прямой l, не лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку АВ. Вычислим отношение k = и рассмотрим окружность Аполлония, определяемую этим числом. Если прямая l и эта окружность пересекаются (приложение 9а), то точки прямой l, лежащие по одну сторону от М₁ (а именно на хорде окружности), находятся внутри окружности, а лежащие по другую сторону от М₁ — вне этой окружности. Следовательно, для точек, лежащих по одну сторону от M₁ отношение больше k, а по другую сторону — меньше k. Поэтому отношение не может принимать в точке М₁ ни наибольшего, ни наименьшего значения. Ясно также, что аналогичная ситуация имеет место для точки С пересечения прямой l с серединным перпендикуляром к отрезку АВ.

Итак, наибольшее и наименьшее значения отношения могут достигаться только в тех точках, в которых прямая l касается окружностей Аполлония (Приложение 9б). Следовательно, в этих точках окружность, проходящая через А и В, должна быть перпендикулярна к прямой l а значит, прямая l проходит через ее центр.

Теперь нетрудно выполнить построение. Сначала построим серединный перпендикуляр к отрезку АВ и отметим точку С его пересечения с данной прямой (Приложение 9в). Затем проведем окружность с центром С радиуса СА. Точки пересечения этой окружности с данной прямой — искомые.

Замечание. Решенная нами задача чрезвычайно полезна для флибустьеров. В самом деле, допустим, что они точно не знают, каково отношение скорости их корабля к скорости испанского галиона. Тогда им нужно построить на карте точку курса галиона, в которой это отношение принимает наименьшее значение (Приложение 10). В этой точке им следует Организовать засаду — встать на якорь и ждать прибытия галиона. Во всяком случае, если в этой точке они не встретят галион, то в любой другой точке они его не встретят и подавно.

 

 

 

 

 

2. Практическая часть

Задача 1.

Условие:

 В банке произошло ограбление, грабители пытаются скрыться  на машине.

Они уезжаю с улицы Ленина на улицу  Блюхера, пытаясь дальше через Берёзовск уехать из города.

Самой близко расположенной к месту  преступления машине пришло сообщение  о грабеже, сотрудники правоохранительных органов, находящиеся в этой машине решили предпринять попытку догнать  грабителей самостоятельно.

По поступившей информации стало  известно, что грабители перемещаются со скоростью в 2,5 раза превышающую  скорость машины ГИБДД. Стало понятно, что просто догнать машину не удастся, нужен план-перехват.

Для этого на карте был построен чертеж, с помощью которого удалось  установить, куда нужно ехать.

Построение:

(Приложение 11)

Строим сначала маршрут грабителей – просто отрезок от их начального положения А до какого – либо места на их маршруте Б, но с учетом длины и времени на погоню.

Строим отрезок от начального положения  машины ГИБДД Г до места Б .

Так как нам известно, что отношение скоростей грабителей и ГИБДД = 2,5:1, то в таком отношении делим отрезок Г Б. Для удобства за одну часть примем 0,5, тогда отношение получается 5:2, и отрезок нужно разделить на 7 частей. Для этого воспользуемся теоремой Фалеса: из точки Г проводим отрезок, не совпадающий с отрезком Г Б. Для удобства его длину можно взять кратной 7. Делим этот отрезок на 7 равных частей и соединяем его конец О с точкой Б.

Теперь проводим 7 параллельных этому  отрезку прямых на равном расстоянии друг от друга(для этого и выбрали подходящую длину отрезка Г О. Точки пересечения с отрезком Г Б разделят его на 7 равных частей.

Получаем отношение 5:2 в точке Х.

Теперь находим еще одно такое  же отношение, только точка Х₁ лежит на прямой, содержащей отрезок Г Б. Для этого можно опять же воспользоваться теоремой Фалеса или же воспользоваться линейкой. Полученный отрезок  ХХ₁ – это диаметр нужной нам окружности. Находим центр окружности(либо построением двух окружностей из концов отрезка, либо опять воспользуемся линейкой), строим её. У нас поучилась одна точка пересечения с отрезком А Б, туда и нужно ехать нашим героям.

Если посмотреть на карту, то нужное нам место будет находиться немного  правее – это перекресток.

Вывод: всё построение занимает меньше минуты, вследствие чего поможет сэкономить много времени на преследование. 

 

Задача 2.

Условие:

Воры скрываются на машине, по рации  сообщили, что их пытаются поймать, но преступники быстрее, маневренней  и хитрей.

Сообщают, что грабители направляются к улице Ленина по улице Блюхера. Наши правоохранительные органы не могут  перекрыть центральную улицу, но могут перекрыть дворы и не дать преступникам свернуть. На это  задание были высланы две специальные  машины с профессиональными полицейскими. Они решили воспользоваться проверенным  способом – окружностью Аполлония. Им важно поймать скрывающихся до конца улицы – так как там уже близок Ново-Московский тракт, а значит и выезд из города.

Известно, что скорость бандитов в 1,5 раза больше скорости 1 опер-группы и в 2 раза больше скорости второй.

 

 Построение:

(Приложение 12)

Строим на карте прямую вдоль всей улицы Ленина – это маршрут бандитов.

Сначала построим окружность Аполлония  для первой опер - группы. Отношение  скоростей 1,5:1.

Строим отрезок от их положения  до конца улицу Ленина(назовем это место Ц).

Разобьем отрезок ПО_г1 на 2,5 части или, для удобности, на 5. Для этого случая воспользуемся теоремой Фалеса – строим отрезок О_г1Е₁, не совпадающий с отрезком О_гЦ. Соединяем точки Е₁ и Ц. Теперь проводим 5 параллельных ему линий на равном расстоянии друг от друга. Точки пересечения с О_г1Ц делят его на 5 частей.

Теперь пользуясь отрезком О_гЕ₁ и предыдущим действием разобьем отрезок О_г1Ц на 3 части и на прямой,содержащей этот отрезок отложим 2 такие части.

У нас получился отрезок, внутри и снаружи разбитый в отношении 1,5:1.

Точки этих отношений представляют собой диаметр окружности Аполлония. Теперь находим точки пересечения  этой окружности с НЦ.

Сюда нужно ехать опер - группе 1.

Теперь построим окружность Аполлония  для второй опер –группы. Отношение скоростей 2:1.

Строим отрезок от из положения до точки Ц.

Разобьем отрезок О_г2Ц на 3 части. Для этого просто воспользуемся линейкой.

Теперь пополам и половину отложим  на прямой, содержащей этот отрезок.

Получаем две точки (по отношению), это наш диаметр.

Строим окружность точки пересечения. Она одна, туда направится вторая опер - группа.

Вывод: мы получили, что точки, куда направятся опер - группы следуют друг за другом. Это значит, что если первая опер - группа не сможет остановить бандитов, то есть шанс на вторую.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение:

Нами был изучен и проанализирован  теоретический материал, связанный  с окружностью Аполлония, были выделены особенности построения эотй окружности, рассмотрены её свойства и различные варианты использования окружности Аполлония в современной жизни.

Теперь мы с уверенностью можем  сказать, что использование окружности Аполлония уместно, и в некоторых  ситуациях даже более практично, чем обыкновенная погоня.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Литература:

1. Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Греции Вавилона и. Перевод с голландского И. Н. Веселовского. М. Физматгиз, 1959.
2. История математики с древнейших времён до начала XIX столетия (под ред. А. П. Юшкевича), том I, М., Наука, 1972.
3. Лютер И. О. К истории задачи Аполлония о построении окружности, касающейся трёх данных окружностей. Историко-математические исследования, 1 (36), № 2, 1996, с. 82-94.
4. Розенфельд Б. . А, Аполлоний Пергский, М. МЦНМО, 2004.
5. Хабелашвили А. В. Задача Аполлония Пергского. Историко-математические исследования, 1 (36), № 2, 1996, с. 66-81.
6. Барабанов О. О., Л Барабанова. П. Алгоритмы решения навигационной разностно-дальномерной задачи - от Аполлония до Коши / / История науки и техники, 2008, № 11, с. 2-21.
7. Кулидж J.L. История конических сечений и поверхностей второго порядка. М.: Мир, 1945. (Переиздание: Дувр, штат Нью-Йорк, 1968)
8. Decorps-Recherches сюр ле coniques Foulquier М. d'Аполлоний де Перг др. leurs commentateurs Грекс. Париж: Klincksieck, 2000.
9. Federspiel М. Заметки критика Sur Le Livre d'coniques я Аполлония де Перге. Ревю де Études Grecques, 107, 1994, p. 203-218.
10. Hogendiuk мировой судья Арабский следы утраченных произведений Аполлоний. Архив для истории физико-математических наук, 35, 1986, p. 187-253.
11. Knorr W.R. Гипербола-строительство в коник, Книга II: Древний Вариации на теоремы Аполлония. Центавр, 25, 1982, стр. 253-291.
12. О. Нойгебауер Исследования по истории древней алгебры II исследования Аполлоний. Источники и исследования по истории математики, астрономии и физики, В2, 1932, С. 215-254.
13. Taisbak С. М. Обнаружение Аполлония "кругах. В: Материалы Третьей Международной конференции по античной математики, Delphi, 1996.
14. Zeuthen H.G. Преподавание конических сечений в древности. Копенгаген, 1886. (Переиздание: Хильдесхайм, Георг Olms, 1966)
15. Г. Штейнгауз «Математический калейдоскоп»
16. Журнал «Квант» 1981г. Вып. 8

 

 

 

 

 

 

Приложения:

Рис. I

 

 

 

 

Рис. II

Рис. III

 

 

 

 

Рис. IV

Рис. V

Рис. VI

Рис. VII

 

 

 

 

Рис. VIII

в)

Рис. IX

 

 

 

 

Рис. X

Рис. XI

Рис. XII