Применение окружности Аполлония в погони на местности

 

Управление образования Администрации 

Кировского района г. Екатеринбурга

Муниципальное Образовательное Учреждение лицей №88

 

Образовательная область: математика

Предмет: геометрия

 

 

       Окружность Аполлония и её практическое применение

 

 

Исполнители: Кувшинов М.В., Хасимьянов Д.Р.

   9 класс

МОУ лицей № 88

Руководитель: Трубаева Н.В.,

учитель математики высшей категории

МОУ лицей № 88

 

 

 

 

 

г. Екатеринбург

2011 г.

Содержание 

Введение                                                                                                                                                       3

Основная часть                                                                                                                                             4

1. Теоретическая часть                                                                                                                               4

1.1 Историческая справка                                                                                                                         4

1.2. Окружность Аполлония и её  свойства                                                                                       4-6

1.3. Окружность Аполлония в задачах                                                                                               7-9

2. Практическая часть                                                                                                                         10-12

Заключение                                                                                                                                                13

Список литературы                                                                                                                                   14

Приложения                                                                                                                                         15-21

 

 

Введение

Когда то давно, ещё во времена пиратов, крестовых походов и т.д. не было никаких систем коммуникаций, электронных  карт, GPS, спутников и прочего.

Но как тогда пираты, ну или  флибустьеры, нападали на корабли? Они  ведь точно знали, где нужно встретиться, или где подождать.

Эти флибустьеры были очень умными – они знали, что такое окружность Аполлония и знали, как ее строить, и пользоваться.

Сейчас этим почти не занимаются из-за ненадобности.

 

 

Цель работы: рассмотреть окружность Аполлония, её свойства. Применить теоретический материал при решение практических задач в современной жизни.

Объект – раздел геометрии.

Предмет – окружность Аполлония и её свойства.

Гипотеза: возможность использования окружности Аполлония в современное время в погоне на местности.

Для достижения поставленной цели были сформулированы следующие задачи:

• Изучить и проанализировать теоретический материал, связанный с окружностью Аполлония.
• Выделить особенности её построения.
• Рассмотреть свойства окружности Аполлония.
• Рассмотреть различные варианты использования окружности Аполлония в современной жизни.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Теоретическая часть

1.1. Историческая справка 

Аполлоний Пергский (ок. 262–170 до н. э.) завоевал среди современников  титул Великого Геометра. Он обучался в Александрии у последователей Евклида, имена которых не сохранились, и стал последним великим представителем александрийской математической школы. Позднее он работал в Пергаме, где создал свой важнейший труд «Коноика» («Конические сечения»), который  и принес ему такую громкую  славу. Только первые четыре книги этого  произведения дошли до нас в подлиннике. Три другие сохранились в арабском переводе, а восьмая, последняя, была утрачена. Работа Аполлония оказала  огромное влияние на развитие не только математики, но и астрономии, механики, оптики. Именно он ввел в язык математики названия «эллипс», «парабола», «гипербола», «фокус», «асимптота».

 

Благодаря позднейшим комментаторам и реставрациям, которыми много занимались в 16-18 вв., мы знаем  и о содержании шести других геометрических работ Аполлония. В одной из них  появляется так называемая «окружность  Аполлония». В другой, изданной Виетом, работе «О касании» рассматривается  следующая задача: построить циркулем и линейкой окружность, касающуюся трех данных окружностей. Решение самого Аполлония не сохранилось, но предпринятые многими авторами попытки его  восстановления и, конечно, привлекательная  формулировка, сделали эту задачу очень популярной.

1.2. Окружность Аполлония и её  свойства

Окружность Аполлония — геометрическое место точек плоскости, отношение  расстояний от которых до двух заданных точек — величина постоянная. Геометрическое место точек плоскости, сумма  квадратов расстояний которых до двух заданных точек фиксирована.

Свойства

Радиус окружности Аполлония равен 

Отрезок PC между точкой на окружности и точкой пересечения ее с прямой AB является биссектрисой самого угла  или угла, смежного с ним

Примером использования окружности Аполлония для решения задач, связанных с нахождением наилучшей  тактики преследования одного корабля другим великое множество. Рассмотрим один из таких примеров.

Флибустьеры с острова Ямайка узнали, что на якоре перед Пуэрто-Бельо  стоит испанский галион, груженый золотом. Как только закончится шторм, галион выйдет в карибское море и возьмет курс на пролив между островом Гаити и Пуэрто-Рико (Приложение 1). Флибустьеры тоже ждут конца шторма, поэтому выйти из Кингстона они могут лишь одновременно с испанцами. Какой курс следует взять флибустьерам, чтобы не разминуться с испанцами, если скорость флибустьерского судна вдвое меньше скорости галиона? (Здесь, конечно, мы упускаем существенный момент: во времена флибустьеров ходили под парусом, поэтому скорость движения существенно зависела от направления ветра. Мы сознательно упрощаем задачу и, погрешив против истории, предполагаем, что оба корабля снабжены двигателями. Впрочем, если угодно, можно считать, что после шторма наступил полный штиль и корабли вынуждены идти на веслах.)

Задача решается следующим образом. Флибустьеры при всех своих отрицательных  качествах были непревзойденными мастерами  в навигации. Поэтому они рассуждали так. Прежде всего нужно найти все точки, в которые их корабль и галион могут попасть одновременно. Скорость их корабля вдвое меньше, чем испанского. Поэтому путь, который они пройдут до момента встречи, также вдвое меньше пути, пройденного испанцами. Значит, все возможные точки встречи лежат на окружности Аполлония, определяемой равенством :=2, где М — точка встречи, а точки А и В соответствуют Кингстону и Пуэрто-Бельо. Начертив на карте эту окружность, флибустьеры увидят, что курс галиона пересекает ее в двух точках. Поэтому, взяв курс на любую из них, они наверняка встретятся с испанцами, если, конечно, испанцев не перехватит кто-нибудь другой. Из этих последних соображений флибустьеры предпочтут ту из двух точек, которая ближе к Пуэрто-Бельо.

Итак, мы решили задачу. Испанцам в ней не повезло. Могло бы, однако, случиться (при других условиях задачи), что нарисованная на карте окружность Аполлония не пересекает курс галиона и даже не касается его. Какой бы вывод сделали флибустьеры в этом случае? Им пришлось бы признать, что догнать испанцев они не могут! Чтобы понять, почему это так, надо более обстоятельно изучить свойства окружностей Аполлония.

Прежде всего из определения  окружности Аполлония, очевидно, следует, что для заданных точек А и В никакие две из окружностей Аполлония не могут иметь общих точек. Значит, либо одна из них лежит внутри другой, либо они лежат вне друг друга. Выясним, какому соотношению между числами k₁ и k ₂, определяющими окружности, соответствует тот или иной случай.

Если оба числа k_l и k₂ больше 1, то каждая из соответствующих им окружностей охватывает точку А. Следовательно, лежать вне друг друга они не могут. Значит, одна из них — та, у которой радиус меньше, — лежит внутри другой. Но R=, поэтому, чем больше k, тем меньше радиус. Таким образом, если, например, k₁ < k₂, то окружность, определяемая числом k₂, лежит внутри окружности, определяемой числом k₁.

Из этого можно сделать важный вывод: множество всех

точек М, определяемых неравенством > к > 1, представляет собой внутренность круга, ограниченного соответствующей окружностью Аполлония (Приложение 2а). Следовательно, множество точек, для которых < k — внешняя часть этого круга.

Из соображений симметрии получим, что  в случае k₁ < 1 и k₂ < 1 картина аналогичная. Но только в этом случае радиус окружности Аполлония тем больше, чем больше k, и, следовательно, внутри другой лежит та окружность, для которой число k меньше (Приложение 2б).

Наконец, если одно из чисел k ₁ или k₂ больше 1, а другое меньше 1, то соответствующие им окружности Аполлония лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра отрезка АВ и, следовательно, вне друг друга. Эти выводы иллюстрирует также рисунок (Приложение 3).

Теперь нам ясны рассуждения  флибустьеров. Действительно, если курс галиона не имеет общих точек с окружностью Аполлония, для которой k = 2, то для любой точки М курса > 2. Значит, догнать галион нельзя.

 Рассмотрим еще одно свойство окружностей Аполлония, не связанное непосредственно с проблемами флибустьеров. Возьмем окружность Аполлония с центром O₁ соответствующую какому-то числу k, и найдем степень середины отрезка АВ, т. е. точки О относительно этой окружности. Согласно определению степени имеем:

₁²- R² =

 Мы видим, что величина не зависит от k! Таким образом, степень точки О относительно всех окружностей Аполлония одна и та же. Следовательно, серединный перпендикуляр к отрезку АВ является радикальной осью любых двух из них. Иными словами, все окружности Аполлония имеют общую радикальную ось — серединный перпендикуляр к отрезку АВ.

Из этого свойства, в свою очередь, вытекает еще одно. Рассмотрим какую- нибудь окружность Аполлония с центром O₁ и из произвольной ее точки М, не лежащей на прямой АВ, проведем к ней касательную (Приложение 4). Пусть С — точка пересечения этой касательной с серединным перпендикуляром к отрезку АВ. Точка С лежит на радикальной оси нашей окружности и точек А и В (рассматриваемых как окружности Аполлония нулевого радиуса). Следовательно, степени точки С относительно этих окружностей равны, т. е. ОС² - ОМ² = АС² = ВС², откуда следует, что АС = ВС = МС. Поэтому окружность с центром С радиуса АС проходит через точки А, В и М. По построению МС перпендикуляр. МО₁. Таким образом, касательные к нашим окружностям в точке М их пересечения взаимно перпендикулярны. Обычно в таком случае говорят так: окружности пересекаются под прямым углом. Итак, мы установили еще одно замечательное свойство окружностей Аполлония:

любая окружность Аполлония пересекается с любой окружностью, проходящей через точки А и В, под прямым углом (Приложение 4)

 

1.3. Окружность Аполлония в задачах.

Задача 1. Даны две точки А и В и положительное число k ≠ 1. Доказать, что множество таких точек М прямой АВ, для которых ВМ/АМ= k, состоит из двух точек, одна из которых лежит на отрезке АВ, а другая — вне этого отрезка.

Решение. Рассмотрим сначала случай k > 1. Пусть для

точки М прямой АВ выполнено равенство ВМ/АМ= k. Тогда AM < ВМ, и, следовательно, точки А и М лежат по одну сторону от середины отрезка АВ Возможны два случая:

Точка М лежит,на отрезке АВ.

Точка М лежит вне отрезка АВ (Приложение 7)

Рассмотрим эти случаи отдельно.

Имеем АМ+ВМ=АВ, ВМ = k*АМ, откуда АМ=АВ/ k+1.

Итак, если на отрезке АВ имеется точка М, удовлетворяющая условию ВМ/АМ=k, то она находится на вполне определенном расстоянии от точки А, и, значит, на отрезке АВ может быть только одна такая точка М. Нетрудно убедиться в том, что точка М, расположенная на отрезке АВ так, что AM=АВ/(k+1 )действительно удовлетворяет условию ВМ/АМ=k. В самом деле,

ВМ = АВ - AM =(k/ k+1)* АВ, и, следовательно, ВМ/АМ=k/

Имеем АМ+АВ=ВМ, ВМ= k*АМ, откуда АМ=АВ/ k-1.

Таким же образом, как и в случае 1, можно убедиться в том, что  точка М, расположенная на продолжении отрезка АВ за точку А так, что AM= удовлетворяет условию = k, причем вне

отрезка АВ такая точка только одна. Итак, в случае k > 1 утверждение доказано.

Если 0 < k < 1, то k’ = > 1, а условие = k можно записать в виде = k' > 1. Тем самым этот случай сводится к предыдущему, только точки А и B меняются ролями. Перейдем теперь к решению основной задачи этого пункта.

 Задача 2. Найти множество всех точек, для каждой из которых отношение расстояний до двух данных точек равно данному числу.

Решение. Пусть А и В — данные точки. Требуется найти множество всех таких точек М, дли которых -= k, где k — данное число. Ясно, что если k=1, то искомое множество представляет собой серединный перпендикуляр к отрезку АВ.

Рассмотрим случай k ≠ 1. 

Как следует из предыдущей задачи,на прямой АВ существуют ровно две точки, принадлежащие искомому множеству. Обозначим ту из них, которая лежит вне отрезка АВ, буквой P, а лежащую на отрезке АВ — буквой Q. Итак,

                                                            ==k                                                 (1)

Пусть М — какая-либо точка, принадлежащая искомому множеству и не лежащая на прямой АВ. Проведем биссектрису ММ₁ треугольника ABM(Приложение 8). По теореме о биссектрисе треугольника  = k. Согласно задаче 1 точки М₁ и Q совпадают. Аналогично проведем биссектрису ММ₂ внешнего угла треугольника АВМ (М₂ — точка пересечения этой биссектрисы с прямой АВ). По теореме о биссектрисе внешнего угла треугольника == k