Организация геодезических измерений

(∆) = L – Х

Истинное – такое значение измеряемой величины, которое идеальным образом отражало бы количественные свойства объекта. Недостижимое условие – истинное значение – понятие гипотетическое. Это величина, к которой можно приближаться бесконечно близко, оно не достижимо.

Точность измерений – степень приближения его результата к истинному значению. Чем ниже погрешность, тем выше точность.

Абсолютная погрешность выражается разностью значения, полученного в результате измерения и истинного измерения величины [20].

Что бы получить значение достаточно произвести одно измерение. Его называют необходимым, но чаще одним измерением не ограничиваются, а повторяют не менее двух раз.

Измерения, которые делают сверх необходимого,  называют избыточным (добавочным), они являются весьма важным средством контроля результата измерения.

Абсолютная погрешность не дает представления о точности полученного результата.

Относительная погрешность – отношение абсолютной погрешности к истинному или измеренному значению. Выражают дробью.

Погрешности, происходящие от отдельных факторов, называются элементарными. Погрешность обобщенная – это сумма элементарных.

Возникают:

• грубые (Q);
• систематические (O);
• случайные (∆).

Грубые погрешности измерений возникают в результате грубых промахов, просчетов исполнителя, его невнимательности, незамеченных неисправностей технических средств. Грубые погрешности совершенно недопустимы и должны быть полностью исключены из результатов измерений путем проведения повторных, дополнительных измерений.

Систематические погрешности измерений – постоянная составляющая, связанная с дефектами: зрение, неисправность технических средств, температура. Систематические погрешности могут быть как одностороннего действия, так и переменного (периодические погрешности). Их стремятся по возможности учесть или исключить из результатов измерений при организации и проведении работ.

Случайные погрешности измерений неизбежно сопутствуют всем измерениям. Погрешности случайные исключить нельзя, но можно ослабить их влияние на искомый результат за счет проведения дополнительных измерений. Это самые коварные погрешности, сопутствующие всем измерениям. Могут быть разные как по величине, так и по знаку.

Е = Q + О + ∆

Если грубые и систематические погрешности могут быть изучены и исключены из результата измерений, то случайные могут быть учтены на основе глубокого измерения. Изучение на основе теории вероятностей.

На практике сложность заключается в том, что измерения проводятся определенное количество раз и поэтому для оценки точности измерений используют приближенную оценку среднего квадратического отклонения, которую называют среднеквадратической погрешностью (СКП) [19].

Гауссом была предложена формула среднеквадратической погрешности:

∆2ср = (∆21 + ∆22 + … +  ∆2n ) / n

∆2  = m2  = (∆21 + ∆22 + … +  ∆2n ) / n

∆  = m

∆ср = m = √(∑∆2i / n)

Формула применяется, когда погрешности вычислены по истинным значениям.

Формула Бесселя:

m = √(∑∆2i / (n-1))

Среднеквадратическая погрешность арифметической середины в Ön раз меньше средней квадратической погрешности отдельного измерения.

М = m/Ön

При оценке в качестве единицы меры точности используют среднеквадратическую погрешность с весом равным единицы. Ее называют среднеквадратической погрешностью единицы веса.

µ2 = Р × m2 - µ = m√P

m = µ /√P

То есть средняя квадратическая погрешность любого результата измерения равна погрешности измерения с весом 1 (µ) и делённая на корень квадратный из веса этого результата (P).

При достаточно большом числе измерений можно записать:

∑m2P=∑∆2P (так как ∆ = m)

µ = √(∑(∆2×P)/n)

То есть средняя квадратическая погрешность измерения с весом, равным 1 равна корню квадратному из дроби в числителе которого сумма произведений квадратов абсолютных погрешностей неравноточных измерений на их веса, а в знаменателе – число неравноточных измерений.

Средняя квадратическая погрешность общей арифметической середины по формуле:

M0 = µ / √∑P

Подставив вместо µ её значение получим :

M0 = √(∑∆2×P/n) / (√∑P) = √[(∑∆2×P) / n×(∑P)]

M0 = √[ (∆12P1 + ∆22P2 +… + ∆n2Pn) / n×(P1 + P2 + … + Pn) ] –

это формула Гаусса, средняя квадратическая погрешность общей арифметической середины равна корню квадратному из дроби, в числителе которой сумма произведений квадратов погрешностей неравноточных измерений на их веса, а знаменатель – произведение количества измерений на сумму их весов.

µ = √ [∑( V2×P ) / (n-1)] –

это формула Бесселя для вычисления средней арифметической погрешности с измерением веса, равным 1 для ряда неравноточных измерений по их вероятнейшим погрешностям. Она справедлива для большого ряда измерений, а для ограниченного (часто на практике) содержит погрешности: mµ = µ / [2×(n-1)] – это надёжность оценки µ.

Причина возникновения систематической погрешности может заключаться и в самой методике измерений. Так, например, определяя плотность твердого тела по измерениям его массы и объема, можно допустить ошибку, если внутри исследуемого тела имеются пустоты в виде пузырьков воздуха. В этом случае устранить ошибку можно только изменив метод измерений.

Появление случайных погрешностей может быть связано со спецификой измеряемой величины. Если, например, измерять штангенциркулем размеры неточно изготовленной детали, то полученные результаты будут случайным образом зависеть от положения измерительного прибора. Еще один пример – неточность отсчета по шкале стрелочного прибора, связанная со случайным Мнением положения глаз экспериментатора относительно прибора.

Основным способом уменьшения случайных погрешностей является многократное измерение одной и той же физической величины. Заметим, однако, что максимально возможная точность измерения определяется теми приборами, которые используются в эксперименте. Поэтому уменьшение случайной погрешности путем увеличения числа опытов имеет смысл до тех пор, пока ее величина не станет явно меньше величины погрешности прибора. Погрешности приборов связаны с несовершенством любого измерительного инструмента. Если значение измеряемой величины определяется по шкале инструмента, абсолютная погрешность прибора считается, как правило, равной половине цены деления шкалы (например, линейки) или цене деления шкалы, если стрелка прибора перемещается скачком (секундомер) приборов, снабженных нониусом, погрешность можно считать равной точности нониуса. Погрешности электроизмерительных приборов определяют по их классу точности, который указывается на шкале.

2.2. Функции по результатам измерений и оценка их точности

В практике геодезических работ искомые величины часто получают в результате вычислений, как функцию измеренных величин. Полученные при этом величины (результаты) будут содержать погрешности, которые зависят от вида функции и от погрешности аргументов по которым их вычисляют [7].

При многократном измерении одной и той же величины получим ряд аналогичных соотношений:

∆U1 = k∆l1

∆U2 = k∆l2

…………..

∆Un = k∆ln

Возведём в квадрат обе части всех равенств и сумму разделим на n:

(∆U12 + ∆U22 + … + ∆Un2) / n = k2×(∆l12 + ∆l22 + ... + ∆ln2) / n;

∑∆U2 / n = k2×(∑∆l2 / n);

m = √(∑∆U2 / n);

m2 = k2 × ml2,

где ml – СКП дальномерного отсчёта.

m = k × ml

СКП функции произведения постоянной величины на аргумент равна произведению постоянной величины на СКП аргумента.

Функция вида U = l1 + l2

Определить СКП U, где l1 и l2 – независимые слагаемые со случайными погрешностями ∆l1 и ∆l2. Тогда сумма U будет содержать погрешность:

∆U = ∆l1 + ∆l2

Если каждую величину слагаемого измерить n раз, то можно представить:

∆U1 = ∆l1' + ∆l2' – 1-е измерение,

∆U2 = ∆l1" + ∆l2" – 2-е измерение,

…………………

∆Un = ∆l1(n) + ∆l2(n) – n-е измерение.

После возведения в квадрат обеих частей каждого равенства почленно их сложим и разделим на n:

∑∆U2 / n = (∑∆l12)/n + 2×(∑∆l1×∆l2)/n + (∑∆l22)/n

Так как в удвоенном произведении ∆l1 и ∆l2 имеют разные знаки, они компенсируются и делим на бесконечно большое число n, то можно пренебречь удвоенным произведением.

mU2 = ml12 + ml22;

mU = √( ml12 + ml22 )

СКП суммы двух измеренных величин равна корню квадратному из суммы квадратов СКП слагаемых.

Если слагаемые имеют одинаковую СКП, то:

ml1 = ml2 = m;

mU = √(m2 + m2) = √2m2 = m√2.

В общем случае:

mU = m√n,

где n – количество аргументов l.

Функция вида U = l1 - l2

mU = m√n;

mU = √( ml12 + ml22)

СКП разности двух измерений величин равна корню квадратному из суммы квадратов СКП уменьшаемого и вычитаемого.

Функция вида U = l1 - l2 + l3

mU = √( ml12 + ml22 + ml32…)

СКП суммы n измеренных величин равна корню квадратному из суммы квадратов СКП всех слагаемых.

Линейная функция вида U = k1l1 + k2l2 + … + knln

mU = √[ (k1ml1)2 + (k2ml2)2 + … + (knmln)2],

т.е. СКП алгебраической суммы произведений постоянной величины на аргумент равна корню квадратному из суммы квадратов произведений постоянной величины на СКП соответствующего аргумента.

Функция общего вида U = ƒ( l1, l2, …, ln)

Это наиболее общий случай математической зависимости, включающий все рассматриваемые выше функции, являющиеся частным случаем. Это значит, что аргументы l1, l2, …, ln могут быть заданы любыми уравнениями. Для определения СКП такой сложной функции необходимо проделать следующее:

1. Найти полный дифференциал  функции:

dU = (dƒ/dl1)×dl1 + (dƒ/dl2)×dl2 + … + (dƒ/dln)×dln,

где (dƒ/dl1), (dƒ/dl2), …,(dƒ/dln) – частные производные функции по каждому из аргументов.

2. Заменить дифференциалы квадратами  соответствующих СКП, вводя в  квадрат коэффициенты при этих  дифференциалах:

mU2 = (dƒ/dl1)2×ml12 + (dƒ/dl2)2×ml22 + … +(dƒ/dln)2×mln2

3. Вычислить значения частных  производных по значениям аргументов:

(dƒ/dl1), (dƒ/dl2), …,(dƒ/dln)

И тогда mU = √[ (dƒ/dl1)2× ml12 + (dƒ/dl2)2×ml22 + … +(dƒ/dln)2×mln2].

СКП функции общего вида равна корню квадратному из суммы квадратов произведений частных производных по каждому аргументу на СКП соответствующего аргумента.

Чтобы выполнить оценку точности измерений, необходимо оценить прежде всего точность отдельного измерения. Казалось бы естественным взять для этого среднее арифметическое из всех случайных ошибок. Однако при этом на величину средней ошибки влияли бы разные знаки отдельных ошибок и может случиться так, что ряд с крупными отдельными ошибками получил бы меньшую среднюю ошибку, чем ряд с меньшими ошибками.

2.3. Оценка точности по  разностям двойных измерений и по невязкам в полигонах и ходах

В практике геодезических работ часто одну и ту же величину измеряют дважды. Например, стороны теодолитного хода в прямом и обратном направлении, углы двумя полуприемами, превышения – по черной и красной стороне вех. Чем точнее произведены измерения, тем лучше сходимость результатов в каждой паре.

mlср. = ½ √∑d2/n

где d – разности в каждой паре; n – количество разностей.

Формула Бесселя:

mlср = ½ √∑d2/n-1

Если измерения должны удовлетворять какому-либо геометрическому условию, например, сумма внутренних углов треугольника должна быть 180˚, то точность измерений можно определить по невязкам получающимся в результате погрешностей измерений.

μ=√∑ [f2 /n]/N,

где - СКП одного угла;

f – невязка в полигоне;

N – количество полигонов;

n – количество углов в полигоне.

2.4. Передача координат с вершины знака на землю

При производстве топографо-геодезических работ в городских условиях невозможно бывает установить теодолит на пункте геодезической сети (пунктом является церковь, антенна и т.п.). Тогда и возникает задача по снесению координат пункта триангуляции на землю для обеспечения производства геодезических работ на данной территории [17].

Исходные данные: пункт A с координатами XA, YA; пункты геодезической сети B (XB, YB) и C (XC, YC).

Полевые измерения: линейные измерения выбранных базисов b1 и b'1; измерения горизонтальных углов ß1 , ß'1 , ß2 , ß'2 ; б , б'.

Требуется найти координаты точки P – XP, YP.

Решение задачи разделяется на следующие этапы:

Решение числового примера.

Таблица 1

Исходные данные