Законы постоянного тока

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

 ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

 

 

 Заочно-вечерний факультет

Кафедра общеобразовательных дисциплин

 

 

Контрольная работа по дисциплине

«Прикладная физика в электроэнергетике»

Вариант № 10

 

 

 

 

  Выполнил:

  группы: ЭСбзс-12-1

  Перфильев А.А.

  Проверил(а)______________

Оценка______________

 

 

 

 

 

 

Иркутск 2014г.

 

Оглавление

 

 

1. Законы постоянного тока

 

Задача 1.1. Определить заряд Q, прошедший по проводу с сопротивлением R=3,82 Ом при равномерном нарастании напряжения на концах провода от U0=2,27 В до U =4,45 В. в течение t=20,25 с.

Решение. Так как сила тока в проводе изменяется, то воспользоваться для подсчета заряда формулой Q=It нельзя. Поэтому возьмем дифференциал заряда dQ=Idt и проинтегрируем:

       

Выразив силу тока по закону Ома, получим

      

Напряжение U в данном случае переменное. В силу равномерности нарастания оно может быть выражено формулой

U= U0+kt,       

где k - коэффициент пропорциональности. Подставив это выражение U в формулу (2), найдем

Проинтегрировав, получим

     

Значение коэффициента пропорциональности k найдем из формулы если заметим, что при t= 20,66 с U=4,71 В:

k=(U-U0)/t=(4,45-2,27)/20,25=0,107 B/c

Подставив значения величин в формулу (4), найдем

Q=20,25∙(2∙2,27+0,107∙20,25)/2∙3,82=17,75 Кл.

       

 

 Задача 1.2. Потенциометр с сопротивлением R= 103,32 Ом подключен к источнику тока, ЭДС ε которого равна   152,87 В и внутреннее сопротивление r= 52,89 Ом (рис. 1.1). Определить показание вольтметра с сопротивлением RB=501,79 Ом, соединенного проводником с одной из клемм потенциометра и подвижным контактом с серединой обмотки потенциометра. Какова разность потенциалов между теми же точками потенциометра при отключенном вольтметре?

Решение. Показание U1 вольтметра, подключенного к точкам А и В (рис. 1.1), определяется по формуле

U1=I1R1,       

где I1 - сила тока в неразветвленной, части цепи; R1- сопротивление параллельно соединенных вольтметра и половины потенциометра.

Силу тока I1 найдем по закону Ома для всей цепи:

I1=ε/(R+r),      

где R - сопротивление внешней цепи.

Внешнее сопротивление R есть сумма двух сопротивлений:

Rвц=R/2+R1.      

Сопротивление R1 параллельного соединения может быть найдено по формуле откуда

Rl = RRB/(R + 2RB).

Подставив в эту формулу числовые значения величин, и произведя вычисления, найдем

Rl=103,32∙501,79/(103,32+2∙501,79)=46,83 Ом.

Подставив в выражение (2) правую часть равенства (3), определим силу тока:

=152,87/(103,32/2+46,83+52,89)=1,009 А.

Если подставить значения I1 и R1 в формулу (1), то найдем показание вольтметра: U1=I1∙R1=1,009∙46,83=47,25 В.

Разность потенциалов между точками А и В при отключенном вольтметре равна произведению силы тока I2 на половину сопротивления потенциометра, т. е. U2 =I2(R/2), или

U2=50,11 В.

 

 

 

Задача 1.3.

   I(A)

    6

 

    4

 

    2

                    (рис. 1.2). 

0    t(c)

         1     2      3

Сила тока в проводнике сопротивлением R=21,36 Ом нарастает в течение времени Δt=2,89 с по линейному закону от I0=1,25 до Imax=6,17 А (рис. 1.2). Определить количество теплоты Q1, выделившееся в этом проводнике за первую секунду, и Q2 - за вторую, а также найти отношение этих количеств теплоты Q2/Q1.

Решение. Закон Джоуля - Ленца Q= I2Rt применим в случае постоянного тока (I =const). Если же сила тока в проводнике изменяется, то указанный закон справедлив для бесконечно малого промежутка времени и записывается в виде

dQ= I2Rdt.    

Здесь сила тока I является некоторой функцией времени. В нашем случае

I=I0+kt,       

где k - коэффициент пропорциональности, равный отношению приращений силы тока к интервалу времени, за который произошло это приращение:

k=ΔI/Δt=(6,17-1,25)/2,89=1,7

С учетом равенства (2) формула (1) примет вид

dQ=(I0+kt)2Rdt.      

Для определения количества теплоты, выделившегося за конечный промежуток времени Δt, выражение (3) следует проинтегрировать в пределах от t1 до t2:

 

 

 

 

 

 

При определении количества теплоты, выделившегося за первую секунду, пределы интегрирования t1 =0, t2= 1 с и, следовательно,

Q1=21,36(1,252 ∙1+1,25∙1,7∙1+1,72 ∙1/3)=99,1 Дж,

а за вторую секунду - пределы интегрирования t1= 1 с, t2=2 с и тогда

Q2=21,36(1,252 ∙1+1,25∙1,7∙3+1,72∙7/3=313,4 Дж.

Следовательно,

Q2/Q1=313,4/99,1=3,16 Дж.

 т. е. за вторую секунду выделится теплоты в 2,9 раз больше, чем за первую секунду.

            [Q]=1Oм∙1А2∙1с=1В∙1А∙1с=Дж

 

2. Постоянный ток в проводящей среде

 

Задача 2.1. Ток I, равный 17,18 А, течет по проводнику длиной l, изготовленному из материала №10 таблицы 2.1(платина), диаметр d сечения проводника равен 1,51мм. Определить сpeднюю скорость <υ> направленного движения электронов, считая, что концентрация n свободных электронов равна концентрации п' атомов проводника.

Решение. Средняя скорость направленного (упорядоченного) движения электронов определяется по формуле

<υ>=l/t,     

где t- время, в течение которого все свободные электроны, находящиеся в отрезке проводника между сечениями I и II, пройдя через сечение II (рис. 2.1), перенесут заряд Q=eN и создадут –ток

       

где е = 1,6*10-19К - элементарный заряд; N- число электронов в отрезке проводника.

Число свободных электронов в отрезке проводника объемом V можно выразить следующим образом:

N=nV=nlS,      

где S - площадь сечения.

По условию задачи, п=п'. Следовательно,

      

где NA = 6,02*1023 к моль-1 - постоянная Авогадро; Vm - молярный объем металла; М = 195,1∙10-3 кг/моль - молярная масса металла из таблицы 2.1; ρ - его плотность. Для платины ρ = 21,5∙103 кг/м3.

Подставив последовательно выражения п из формулы (4) в равенство (3) и N из формулы (3) в равенство (2), получим

 

Отсюда найдем:

Подставив выражение l в формулу (1), сократив на t и выразив площадь S сечения проводника через диаметр d, найдем среднюю скорость направленного движения электронов:

       

Произведем по этой формуле вычисления:

 

 

 

Таблица 2.1. Характеристики материалов

№	Металл или сплав	Плотность, *103 кг/м3	Молярная масса *10-3 кг/моль
1	Алюминий	2,71	27
2	Дюралюминий	2,79	28
3	Железо	7,8	55,85
4	Золото	19,3	196,97
5	Инвар	8,7	114,8
6	Иридий	22,4	192,2
7	Латунь	8,6	67,3
8	Магний	1,74	24,31
9	Медь	8,9	63,54
10	Платина	21,5	195,1
11	Свинец	11,34	207,2
12	Серебро	10,5	107,87
13	Титан	4,5	47,9
14	Цинк	7,1	65,38

 

  Задача 2.2. В цепь источника постоянного тока с ЭДС ε=6,05 В включен резистор сопротивлением R=80,27 Ом. Определить: 1) плотность тока в соединительных проводах площадью поперечного сечения S=2,87 мм2; 2) число N электронов, проходящих через сечение проводов за время             t= 1,85 с. Сопротивлением источника тока и соединительных проводов пренебречь.

Решение. 1. Плотность тока по определению есть отношение силы тока I к площади поперечного сечения провода:

j=I/S.       

 

 

Силу тока в этой формуле выразим по закону Ома:

    

где R - сопротивление резистора; R1 - сопротивление соединительных проводов; ri - внутреннее сопротивление источника тока.

Пренебрегая сопротивлениями Rl и ri получим

I =ε/R.

Подставив это выражение силы тока айдем

j =ε/(RS)

Произведя вычисления по этой формуле, получим       j=6,05/80,272,8710-6 =2,6104 А/м2

[ j ]=[1А∙Ом/1Ом∙1м2]=[А/ м2]

2. Число электронов, проходящих за время t через поперечное сечение, найдем, разделив заряд Q, протекающий за это время через сечение, на элементарный заряд

N =Q/e,

или с учетом того, что Q=It и I=ε/R, получим

.

Подставим сюда числовые значения величин и вычислим (элементарный заряд: e=1,60*10-19 Кл):

N =6,05*1,85/80,27∙1,60∙10-19 =8,7∙1017 электронов.

       [N]=[1А∙1Ом∙1с/1Ом∙1А∙с]=1

 

Задача 2.3. Пространство между пластинами плоского конденсатора имеет объем V =390 см3 и заполнено водородом, который частично ионизирован. Площадь пластин конденсатора S=257 см2. При каком напряжении U между пластинами конденсатора сила тока I, протекающего через конденсатор, достигнет значения 2,26 мкА, если концентрация n ионов обоих знаков в газе равна 5,5*107 см-3. Принять подвижность ионов b+=5,4*10-4 м2/(В*с), b–=7,4*10-4 м2/ (В*с).

Решение. Напряжение U на пластинах конденсатора связано с напряженностью Е электрического поля между пластинами и расстоянием d между ними соотношением

U=Ed. (1)

Напряженность поля может быть найдена из выражения плотности тока

j=Qn(b++b-)E,

где Q - заряд иона.

Отсюда

  

Расстояние d между пластинами, входящее в формулу (1), найдем из соотношения:

d=V/S.

Подставив выражения Е и d в (1), получим

 (2)

Проверим, дает ли правая часть полученной расчетной формулы единицу напряжения:

Подставим в формулу (2) значения величин и произведем вычисления:

 

3. Магнитное поле постоянного тока

 

Задача 3.1. Два параллельных бесконечно длинных провода, по которым текут в одном направлении токи I=69,8 А, расположены на расстоянии d=11,2 см друг от друга. Определить магнитную индукцию В в точке, отстоящей от одного проводника на расстоянии г1=7,24 см и от другого – на расстоянии r2=13,5 см.

Решение. Для нахождения магнитной индукции в указанной точке А (рис. 3.2) определим направления векторов индукций В1 и В2 полей, создаваемых каждым проводником в отдельности, и сложим их геометрически, т. е. B=B1+B2. Модуль индукции найдем по теореме косинусов:

      (1)

Значения индукций B1 и В2 выражаются соответственно через силу тока I и расстояния r1 и r2 от провода до точки, индукцию

в которой мы вычисляем: Подставляя B1 и В2 в формулу (1) и вынося за знак корня, получим

      (2)

Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу магнитной индукции (Тл):

Здесь мы воспользовались определяющей формулой для магнитной индукции (В=Мmак /рп). Откуда следует, что

Вычисляем cosa. Заметим, что a=∠DAC. Поэтому по теореме косинусов запишем , где d – расстояние между проводами. Отсюда

          cosα=(7,242+13,52-11,22)/(2∙7,24∙13,5)=0,55

Подставив данные, вычислим значение косинуса: cos a = 0,55.

Подставив в формулу (2) значения m0, I, r1, r2 и cos a, найдем

 

.

 

 

Задача 3.2. По двум длинным прямолинейным проводам, находящимся на расстоянии r=7,22 см друг от друга в воздухе, текут токи I1=10,13 А, I2=17,86 А. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемого токами в точке а=0,74r от левого провода, для случаев: 1) провода параллельны, токи текут в одном направлении (рис. 3.3, а); 2) провода параллельны, токи текут в противоположных направлениях (рис. 3.3, б); 3) провода перпендикулярны, направление токов указано на рис. 3.3, в, в этом случае точка а лежит на диагонали прямоугольника.

 

Решение: Результирующая индукция магнитного поля равна векторной сумме: B=B1+B2, где B1 – индукция поля, создаваемого током I1; В2 – индукция поля создаваемого током I2.

Если B1 и В2 направлены по одной прямой, то векторная сумма может быть заменена алгебраической суммой:

В=В1+В2.       (1)

 При этом слагаемые В1 и В2 должны быть взяты с соответствующими знаками. В данной задаче расстояние от левого провода до точки а равно:

                 r1 =0,74∙r=0,74∙7,22=5,34 см.=0,053 м.

а от правого провода до точки а равно:

                 r2=7,22-5,34=1,88 см.=0,019 м.