Тербелмелі контурдағы энергияның айналуы

Электромагниттік тербелістердің ашылуы күтпеген жағдайда болды.Ғалымдар қарапайым конденсаторды ойлап тауып, оған электростатикалық машинаның көмегімен үлкен заряд беруді үйренгеннен кейін, оның электр зарядын бақылай бастады.

Лейден банкасының астарларын сымнан жасалған катушка арқылы тұйықтағанда, катушка ішіндегі болат шыбықтың магниттелгені байқалды. Мұнда таңғаларлықтай еш нәрсе жоқ еді, электр тогы катушканың болат өзекшесін магниттеуге тиіс. Таңғалдырғаны- магниттелген катушка өзекшесінің қай ұшы солтүстік полюс, ал қай ұшы оңтүстік полюс болатынын анықтаудың қиынға соққаны.Тәжірибені шамамен бірдей жағдайларда қайталағанда, оның әрқайсысында әртүрлі нәтиже алынды.

Ғалымдар конденсаторды  катушка арқылы разрядтағанда тербеліс пайда болатынын бірден түсінбеді.Разрядталу уақыты ішінде конденсатор бірнеше  қайтара зарядталып үлгеререді де, ток бағытын сан рет өзгертеді. Өзекшенің түрліше  магниттеле алатыны  және оның полстерінің алма-кезек  орын ауыстыруы да осыдан.

Сонымен, конденсатордың разрядталуы  кезінде заряд, ток,кернеу, электр және магнит өрістері периодты ( немесе шамамен периодты) түрде өзгеріп отырады. Аталған шамалардың периодты түрде өзгеріп отыруын электромагниттік тербелістер деп атайды.

Электромагниттік тербелістерді  бақылау үшін ең ыңғайлы құрал- электрондық осциллограф.

Электромагниттік тербелістер  алуға болатын, тізбектей жалғанған  сыйымдылығы С конденсатордан және индуктивтiгi Е катушкадан тұратын электр тiзбегiн тербелмелi контур деп атайды.

 

Тербелістердегі энергия айналуы. Еркін тербелістердегі энергия айналуы

Маятникті орнықты тепе-теңдігінен шамалы α бұрышқа бұрайық (6-сурет). Мұнымен біз маятникке қосымша  потенциалдық энергия береміз:

W_p=mgH_e.y.

мұндағы H_e.y маятник көтерілуінің ең үлкен мәні.

Маятникті қоя берейік. Ауырлық  күшінің және реакция күшінің  әсерінен маятник тепе-теңдікке ұмтылады. Тепе-теңдік жағдайында оның потенциалдық энергиясы кинетикалық энергияға  айналады:

Мұндағы   жіпке ілулі тұрған дене қозғалысының жылдамдығының ең үлкен мәні. Сол жақ қалпының шетіне жете отырып, маятник қайтадан кері бағытта қозғала бастайды.

 

Үйкеліс күші жоқ болғанда энергияның сақталу заңы бойынша, потенциалдық энергияның ең үлкен мәні кинетикалық  энергияның ең үлкен мәніне тең болады:

mgH_e.y. .     

                                                                     6- сурет

Маятник тербелген кезде  потенциалдық энергияның кинетикалық  энергияға  және керісінше түрленуі периодты түрде қайталанып отырады:

W_p → W_k → W_p → W_k → W_p → … .

Энергияның айналу және сақталу  заңы бойынша тербеліп тұрған дененің  толық механикалық энергиясы  потенциалдық және кинетикалық энергиялардың  қосындысына тең болады:

E= W_p + W_k.

Маятникті тепе-теңдік қалпынан ауытқытып жіберіп, оның еркін тербелістер  жасауына мүмкіндік береміз. Тербеліс амплитудасының бірте-бірте азая беретінін  байқауға болады. Олай болатын себебі, алғашқы кездегі маятникке берілген энергия ішкі энергияға айналады да, қоршаған ортаға таралып кетеді. Егер үйкеліс болмаса, онда тербелмелі жүйенің энергиясы тұрақты болып қалар еді де, тербеліс шексіз болар еді.

Маятниктің кинетикалық  энергиясы

Тербеліс процесінде маятниктің кинетикалық энергиясы үздіксіз өзгеріп отырады, оны мына формуламен есептеуге болады: . Формуладағы υ – кинетикалық энергияны есептеу мезетіндегі (сол нүктедегі) жылдамдықтың мәні. Тепе-теңдік қалпынан өткен мезетте маятниктің кинетикалық энергиясы максимал мәнге ие болады. Осы мезеттегі оның жылдамдығы да максимал мәнге ие болады: υ_е.ү., сондықтан .

Маятниктің потенциалдық энергиясы Серіппелі маятниктің кез келген уақыт мезетіндегі (кез келген нүктедегі) потенциалдық энергиясын анықтайық. Маятник х тепе-теңдік қалпынан ауытқыған екен делік 7-сурет

Маятникке қайтарушы күш  әсер етеді:

F=-k x.

Маятникті тепе-теңдік қалпына  қайтарарда бұл күш k x – тен 0-ге дейін өзгереді. Оның атқарған жұмысы қарастырылып отырған нүктедегі маятниктің потенциалдық энергиясына тең болады:

A=F_орx.

Ал күш 0-ден х- ке дейін сызықтық түрде өзгеретін болғандықтан, оның орташа мәні

, ал істелген жұмысы . Сонымен тербелістің потенциалдық энергиясының лездік мәні ығысу квадратына пропорционал болады: .

Маятник ең шеткі қалыпта  ең үлкен потенциалдық энергияға  ие болады:

.

Потенциалдық энергияның ығысудың квадратына пропорционалдығы – гармониялық тербеліске тән  белгі.

Ығысу формуласын қорытып шығару

Алдыңғы параграфта гармониялық  тербелістегі ығысу синусоидалы  өзгеруі тиіс деген ұйғарым айтылған еді. Соны дәлелдейік.

Гармониялық тербелістегі дененің  толық энергиясы мынаған тең: немесе . Екі жағын k –ға бөлсек, немесе . Соңғы теңдікті геометриялық түрде катеттері және гипотенузасы болатын тік бұрышты үшбұрыш түрінде кескіндеуге болады. осы үшбұрыштан .

Шыққан формула гармониялық  тербелістегі ығысу синусоидалы  өзгереді деген ұйғарымның дұрыстығын көрсетеді.

Гармониялық тербелістер  кезіндегі ығысудың синусоидалық өзгерісі – оған тән белгі.

 

Тербелмелі контур. Еркін тербелістер.

Электромагниттiк тербелiстер деп контурдағы ток кушiнiң периодты түрде өзгеру процесiн айтамыз. Ток  күшi осы контурдың электрлiк және магниттiк қасиеттерiн сипаттайды.

Сыйымдылығы С конденсатордан және индуктивтiгi Е катушкадан тұратын электр тiзбегiн тербелмелi контур деп атайды.

Контурдың  R  кедергiсін нөлге тең деп аламыз (12-сурет). Егер конденсаторды потенциалдар айырымы U-га дейiн зарядтарымен зарядтасақ, онда конденсатордың разрядталуының нәтижесiнде тiзбекте I тогы пайда болады, сөйтiп, катушканың ұштарында потенциалдар айырымына тең өздiк индукция э.қ.к-i пайда болады:

                      

мұндағы минус таңбасы  конденсатордағы потенциалдар айырымына  өздiк индукциясының қарсы бағьггта болатынын көрсетедi. Сөйтiп, катушкадағы  өздiк индукцияның электр өрiсi кернеулiгi конденсатордағы  электр өрiсiнiң кернеулiгiне қарама-қарсы болады. Осының әсерiнен өткiзгiштегi токтың өсуi бiрте-бiрте азая бастайды да, конденсатор астарлары мүлдем разрядталып бiткенде ток шамасы өзiнiң ең үлкен мәнiне жетедi. Ендi өткiзгiштегi зарядтар қозғала отырып конденсатор астарларында қарсы таңбалы болып жинақталады. Сөйтiп оның өрiс кернеулiгi болады да, тiзбектегi токтың түзiлуiне мумкiндiк жасайды. Осы кезде тiзбектегi ток қайтадан кеми бастайды да, катушкада қарсы бағытталған өздiк индукция э.қ.к-i пайда болады. Ал оның өрiс кернеулiгi жоғарыда айтылғандай конденсатордьң өрiс кернеулiгiне   қарсы бағытта болып тiзбектегi токты тудырып отырады. Сөйтiп, конденсатордағы тұрақты электр өрiсi катушкадағы айнымалы магнит өрiсiне немесе керiсiнше, алма-кезек ауысып отыратын периодты процеске айналады.

Бiрақ өткiзгiштегi электр тогының ағуы үздiксiз емес, өйткенi электр энергиясы 1) шын мәнiнде өткізгiштiң  кедергiсi R нөлге тең емес, демек жылулық шығынға; 2) конденсатор диэлектригiндегi шығынға; 3) катушка өзегiндегi гистерезистiк шығынға; 4) сәулелену шығындарына жане т. 6. жұмсалады.

Сондыктан q зарядтар конденсатордан катушкаға кешiгiңкiреп бiр dt уакытта жетедi, өйткенi олар өткiзгiштер iшiнде көптеген кедергiлерге соқтығысып өтедi. Олай болса, тiзбектегi тоқтың мәнi барлық жерде бiрдей емес. Осының әсерiнен конденсатор астарларындағы потенциалдар айырымы U катушканың ұштарына да кешiгiп жетуi мумкiн және катушкадағы өздiк индукция э.қ.к-i керiсiнше қарсы бағытта сонша уақытқа кешiгедi.

Ендi Кирхгофтың екiншi ережесiн  осы жағдайға қолдана отырып (әрине  ток тұрақты болғандағы мәнi үшiн), мына теңдеулердi жазайық;

немесе

12-сурет

 

       .

Бұл жағдайда бiз  деймiз, яғни конденсатор диэлектригiнде, катушкада және қоршаған кеңiстiкте электромагниттiк энергияның сулелену шығындары болады дейміз.

Мына шарттарды, яғни  ,    ескерсек, онда жоғарыдағы теңдеу мына түрде жазылады:

 

Осы өрнек электромагниттік еркін тербелістің дифференциялдық теңдеуі деп аталады. Жоғарыдағы теңдеуді q  заряд арқылы шешетін болсақ, онда

 

,

Мұндағы 

- циклдік (дөңгелектік) жиілігі, ол , ендеше  тербеліс периоды

.

Бұл теңдеу Томсон формуласы деп аталады.

Сонымен, өткiзгiш кедергiсi R=0 және ешқандай энергия шығыны болмаса, онда контурдағы электромагниттiк тербелiс гармоникалық заңдылықпен өзгередi де, тербелiс периоды контурдың. С жане L параметрлерiне тәуелдi болады.

Олай болса, контурдың  тербелiс энергиясы ондағы конденсатор  мен катушка өрiстерiнiң энергияларының қосындысына тең болады, яғни:

,

Бұдан конденсатордың электр өрiсiнiң энергиясы катушкадағы  магнит өрiсiнiң энергиясына айналатынын  көремiз.

Егер контурдың кедергi    десек, онда теңдеудi басқа түрде шешемiз

.

Бұл теңдiктiң шешуi

,

13-сурет

мұндағы . — тербелiстiң өшу коэффициентi деп аталады. Олай болса жоғарыдағы өрнек өшетiн электромагниттiк тербелiстiң дифференциалдьқ теңдеуi болады. Шын мәнiнде жоғарыда энергия шығындарының әерiнен контурдағы тербелiс ең соңында өшетiн болады. Ендi осындай тербелiс үшiн оның циклдiк жиiлiгi мен тербелiс периоды мынадай болады:

 

,       .

 

Сөйтiп, контурдағы R кедергiнiң болуы тербелiс периодының артуына әсер етедi. Бұдан практикалық маңызы бар мынадай қорытынды шығады қарастырған контурдағы конденсатор мен катушканың көлемдеріндегі электромагниттік энергияның сәулеленуі, жабық контурда сығылған тәрізді өте аз көлемде болады. сондықтан, тербеліс периоды мол энергиялы электромагниттік өріс болу үшін біз қарастырған контурдағы конденсатор астарларын ажыратып кеңейтсе, ең соңында бір астары антеннада, екінші астары жермен қосылған сым болып шығады (13-сурет). Ал мұндай антенналар қазіргі кезде теледидар жұмысында, радиотехникада  және т.б. көптеген ғылыммен техника саласында қолданылады.