Определение коэффициента восстановления скорости при соударении шаров.

Лабораторная  работа №1-16.

Определение коэффициента восстановления скорости

при соударении шаров.

Краткая  теория

 

Ударом называется относительно кратковременное  взаимодействие двух или более тел  (время взаимодействия значительно меньше времени движения тел).

Различают два предельных случая ударов:

1) абсолютно упругий  удар, когда в процессе соударения  между телами действуют силы упругости и после удара тела восстанавливают свою форму.

2) абсолютно неупругий удар, когда  в процессе соударения тела  необратимо деформируются и силы внутреннего трения, совершая работу, переводят механическую энергию тел частично или полностью в их внутреннюю энергию. После абсолютно неупругого удара тела движутся с одинаковыми скоростями (как одно целое) или покоятся.

Исследуем некоторые вопросы, связанные с ударом двух тел на следующей лабораторной установке.

Опыты по удару проводятся с помощью  шаров, подвешенных на бифилярных подвесах, исключающих возможность их вращения. Отсчет отклонения шаров 1 и 2 от вертикали ведется по шкалам 4. Шар 1 можно удерживать в отклоненном положении с помощью электромагнита 3.

Рассмотрим процесс  соударения.

1) Удар абсолютно упругий.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В момент удара система, состоящая  из двух шаров, не является замкнутой, так как на шары действуют внешние силы тяжести и реакции подвесов, причем их сумма не равна нулю, так как шары движутся по дуге окружности и обладают нормальным ускорением. В таком случае, как известно, закон сохранения импульса может быть записан для проекций импульсов тел на координатную ось, на которую внешние силы дают нулевые проекции. У нас в момент удара это горизонтальная ось Х.

Тогда                                                                   (1)

 

Так как  силы, действующие на шары в момент удара, являются консервативными (силы тяжести и упругости), то полная механическая энергия системы до и после удара остается постоянной. Учтем при этом, что потенциальная энергия шаров до и после удара одинакова. Кроме того, в момент удара скорости шаров имеют отличную от нуля проекцию только на горизонтальную ось Х, поэтому при нахождении кинетических энергий можно заменить квадраты модулей скоростей квадратами проекций скоростей на ось Х

 Тогда                                                             (2)

Решая совместно уравнения (1) и (2), легко найти

 

                                                                                      (3)

 

                                                                                               (4)

 

В уравнениях (3) и (4) знаки у проекций скоростей зависят от направления  движения шаров до и после удара  относительно оси Х.

2) Удар абсолютно неупругий.  

 

 

 

 

 

 

 

В данном случае система шаров также  не является замкнутой и закон сохранения импульса следует записывать для проекций импульсов шаров на горизонтальную ось Х, на которую внешние силы тяжести и реакции подвеса дают нулевые проекции в момент удара.

                                                                               (5)

Отсюда получаем проекцию на ось Х общей скорости шаров  после удара

                                                                                                 (6)

Закон сохранения механической энергии в данном случае не выполняется.

 

В реальных опытах удар не бывает ни абсолютно  упругим ни абсолютно неупругим. Величина, характеризующая упругие свойства материала тел при их соударении называется коэффициентом восстановления скорости и обозначается  k. Он равен отношению модулей относительных скоростей тел после и до удара

                                                                                                            (7)

Значения величины  k  лежат в пределах от 0 (абсолютно неупругий удар) до 1 (абсолютно упругий удар).

Из классического закона сложения скоростей следует, что  в нашем случае

            ,                               .

Тогда                                                                                    (8)

 

Непосредственное измерение скоростей  шаров довольно сложно. Их можно  вычислить, измеряя, например, углы отклонения подвесов шаров от вертикали до и после удара. На основании закона сохранения механической энергии можно приравнять полные энергии шаров в момент наибольшего отклонения (v = 0) и в нижней точке траектории  (h = 0). При этом нулевой уровень потенциальной энергии проходит через положение равновесия шаров.

 

 

 

                                                                                              (9)

Высота подъема шара может быть найдена по углу его  отклонения (см. рис.).

                                           (10)

Подставляя  (10)  в  (9), получим

                                                                                      (11)

Учтем, что в нашем  случае модули скоростей шаров до и после удара равны модулям их проекций на горизонтальную ось Х.

Тогда                           

                                     

                                      ,

где  α₀ – угол отклонения налетающего (первого) шара перед ударом,

        α₂ – угол отклонения второго шара после удара,

        α₁ – угол отклонения первого шара после удара.

 

Подставим полученные выражения  для проекций скоростей в формулу (8).

После сокращений получим

                               .

 

Известно, что для малых  углов их синусы равны значениям  самих углов в радианах. Если при проведении опытов использовать малые углы отклонения шаров (не более 10^о), то в последнем выражении можно заменить синусы углов на значения углов, измеренные в радианах. Тогда для коэффициента восстановления  k  получим окончательную расчетную формулу

 

                                                                                              (12)

 

Ход работы.

 

1. Включите электромагнит для отклонения шара массы m₁ на угол α₀ (кнопка «Вкл.»).
2. Для моделирования соударения шаров отключите электромагнит кнопкой «Выкл». Первый шар придет в движение и столкнется со вторым шаром. После удара шары будут двигаться в соответствии с видом удара, определяемым материалом шаров. Углы отклонения шаров после удара α₁ и α₂ определяются в градусах по шкале на экране и заносятся в таблицу. Определите и запишите цену деления шкалы прибора.
3. Эксперимент необходимо повторить пять раз включая и отключая электромагнит. Данные эксперимента будут занесены в таблицу.
4. Нажмите кнопку «Отчет» и перепишите или распечатайте полученные результаты.
5. Для окончания работы закройте все окна и выйдите из программы.

 

Обработка результатов.

 

1. Переведите значения углов a_о, a₁, a₂ в радианы и рассчитайте значения <a₁> и <a₂ > в радианах.
2. Определите погрешности величин a_о, a₁ и a₂ по правилам обработки результатов прямых измерений.
3. Рассчитайте среднее значение коэффициента восстановления скорости один раз по формуле:

 

4. Найдите погрешности величины по правилам обработки результатов косвенных воспроизводимых измерений.
5. Сравните полученное значение с табличными и сделайте вывод.