Гармонические волны: основные понятия и определения

Решая (3.15) находим частоты  сдвигового толщинного резонанса:

                                              (3.16)

Рассматривая симметричное и антисимметричное напряжённые состояния, можно получить, соответственно:

                                                (3.17)

                                        (3.18)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.2. Дисперсионные уравнения Рэлея-Лэмба

Будем считать, что границы  рассматриваемого слоя свободны от напряжений

 

 при

Через потенциалы эти  граничные условия  запишутся  в виде (3.4).

Ищем решение краевой  задачи (3.2), (3.4) в виде гармонической  волны, распространяющейся вдоль оси  :

                                                     (3.19)

 

Здесь - комплексные функции действительного переменного .

Подставим вид решения (3.19) в (3.2) и получим обыкновенные дифференциальные уравнение для определения функций и :

 

                                       (3.20)

                                           (3.21)

 

Обозначим через  , .

Общее решение уравнений (3.20), (3.21) имеет вид:

 

                                            (3.22)

 

Рассмотрим два случая:

1) - чётная функция переменной ;

 - нечётная функция переменной , то есть .

В этой случае перемещение  является чётной функцией по , а перемещение - нечётной функцией по .

Такие моды называются симметричными.

 

2) - нечётная функция переменной ;

 - чётная функция переменной , то есть .

В этой случае перемещение  является нечётной функцией по , а перемещение - чётной функцией по .

Такие моды называются антисимметричными.

 

Рассмотрим случай симметричных мод:

 

                                               (3.23)      

 

 

 

Введём обозначения  , подставляя (3.23) в граничные условия (3.4), получим:

   при .                               (3.24)

 

Удовлетворяя граничным  условиям, получим систему линейных алгебраических уравнений для определения  констант , эта система является однородной. Для того чтобы система имела нетривиальное решение, нужно потребовать, чтобы её определитель был равен нулю.

  

 

Получаем дисперсионное  уравнение Рэлея-Лэмба [4] для симметричных мод:

.                                      (3.25)

Рассмотрим случай антисимметричных мод:

 

                                                (3.26)

 

 

 

 

Подставляя (3.26) в граничные  условия (3.4), получим в:

 

                                (3.27)

 

Получили систему линейных алгебраических уравнений для определения констант , эта система является однородной. Для того чтобы система имела нетривиальное решение, нужно потребовать, чтобы определитель был равен нулю.

  

 

 

Получим дисперсионное  уравнение Рэлея-Лэмба для антисимметричных мод [4]:

.                                      (3.28)

 

Проведём численный  и асимптотический анализ на примере дисперсионного уравнения Рэлея-Лэмба для симметричных мод. Графики дисперсионных кривых уравнения (3.25) при представлены на рис.3.1. Фундаментальная мода показана линией красного цвета, гармоники, соответствующие частотам сдвигового толщинного резонанса, – сиреневыми линиями, гармоники, соответствующие частотам толщинного резонанса растяжения-сжатия, – синими. Остальные кривые будут описаны ниже.

 

Рис.3.1. Графики дисперсионных  кривых для уравнения Рэлея-Лэмба (3.25) и  уравнения (3.35)

 

 

  

3.3. Асимптотики дисперсионного уравнения  Рэлея-Лэмба

Получим длинноволновую низкочастотную асимптотику  , .

Так как  , , то , . Тогда можно разложить гиперболические функции в ряды:

 

                                   (3.29)

 

Представим величину в виде разложения по степеням :

.

Численный анализ (Рис 3.1) показал, что в рассмотренном  случае , тогда

.

Подставляем (3.29) в уравнение  Рэлея-Лэмба (3.25):

.

Раскладываем значения функций  в ряд по степеням  :

 

,

,

.

 

Подставляя полученные выражения уравнения Рэлея-Лэмба (3.25) и приравнивая к нулю коэффициенты при одинаковых степенях  , получим:

 

,

.

 

Таким образом, асимптотика  для фундаментальной моды имеет  вид:

.         (3.30)

Получим теперь длинноволновые асимптотики для мод высшего  порядка. Они описывают поведения гармоник в окрестностях частот запирания. Найдём значения  частот запирания . Для этого в уравнения Рэлея-Лэмба (3.25) положим :

,

,

,

,

.

Тогда, подставляя эти  значения в уравнение (3.25), и решая  его, получим два семейства частот запирания:

    где .

Частоты соответствуют частотам толщинного резонанса растяжения-сжатия (3.11), а - частотам сдвигового толщинного резонанса (3.17).

На плоскости  с каждой из этих частот начинается непрерывная ветвь корня дисперсионного уравнения Рэлея-Лэмба . Частоты ищем в виде: 

.                              (3.31)

 

Уравнение Рэлея-Лэмба (3.25) при этом удобно записать в форме:

 

.

 

  Подставляя выражение для частоты в это уравнение, и, представляя все величины в виде степенных рядов по , найдём асимптотики для гармоник в окрестности частот запирания:

                (3.32)

Сравнение асимптотик (3.30), (3.31) и (3.32) с численным решением представлено на Рис.3.2.

 

Рис.3.2. Сравнение асимптотик дисперсионного уравнения Релея-Лэмба  для симметричных мод с численным  решением

 

На этом рисунке представлены чёрными линиями асимптотики; разноцветными  линиями - точные решения.

Из рис.3.2 видно, что  для гармоник более высокого порядка асимптотики (3.31), (3.32) применимы в более широком диапазоне волновых чисел.

4.Список использованных  источников и литературы

1. Физический энциклопедический  словарь/Гл.ред. А.М.Прохоров. - М.: Сов.Энциклопедия.

2. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн.-М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы,1979.

3. 4. J.D. Kaplunov, L.Y. Kossovich,E.V. Nolde «Dynamics of Thin Walled Elastic Bodies» - Academic Press, New York , 1998.

4. Ерофеев В.И., Кажаев В.В., Семерикова Н.П. Волны в стержнях. Дисперсия. Диссипация. Нелинейность.-М.:ФИЗМАЛИТ, 2002.-208с.-ISBN 5-9221-0294-X.