Физика. Теоретические основы
Автор работы: Пользователь скрыл имя, 07 Ноября 2013 в 20:37, лекция
Краткое описание
Задача состоит в том, чтобы описать движение материальной точки (м.т.),
т.е. указать для каждого момента времени ту точку системы отсчета, с которой
м.т. в этот момент времени совпадает. При своем движении м.т. проходит
непрерывную последовательность точек системы отсчета, называемую
траекторией движения.
Содержание
МЕХАНИКА. .......................................................................................................5
Тема 1. Кинематика точки. ..............................................................................5
Основные формулы и законы...........................................................5
Указания к решению задач. ..............................................................6
Примеры решения задач. ...................................................................7
Тема 2. Кинематика вращательного движения.............................................10
Основные формулы и законы. ........................................................10
Примеры решения задач. .................................................................11
Тема 3. Динамика. Законы Ньютона. Закон сохранения импульса.............13
Основные формулы и законы. ........................................................13
Указания к решению задач. ............................................................14
Примеры решения задач. .................................................................14
Тема 4. Работа, мощность и энергия.............................................................17
Основные формулы и законы. ........................................................17
Указания к решению задач. ............................................................18
Примеры решения задач. .................................................................19
Тема 5. Момент инерции твердого тела........................................................20
Основные формулы и законы. ........................................................20
Указания к решению задач. ............................................................22
Примеры решения задач. .................................................................22
ТЕРМОДИНАМИКА.........................................................................................25
Тема 6. Работа идеального газа при изопроцессах. Количество теплоты.
Первое начало термодинамики......................................................................25
Основные формулы и законы.........................................................25
Примеры решения задач. .................................................................27
Тема 7. Круговые процессы. Термический КПД. Цикл Карно....................31
Page 2
4
Основные формулы и законы......................................................... 31
Примеры решения задач................................................................... 32
Тема 8. Энтропия............................................................................................ 34
Основные формулы и законы......................................................... 34
Примеры решения задач................................................................... 35
Задачи по разделу «Механика и термодинамика» ....................................... 38
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ............................................................... 48
Тема 9. Электростатическое поле в вакууме. ............................................... 48
Основные формулы и законы......................................................... 48
Указания к решению задач. ............................................................ 49
Примеры решения задач. ................................................................. 49
Тема 10. Постоянный электрический ток. Законы Ома............................... 51
Основные формулы и законы......................................................... 51
Примеры решения задач. ................................................................. 52
Тема 11. Магнитное поле в вакууме. ............................................................ 53
Основные формулы и законы......................................................... 53
Указания к решению задач. ............................................................ 54
Примеры решения задач. ................................................................. 55
Тема 12. Явление электромагнитной индукции. Работа по перемещению
проводника с током в магнитном поле. Индуктивность.............................. 56
Основные формулы и законы......................................................... 56
Указания к решению задач. ............................................................ 57
Примеры решения задач. ................................................................. 58
Задачи по разделу «Электричество и магнетизм»........................................ 60
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:................................................................................. 70
Прикрепленные файлы: 1 файл
3
ОГЛАВЛЕНИЕ
МЕХАНИКА. .......................................................................................................5
Тема 1. Кинематика точки. ..............................................................................5
Основные формулы и законы...........................................................5
Указания к решению задач. ..............................................................6
Примеры решения задач. ...................................................................7
Тема 2. Кинематика вращательного движения.............................................10
Основные формулы и законы. ........................................................10
Примеры решения задач. .................................................................11
Тема 3. Динамика. Законы Ньютона. Закон сохранения импульса.............13
Основные формулы и законы. ........................................................13
Указания к решению задач. ............................................................14
Примеры решения задач. .................................................................14
Тема 4. Работа, мощность и энергия.............................................................17
Основные формулы и законы. ........................................................17
Указания к решению задач. ............................................................18
Примеры решения задач. .................................................................19
Тема 5. Момент инерции твердого тела........................................................20
Основные формулы и законы. ........................................................20
Указания к решению задач. ............................................................22
Примеры решения задач. .................................................................22
ТЕРМОДИНАМИКА.........................................................................................25
Тема 6. Работа идеального газа при изопроцессах. Количество теплоты.
Первое начало термодинамики......................................................................25
Основные формулы и законы.........................................................25
Примеры решения задач. .................................................................27
Тема 7. Круговые процессы. Термический КПД. Цикл Карно....................31
4
Основные формулы и законы......................................................... 31
Примеры решения задач................................................................... 32
Тема 8. Энтропия............................................................................................ 34
Основные формулы и законы......................................................... 34
Примеры решения задач................................................................... 35
Задачи по разделу «Механика и термодинамика» ....................................... 38
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ............................................................... 48
Тема 9. Электростатическое поле в вакууме. ............................................... 48
Основные формулы и законы......................................................... 48
Указания к решению задач. ............................................................ 49
Примеры решения задач. ................................................................. 49
Тема 10. Постоянный электрический ток. Законы Ома............................... 51
Основные формулы и законы......................................................... 51
Примеры решения задач. ................................................................. 52
Тема 11. Магнитное поле в вакууме. ............................................................ 53
Основные формулы и законы......................................................... 53
Указания к решению задач. ............................................................ 54
Примеры решения задач. ................................................................. 55
Тема 12. Явление электромагнитной индукции. Работа по перемещению
проводника с током в магнитном поле. Индуктивность.............................. 56
Основные формулы и законы......................................................... 56
Указания к решению задач. ............................................................ 57
Примеры решения задач. ................................................................. 58
Задачи по разделу «Электричество и магнетизм»........................................ 60
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:................................................................................. 70
5
МЕХАНИКА.
Тема 1. Кинематика точки.
Основные формулы и законы.
Задача состоит в том, чтобы описать движение материальной точки (м.т.),
т.е. указать для каждого момента времени ту точку системы отсчета, с которой
м.т. в этот момент времени совпадает. При своем движении м.т. проходит
непрерывную последовательность точек системы отсчета, называемую
траекторией движения.
Движение описывают:
а) в координатной форме:
t
x
x
1
1
;
t
x
x
2
2
;
t
x
x
3
3
.
Например, в декартовой системе координат:
t
x
x
1
;
t
y
x
2
;
tz
x
3
.
б) в векторной форме:
tr
r
.
Формула этого вида определяет векторную функцию скалярного аргумента.
в) с помощью параметров траектории:
t
S
S
.
Если траектория задана, то задача сводится к указанию закона движения
вдоль нее.
dt
dS
dt
rd
dt
dy
k
dt
dy
j
dt
dx
i
- вектор мгновенной (линейной) скорости;
dt
dx
,
dt
dy
,
dt
dy
- его компоненты в декартовой системе координат,
- единичный
вектор, касательный к траектории в данной точке.
dt
dS
dt
dz
dt
dy
dt
dx
2
2
2
- модуль мгновенной скорости,
6
R
n
dt
d
dt
r
d
dt
z
d
k
dt
y
d
j
dt
x
d
i
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a
- вектор мгновенного ускорения;
n
-
единичный вектор, направленный по главной нормали к центру кривизны
траектории,
R
- радиус кривизны траектории;
a
dt
d
- модуль тангенциальной составляющей ускорения;
n
2
R
a
- модуль нормальной составляющей ускорения.
Средние значения соответствующих параметров
,
,
a
и т.д.
определяются обычным образом:
dx
x
x
x
1
x
2
1
2
1
x
x
1
2
x
x
f
f
, где
2
1
x
x
x
f
- среднее значение функции
x
f
в интервале от
1
x
до
2
x
;
dt
t
r
2
1
t
t
- вектор перемещения за промежуток времени от
1
t
до
2
t
;
dt
t
S
2
1
t
t
- путь за промежуток времени от
1
t
до
2
t
.
Указания к решению задач.
а) По заданной траектории и закону движения определить скорость и
ускорение.
Компоненты векторов скорости и ускорения находят однократным и
двухкратным дифференцированием функций, выражающих зависимость
координат точки от времени.
б) По заданной зависимости компонент скорости или ускорения точки от
времени определить траекторию и закон движения.
Закон движения находят интегрированием компонент скорости или
двухкратным интегрированием компонент ускорения. Для определения
произвольных
постоянных,
появляющихся
при
интегрировании,
необходимо знать координаты точки или координаты и компоненты
скорости в какой-либо определенный момент времени.
7
в) Исследовать сложное движение точки.
Задачи решают с помощью принципа независимого сложения движений.
Примеры решения задач.
Пример 1. Тело брошено под углом к горизонту. Оказалось, что максимальная
высота подъема
4
s
h
(
s
-дальность полета). Пренебрегая сопротивлением
воздуха, определите угол бросания к горизонту.
Дано
Решение
4
s
h
cos
0
x
0
,
sin
0
y
0
,
(
t
- время подъема,
t2
-время
полета),
2
gt
h
2
,
?
2
gt
t
h
2
y
0
,
2
gt
sin
t
2
gt
2
0
2
,
sin
t
gt
0
2
,
g
sin
t
0
,
g2
sin
2
gt
h
2
2
0
2
,
4
s
h
(по условию),
g
sin
cos
2
cos
t
2
t2
s
2
0
0
x
0
,
g4
sin
cos
2
g2
sin
2
0
2
2
0
,
cos
sin
,
1
a
cos
a
sin
,
1
tg
,
1
arctg
,
45
Ответ:
45
.
8
Пример 2. Тело брошено со скоростью
20
0
м/с под углом
30
к
горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите для момента
времени
5,
1
t
с после начала движения: 1) нормальное ускорение; 2)
тангенциальное ускорение.
Дано
Решение
20
0
м/с
30
5,
1
t
с
1
y
0
y
gt
,
sin
0
y
0
.
При
max
h
:
0
y
,
1)
?
n
a
2)
?
a
1
0
gt
sin
,
02
,1
g
sin
t
0
1
с – время подъема до верхней точки.
5,
1
t
с >
1
t
(спуск),
5,
1
t
t
't
1
с
02
,1
c =
0,48 с
,
cos
0
x
0
x
,
'gt
y
,
tg
x
y
,
cos
'gt
arctg
0
,
g
a
,
sin
g
a
,
cos
g
n
a
,
cos
'gt
arctg
cos
g
0
n
a
,
cos
'gt
arctg
sin
g
0
a
.
Ответ: 1)
47
,9
n
a
м/с
2
; 2)
58
,2
a
м/с
2
.
Пример 3. Тело брошено горизонтально со скоростью
15
0
м/с. Пренебрегая
сопротивлением воздуха, определите радиус кривизны траектории тела через
2
t
с после начала движения.
9
Дано
Решение
15
0
м/с
2
t
с
0
x
,
gt
y
,
2
2
2
0
2
y
2
x
t
g
,
g
a
,
cos
g
n
a
,
?
R
0
cos
,
R
a
2
n
,
0
3
2
n
2
g
cos
g
R
a
,
0
2
3
2
2
2
0
g
t
g
R
.
Ответ:
102
R
м.
Пример 4. Мяч, брошенный со скоростью
0
=10м/с под углом
= 45° к
горизонту, ударяется о стенку, находящуюся на расстоянии l= 3 м от места
бросания. Когда происходит удар мяча о стенку (при подъеме мяча или при
его опускании)? На какой высоте h мяч ударит о стенку (считая от высоты, с
которой брошен мяч)? Найти скорость мяча в момент удара.
Дано
Решение
0
=10м/с
= 45°
l = 3 м
g
sin
t
0
1
- (1) - время
подъема до верхней
точки.
Когда мяч находится в
верхней точке
h-?
-?
1
0
x
t
)
cos
(
S
. С учетом (1)
10
;
g2
2
sin
g
cos
sin
S
2
0
2
0
x
8,
9
2
1
100
S
x
=
5,1 м
,
следовательно, мяч ударяется в стену при подъеме. Мяч
ударится о стенку, когда координата
2
gt
t
)
sin
(
h
S
2
0
y
- (2). В этот момент времени
t
)
cos
(
S
0
x
l
,
откуда
cos
t
0
l
- (3). Подставив (3) в (2), получим
.
cos
2
g
tg
cos
2
g
cos
sin
h
2
0
2
2
2
0
2
0
0
l
l
l
l
После подстановки числовых значений h=2,1 м.
Горизонтальная составляющая скорости
cos
0
x
;
x
=
7,07 м/с.
Вертикальная составляющая скорости
;
cos
g
sin
gt
sin
0
0
0
y
l
y
=2,91м/с.
Полная скорость =
;
2
y
2
x
2
2
91
,2
07
,7
= 7,6 м/с.
Тема 2. Кинематика вращательного движения.
Основные формулы и законы.
td
d
- вектор мгновенной угловой скорости;
td
d
- вектор мгновенного углового ускорения.
При вращении тела вокруг неподвижной оси векторы
,
,
d
направлены по оси вращения, при этом:
11
td
d
- модуль мгновенной угловой скорости;
2
2
td
d
td
d
- модуль углового ускорения;
N
,N
2
;t
d
t
2
1
t
t
- число оборотов тела.
Направление
определяется по правилу правого винта.
Если
0
td
d
, то вращение ускоренное и
; если
0
td
d
, то
вращение замедленное и
. Если вращение равномерное, то
,n
2
T
2
t
где
- угол поворота;
t
- время вращения;
T
- период вращения;
n
- частота
вращения.
Для равнопеременного вращения
const
|
|
2
t
t
t
2
0
0
;
t
t
t
0
,
где
0
,
0
- начальные угол поворота и угловая скорость.
Связь между линейными и угловыми величинами:
d
R
S
d
;
R
;
r,
;
R
a
;
R
2
n
a
, где
R
- расстояние от точки до оси вращения,
,
r,
a
.
Примеры решения задач.
Пример 1. Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угловой скорости
=20 рад/с через N=10 оборотов после начала вращения. Найти угловое
ускорение
колеса.
12
Дано
Решение
=20 рад/с
N=10 об.
Уравнения движения колеса:
.t
,
2
t
t
0
2
0
По условию
0
0
. Тогда
2
t
2
- (1),
t
- (2).
Выражая из уравнения (1)
и учитывая, что
N
2
,
получим
2
t
N
4
- (3). Из уравнения (2) найдем
t
и
подставим в (3). Получим
;
N
4
2
= 3,2 рад/с
2
.
Поскольку
>0, то направление вектора
совпадает с
направлением вектора
.
-?
Пример 2. Колесо, вращаясь равнозамедленно, за время t = 1мин уменьшило
свою частоту с
1
n
=300 об/мин до
2
n
=180 об/мин. Найти угловое ускорение
колеса и число оборотов N колеса за это время.
Дано
Решение
t = 1 мин
1
n
=300 об/мин
2
n
=180 об/мин
Переведем числовые данные в единицы системы СИ:
t=1 мин=60 с;
1
n
=300 об/мин=5 об/с;
2
n
=180об/мин=3
об/с.
Поскольку вращение равнозамедленное,
то
240
t
2
n
n
N
2
1
.
Угловая скорость
t
0
— (1),
где
2
n
1
0
;
2
n
2
.
Из (1) имеем
0
t
, откуда
;
t
)
n
n(
2
t
2
1
0
21
,0
60
)3
5(
14
,3
2
рад/с
2
.
N-?
-?
Пример 3. Точка движется по окружности радиусом R=20 см с постоянным
тангенциальным ускорением
a
=5 см/с
2
. Через какое время t после начала
13
движения нормальное ускорение
n
a
точки будет: а) равно тангенциальному; б)
вдвое больше тангенциального?
Дано
Решение
R=20 см
a
=5 см/с
2
По условию вращение является равноускоренным,
следовательно,
t
a
,
R
2
n
a
, отсюда
a
t
,
R
n
a
.
Тогда
a
a R
t
n
.
а) Если
a
a
n
, то
2
5
20
R
t
a
с;
б) если
a
a
2
n
, то
8,
2
5
40
R
2
t
a
с.
t-?
Тема 3. Динамика. Законы Ньютона. Закон сохранения импульса.
Основные формулы и законы.
m
p
- импульс материальной точки;
dt
p
d
dt
d
m
m
F
a
- второй закон Ньютона (основное уравнение динамики
материальной точки);
F
ma
- проекция силы на касательную к траектории точки;
n
n
F
m
a
- проекция силы на нормаль к траектории точки.
Силы, рассматриваемые в механике:
а) сила гравитационного взаимодействия
2
2
1
гр
r
m
m
G
F
,
где
G
- гравитационная постоянная;
1
m
,
2
m
- массы взаимодействующих
тел;
r
- расстояние между центрами этих тел;
б) сила упругости
xk
F
упр
,
14
где
k
- коэффициент упругости;
x
- абсолютная деформация;
в) сила трения скольжения – контактная сила, параллельная границе раздела
тел
N
F
тр
,
где
- коэффициент трения;
N
- сила нормального давления;
г) сила инерции при поступательном движении системы отсчета
C
ин
F
a
,
где
C
a
- ускорение, с которым движется система отсчета;
д) сила реакции – контактная сила, перпендикулярная границе раздела тел.
Указания к решению задач.
При решении задач динамики материальной точки следует:
1. Провести анализ и сделать рисунок, на котором показать все
действующие на тело силы. Помнить, что по третьему закону Ньютона каждая
из сил, кроме силы инерции, должна быть обусловлена взаимодействием с
каким-то другим телом.
2. Записать основное уравнение динамики тела в векторной форме. Если в
задаче рассматривается движение нескольких тел, уравнение движения
записать для каждого тела в отдельности.
3. Выбрать систему координат.
Убедиться,
что она
является
инерциальной. Если это не так, то учесть силы инерции. Записать уравнение
движения в проекциях на координатные оси. Если рассматривается несколько
тел, то для каждого тела можно выбрать свою систему координат.
4. Решить систему полученных скалярных уравнений.
Примеры решения задач.
Пример 1. Две гири массами m
1
= 2 кг и m
2
= 1 кг соединены невесомой и
нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый блок. Найти ускорение а,
с которым движутся гири, и силу натяжения нити Т. Трением в блоке
15
пренебречь.
Дано
Решение
m
1
= 2 кг
т
2
= 1 кг
По условию, нить невесома и
нерастяжима. Выберем элемент нити
m
и запишем уравнение движения в
проекции на ось у :
a
m
= Т – Т
y
.
Поскольку
m
= 0, то Т = Т
y
,
a - ?
T - ?
т. е. сила натяжения нити во всех точках ее одинакова.
Ускорения
движения
грузов
тоже
одинаковы
из-за
нерастяжимости нити: a
1
= а
2
. Но направления векторов
1
a
и
2
a
противоположны. Запишем второй закон Ньютона для
первой и второй гири в проекциях на ось у:
a.
a,
2
2
1
1
m
T
g
m
m
T
g
m
)2
(
)1(
Вычтем (2) из (1):
2
1
2
1
m
m
g
m
m
a
, отсюда
2
1
2
1
m
m
m
m
g
a
.
(3)
Подставим (3) в (1)
T
g
m
m
m
m
m
g
m
1
2
1
2
1
1
, следовательно
2
1
2
1
2
1
2
1
m
m
m
gm
2
m
m
m
2
g
m
T
.
Подставляя числовые данные, получим: Т=13 Н; а = 3,27 м/с
2
.
Ответ: Т=13 Н; а = 3,27 м/с
2
.
Пример 2. Невесомый блок укреплен в вершине двух наклонных плоскостей,
составляющих с горизонтом углы
45
и
30
. Гири 1 и 2 одинаковой
массы
1
m
m
2
1
кг соединены невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой
через блок. Найти ускорение
a
,
с которым движутся гири, и силу
T
натяжения
нити. Трением гирь о наклонные плоскости, а также трением в блоке
пренебречь.
y
T
m
T
g
m
1
g
m
2
1
T
y
2
T
16
Дано
1
m
m
2
1
кг
30
45
Решение
?
T
?
a
Покажем все силы, действующие на каждое из тел 1 и 2. Записав второй
закон Ньютона сначала в векторной форме для каждого из тел, а затем в
проекциях на соответствующие координатные оси, получим систему двух
уравнений с двумя неизвестными
a
и
T
. Решив эту систему относительно
a
и
T
, ответим на вопросы задачи.
По условию задачи блок и нить невесомы, следовательно,
T
T
T
2
1
(блок служит лишь для изменения направления движения нити). А нить
нерастяжима, следовательно,
a
a
a
2
1
. Второй закон Ньютона для каждой из
гирь, записанный в векторной форме, имеет вид
T
N
g
m
m
1
1
1
1
a
,
T
N
g
m
m
2
2
2
2
a
.
Будем считать, что гиря массой
1
m
опускается по наклонной плоскости, а
гиря массой
2
m
– поднимается. Координатные оси
1
x
и
2
x
направим
параллельно наклонным плоскостям в направлении движения гирь 1 и 2, а оси
1
y
и
2
y
- перпендикулярно осям
1
x
и
2
x
. Тогда в проекциях на
соответствующие координатные оси получим систему уравнений:
1
x0
:
T
sin
g
m
m
1
1
a
;
2
x0
:
.
sin
g
m
T
m
2
2
a
Решив ее, получим
2
sin
sin
g
m
m
sin
sin
g
m
2
1
1
a
.
2
sin
sin
mg
T
Расчет дает значения:
02
,1
a
м/с
2
;
9,
5
T
Н.
Ответ:
02
,1
a
м/с
2
;
9,
5
T
Н.
17
Пример 3. Пуля массой m=15 г, летящая горизонтально со скоростью = 200
м/с, попадает в баллистический маятник длиной l = 1 м и массой M = 1,5 кг и
застревает в нем. Определите угол φ отклонения маятника.
Дано
Решение
m=15г=1510
-3
кг
υ=200 м/с
l=1м
M=1,5 кг
,
h
1
h
cos
,
)
M
m
(g
2
)
m
(
g2
u
h
,
gh
)
M
m
(
2
u)
M
m
(
,
M
m
m
u
,u
)
M
m
(
m
2
2
2
2
l
l
l
φ - ?
.
)
M
m
(
g2
)
m
(
1
arccos
,
)
M
m
(
g2
)
m
(
1
cos
2
2
2
2
l
l
Ответ: φ=37
о
.
Тема 4. Работа, мощность и энергия.
Основные формулы и законы.
c
N
1
i
c
i
c
m
p
p
- импульс механической системы, где
i
p
- импульс
i
-того
тела;
c
m
- масса системы;
c
- скорость ее центра масс,
N
1
i
i
i
с
c
m
m
1
;
N
1
i
i
i
с
c
r
m
m
1
r
- радиус-вектор, характеризующий положение центра масс;
N
1
i
внеш
c
F
dt
pd
- скорость изменения импульса системы;
const
p
N
1
i
i
или
const
p
c
- закон сохранения импульса для замкнутой системы;
l
dF
dA
- элементарная работа;
18
2
1
12
dF
A
l
- механическая работа на пути от точки 1 до точки 2;
F
td
dF
N
l
- мощность;
td
t
t
F
td
N
A
2
1
2
1
t
t
t
t
- выражение работы через мощность;
2
m
W
2
К
- кинетическая энергия поступательного движения тела;
mgh
W
П
,
2
kx
W
2
П
- различные виды потенциальной энергии в механике;
const
W
W
E
К
П
- закон сохранения энергии для замкнутой консервативной
системы.
Теорема о приращении кинетической энергии:
К
12
W
A
,
где
12
A
- работа равнодействующей сил, приложенных к телу.
Указания к решению задач.
При решении задач с применением законов сохранения необходимо:
1. Выяснить, какие тела входят в рассматриваемую систему.
2. Определить начальное и конечное состояние системы.
3. Выяснить, какой процесс происходит в системе.
4. Выбрать инерциальную систему отсчета, относительно которой будут
определяться значения сохраняющейся величины, и найти ее значения до и
после процесса.
5. Записать закон сохранения.
6. Если величина - векторная, то сначала закон сохранения записать в
векторной форме, а затем – в проекциях на координатные оси.
7. Решить полученные уравнения.
19
Примеры решения задач.
Пример 1. Материальная точка массой m=1кг двигалась под действием
некоторой силы согласно уравнению s=A-Bt+Ct
2
-Dt
3
(B=3 м/с, C=5 м/с
2
, D=1
м/с
3
). Определить мощность N, затрачиваемую на движение точки за время,
равное 1 с.
Дано
Решение
m=1 кг
s=A-Bt+Ct
2
-Dt
3
B=3 м/с
C=5 м/с
2
D=1 м/с
3
t
1
=1 c
,
Dt
6
C
2
dt
d
,
Dt
3
Ct
2
B
dt
dS
,
dt
d
m
2
m
dt
d
N
,
2
m
T
,
dT
dA
,
dt
dA
N
2
2
2
).
Dt
6
C
2
)(
Dt
3
Ct
2
B
(
m
N
2
Ответ: N=16 Вт.
N - ?
Пример 2. Тело массой m начинает двигаться под действием силы
j
t2
it
2
F
2
, где
i
и
j
– единичные векторы координатных осей x и y.
Определите мощность N(t), развиваемую силой в момент времени t.
Дано
Решение
m
j
t2
it
2
F
2
).
t3
t2
(
m
1
)j
t
it
(
m
1
)j
t3
it
2(
)t(
N
,)j
t
it
(
m
1
dt
)j
t3
it
2(
m
1
dt
,
dt
d
)j
2t
3
it
2(
m
1
,
m
j
t3
it
2
F
,
F
N
5
3
3
2
2
t
0
3
2
2
2
a
a
a
Ответ:
)
t3
t2
(
m
1
)t(
N
5
3
.
N(t) - ?
20
Тема 5. Момент инерции твердого тела.
Основные формулы и законы.
2
i
N
1
i
i
r
m
I
- момент инерции системы материальных точек;
V
d
r
V
m
d
r
I
2
V
2
- момент инерции сплошного твердого тела;
где
- плотность тела в точке на расстоянии
r
от оси вращения.
dt
L
d
M
- векторная форма основного уравнения динамики вращательного
движения;
dt
I
d
dt
dL
M
Z
Z
Z
Z
- в проекции на ось
z
.
Если
const
I
Z
, то
Z
Z
Z
I
M
,
где
Z
- угловое ускорение;
Z
I
,
Z
M
- момент инерции и момент силы
относительно оси.
r,
m
,r
m
,r
p,
r
L
- момент импульса относительно точки;
Z
Z
Z
I
L
- относительно оси
z
,
где
Z
- угловая скорость вращения относительно оси
z
.
2
c
0
d
m
I
I
- Момент инерции относительно
произвольной оси (теорема Штейнера):
где
0
I
- момент инерции тела относительно оси OO;
c
I
- момент инерции тела относительно оси,
параллельной OO и проходящей через
центр масс тела;
d
- расстояние между осями;
m
- масса тела.
const
L
L
N
1
i
i
или
const
L
L
N
1
i
zi
z
- закон сохранения момента импульса.
21
Но
z
z
z
I
L
, тогда
2
2
1
1
I
I
, где
1
I
и
2
I
- начальный и конечный момент
инерции;
1
и
2
- начальная и конечная угловые скорости.
d
M
A
d
z
- работа постоянного момента силы при вращательном движении,
- угол поворота тела.
z
z
z
M
td
d
M
td
A
d
P
- мгновенная мощность, развиваемая при вращательном
движении.
2
I
W
2
z
z
вр
к
- кинетическая энергия вращающегося тела.
2
m
2
I
W
W
W
2
2
z
c
пост
к
вр
к
дв
пл
к
- кинетическая энергия плоского движения тела,
2
m
W
2
пост
к
- кинетическая энергия поступательного движения центра масс;
2
I
W
2
z
c
вр
к
- кинетическая энергия вращения вокруг оси, проходящей через
центр масс.
Для энергии вращательного движения справедлива теорема о
приращении кинетической энергии.
Моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы:
Тело
Ось вращения
Момент инерции
Однородный тонкий стержень
массой m и длиной l.
Проходит через центр инерции
стержня
перпендикулярно
стержню.
2
m
12
1
I
l
Однородный тонкий стержень
массой m и длиной l.
Проходит через конец стержня
перпендикулярно стержню.
2
m
3
1
I
l
Тонкий обруч; кольцо; труба
радиусом
R ,
массой
m,
маховик радиусом R и массой
m, распределенной по ободу.
Проходит через центр инерции
перпендикулярно
плоскости
основания.
2
mR
I
22
Круглый
однородный
диск,
цилиндр радиусом R и массой
m.
Проходит через центр диска,
цилиндра
перпендикулярно
плоскости основания.
2
R
m
2
1
I
Однородный шар радиусом R и
массой m.
Проходит через центр шара.
2
R
m
5
2
I
Указания к решению задач.
При решении задач необходимо сначала выбрать положение оси
вращения, относительно которой будет рассматриваться движение тела.
Результат решения от этого не зависит, однако сложность выкладок может
сильно меняться. Особенно удобно, когда часть сил проходит через ось
вращения и, таким образом, не создает вращающих моментов относительно
этой оси.
Далее необходимо записать основной закон динамики вращательного
движения в проекции на выбранную ось. Возможно, что для вычисления
момента инерции придется применить теорему Штейнера. Затем необходимо
составить систему уравнений и найти искомую величину.
Если тело выполняет плоское движение, то его движение можно
разложить на поступательное со скоростью центра масс и вращательное
относительно оси, проходящей через центр масс. Тогда кинетическая энергия
плоского движения будет представлять сумму двух независимых слагаемых:
одно определяется лишь величинами, характеризующими поступательное
движение центра масс, а второе – величинами, характеризующими вращение.
Примеры решения задач.
Пример 1. Выведите формулу для момента инерции сплошного шара
радиусом R и массой m относительно оси, проходящей через центр масс
23
шара.
Дано
Решение
m
R
,
h
R
r
2
2
2
,
dh
2
r
2
dhr
r
2
r
dm
dI
4
2
2
2
R
0
5
2
2
2
,
R
15
8
dh
h
R
2
2
dI
I
I - ?
,
R
3
4
m
3
.
mR
5
2
R
R
3
4
5
2
I
2
2
3
Ответ:
.
mR
5
2
I
2
Пример 2. Выведите формулу для момента инерции полого шара
относительно оси, проходящей через его центр. Масса шара m, внутренний
радиус r, внешний – R.
Дано
Решение
m
r, R
,r
m
5
2
R
m
5
2
I
2
2
2
1
,
R
3
4
m
3
1
,r
3
4
m
3
2
,
r
R
3
4
m
m
m
3
3
2
1
5
5
2
3
2
3
R
3
4
5
2
R
3
4
5
2
rr
3
4
5
2
R
R
3
4
5
2
I
3
3
5
5
5
5
3
3
3
3
r
R
r
R
m
5
2
r
R
r
R
r
R
3
4
5
2
.
Ответ:
.
r
R
r
R
m
5
2
I
3
3
5
5
I - ?
24
Пример 3. Выведите формулу для момента инерции цилиндрической муфты
относительно оси, совпадающей с её осью симметрии. Масса муфты равна m,
внутренний радиус – r, внешний – R
Дано
Решение
m
r, R
,
dm
r
dI
2
,
rhdr
2
dV
dm
R
r
R
r
4
R
r
3
3
4
r
h
2
dr
r
h
2
hdr
r
2
I
,
r
R
2
h
4
4
I - ?
,
r
R
h
m
m
m
2
2
2
1
.
r
R
m
2
1
I
2
2
Ответ:
.
r
R
m
2
1
I
2
2
25
ТЕРМОДИНАМИКА
Тема 6. Работа идеального газа при изопроцессах. Количество теплоты.
Первое начало термодинамики.
Основные формулы и законы.
Связь между молярной (С
) и удельной (с) теплоемкостями газа
,
c
C
где - молярная масса газа.
Молярные теплоемкости при постоянном объеме и постоянном давлении
соответственно равны
,
2
R
i
C
V
,
2
R
2
i
C
p
где i - число степеней свободы; R- газовая постоянная.
Удельные теплоемкости при постоянном объеме и постоянном давлении
соответственно равны
,
R
2
i
c
V
.
R
2
2
i
c
p
Уравнение Майера
.R
C
C
V
p
Показатель адиабаты
,
c
c
V
p
или
,
C
C
V
p
или
.
i
2
i
Внутренняя энергия идеального газа
N
U
или
,T
C
U
V
где
- средняя кинетическая энергия молекулы;
N
- число молекул газа;
- количество вещества.
Работа, совершаемая газом при изменении его объема
26
,V
dp
A
2
1
V
V
где
1
V
- начальный объем газа;
2
V
- конечный объем газа.
Частные случаи:
а) в изобарном процессе
const
p
;
T
T
R
m
V
V
p
А
1
2
1
2
б) в изотермическом процессе
const
T
;
p
p
ln
RT
m
V
V
ln
RT
m
А
2
1
1
2
в) в адиабатном процессе
2
1
V
T
T
C
m
А
или
,
V
V
1
m
1
RT
А
1
2
1
1
где
1
T
- начальная температура газа;
2
T
- его конечная температура.
Первое начало термодинамики
,A
U
Q
где
Q
- количество теплоты, сообщенное газу;
U
- изменение его внутренней
энергии;
A
- работа, совершаемая газом против внешних сил.
Первое начало термодинамики для процессов:
а) изобарного
const
p
;T
C
m
T
R
m
T
C
m
A
U
Q
p
V
б) изохорного
0
A
;T
C
m
U
Q
V
в) изотермического
0
U
;
V
V
ln
RT
m
А
Q
1
2
г) адиабатного процессе
0
Q
.T
C
m
U
A
V
27
Уравнение Пуассона
.
const
pV
Связь между начальным и конечным значениями параметров состояния газа
в адиабатном процессе:
.
p
p
T
T
;
V
V
T
T
;
V
V
p
p
1
1
2
1
2
1
2
1
1
2
2
1
1
2
Уравнение политропы
,
const
pV
n
где
V
p
C
C
C
C
n
- показатель политропы.
Примеры решения задач.
Пример 1. 10г кислорода находятся под давлением 300 кПа при температуре
10?C. После нагревания при р=const газ занял объем 10 л. Найдите количество
теплоты Q, полученное газом, изменение
∆
W внутренней энергии газа и
работу А, совершенную газом при расширении.
Дано
m=10
-2
кг
р=310
5
Па
С
р
= 29,1Дж/моль·К
t=10?C, Т=283К
V=10л=10
-2
м
3
Решение
Количество теплоты, полученное газом, определяется
следующим соотношением:
T
С
m
Q
p
(1)
Молярная теплоемкость кислорода при р=const;
С
р
=29,1 Дж/моль·К. Запишем уравнение состояния
газа
до
и
после
нагревания:
,
RT
m
pV
1
1
(2)
,
RT
m
pV
2
2
(3).
А - ? Q - ?
∆
U - ?
Вычитая из (3) уравнение (2), получим:
T
R
m
)
V
V(
p
1
2
.
(4)
Из (2)выразим
.
p
mRT
V
1
1
(5)
28
Из (4) для ∆T с учетом (5):
mR
mRT
pV
mR
p
mRT
V
p
T
1
2
1
2
.
(6)
Тогда уравнение (1) можно записать в виде:
mR
)
mRT
pV
(
С
Q
1
2
p
. Изменение
внутренней энергии кислорода:
T
R
m
2
5
U
или, подставляя (6):
)
mRT
pV
(
1
2
5
U
1
2
. Работа, совершаемая при изменении объема газа:
)
V
V
(p
dV
p
A
1
2
V
V
2
1
или, с учетом (5):
p
mRT
V
p
A
1
2
.
Произведя вычисления, получим: А=2,26 кДж, Q=7,92 кДж,
∆
U =5,66 кДж.
Пример 2. Идеальный двухатомный газ, занимающий объем 4 л при
давлении 300 кПа, расширяется адиабатно до объема 6 л. Затем в ходе
изохорного охлаждения давление газа падает до 100 кПа. Определите работу
газа, изменение внутренней энергии и количество теплоты, отданное газом.
Изобразите процесс графически.
Дано
3
3
1
м
10
4
V
3
3
2
м
10
6
V
Па
10
3
р
5
1
Па
10
р
5
3
Решение
Изобразим процесс графически на рV - диаграмме.
?
Q
;U
;А
Работа газа
23
12
A
A
A
. Работа
0
A
23
, т.к. участок
3
2
- изохорный
процесс. Тогда
12
A
A
. При адиабатном процессе
.
T
T
R
m
2
i
T
T
R
m
2
i
U
A
2
1
1
2
12
12
(1)
1
2
3
V
р
29
Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для состояний 1 и 2:
1
1
1
RT
m
V
р
;
2
2
2
RT
m
V
р
.
(2)
Теперь формулу (1) преобразуем, с учетом (2), к виду:
.
V
р
V
р
2
i
A
A
2
2
1
1
12
(3)
Из уравнения адиабаты следует, что
2
2
1
1
V
р
V
р
; тогда
2
1
1
2
V
/
V
р
р
.
(4)
Решая совместно уравнения (3) и (4), получаем:
2
2
1
1
1
1
V
V
/
V
р
V
р
2
i
A
. (5)
Изменение внутренней энергии
1
3
13
T
T
R
m
2
i
U
или, с учетом уравнения
Менделеева-Клапейрона,
1
1
2
3
13
V
р
V
р
2
i
U
.
(6)
Количество теплоты, отданное газом,
23
12
Q
Q
Q
. При адиабатном процессе
0
Q
12
, тогда
23
Q
Q
. При изохорном процессе
2
3
23
23
T
Т
R
m
2
i
U
Q
или,
с учетом уравнения Менделеева-Клапейрона,
2
2
2
3
23
V
р
V
р
2
i
Q
Q
.
(7)
Произведем вычисления по формулам (5), (6) и (7):
.
Дж
1050
Q
;
Дж
1500
U
;
Дж
450
A
Пример 3. В цилиндрах карбюраторного двигателя внутреннего сгорания
газ сжимается политропически так, что после сжатия температура газа
становится равной t
2
=427
о
C. Начальная температура газа t
1
=140
о
C. Степень
сжатия V
2
/V
1
=5,8. Найти показатель политропы n.
Дано:
t
2
= 427
о
C
V
2
/V
1
= 5,8
t
1
= 140
о
C
Решение:
Из уравнения политропического процесса: Т
2
=Т
1
·5,8
n-1
или
.
8,
5
T
T
1
n
1
2
Прологарифмируем
полученное
выражение:
1
n
1
2
8,
5
ln
T
T
ln
или
,8,
5
ln
)1
n(
T
T
ln
1
2
откуда
1
8,
5
ln
)
T/
T
ln(
n
1
2
; n =
1,3.
п — ?
30
Пример 4. В цилиндрах карбюраторного двигателя внутреннего сгорания
газ сжимается политропически до V
2
=V
1
/6. Начальное давление р
1
=90 кПа,
начальная температура t
1
=127C. Найти давление р и температуру t газа в
цилиндрах после сжатия. Показатель политропы n=1,3.
Дано:
V
2
= V
1
/6
t
1
= 127
o
C
n = 1,3
р
1
= 90 кПа
Решение:
Уравнение политропического процесса
.
V
p
V
p
n
2
2
n
1
1
По
условию
6
V
V
1
2
, следовательно,
n
1
2
n
1
1
6
V
p
V
p
, откуда
.
кПа
934
6
p
p
n
1
2
Из уравнения политропического процесса
1
n
2
2
1
n
1
1
V
T
V
T
или
1
n
1
2
1
n
1
1
6
V
T
V
T
, откуда
.K
7,
684
6
T
T
1
n
1
2
р
2
— ?
t
2
— ?
Пример 5. Некоторая масса кислорода занимает объем V
1
= 3 л при
температуре t
1
= 27 °C и давлении р
1
= 820 кПа. В другом состоянии газ
имеет параметры V
2
= 4,5 л и р
2
= 600 кПа. Найти количество теплоты Q,
полученное газом, работу А, совершенную газом при расширении, и
изменении ΔU внутренней энергии газа при переходе газа из одного
состояния в другое: а) по участку АСВ; б) по участку ADB.
Дано
V
1
= 3 л
t
1
= 27 °C
р
1
= 820 кПа
V
2
= 4,5 л
р
2
= 600 кПа
Решение
а) По участку АСВ: участок АС — изохора, т.е. А
1
= 0,
поскольку ΔV = 0. Следовательно,
T
R
m
2
5
U
Q
1
1
.
Q — ?
А — ?
ΔU — ?
31
Согласно уравнению Менделеева – Клапейрона
1
1
1
RT
m
V
p
— (1) и
2
1
2
RT
m
V
p
— (2). Вычтем уравнение (2) из (1), тогда
T
R
m
V
p
p
1
2
1
.
Отсюда
1
2
1
1
1
V
p
p
2
5
U
Q
; Q
1
=1,65 кДж. Участок СВ — изобара,
следовательно, А
2
= р
2
(V
2
– V
1
); А
2
=0,9 кДж. Изменение внутренней
энергии
T
R
m
2
5
U
2
. Согласно уравнению Менделеева – Клапейрона
1
1
2
RT
m
V
p
— (3) и
2
2
2
RT
m
V
p
— (4). Вычтем (3) из (4), тогда
T
R
m
V
V
p
1
2
2
. Отсюда
1
2
2
2
V
V
p
2
5
U
; ΔU
2
= 2,25 кДж. Таким
образом, на всем участке АСВ: работа А = А
2
= 0,9 кДж; изменение
внутренней энергии ΔU = ΔU
2
- ΔU
1
= 0,6 кДж. Согласно первому началу
термодинамики количество тепла Q = ΔU + А = 1,5кДж.
б) Аналогично на участке ADB: работа А = А
1
= р
1
(V
2
– V
1
) = 1,23 кДж;
изменение внутренней энергии ΔU = ΔU
2
- ΔU
1
=
2
5
р
1
(V
2
– V
1
) -
2
2
1
V
p
p
2
5
= 0,6 кДж; количество тепла Q = ΔU + А = 1,83 кДж.
Тема 7. Круговые процессы. Термический КПД. Цикл Карно.
Основные формулы и законы.
Термический коэффициент полезного действия (КПД) цикла в общем случае
1
2
1
Q
Q
Q
,
(1)
где
1
Q
- количество теплоты, полученное рабочим телом (газом) от нагревателя;
2
Q
- количество теплоты, переданное рабочим телом охладителю.
КПД цикла Карно
1
2
1
Q
Q
Q
или
1
2
1
T
T
T
,
(2)
где
1
T
- температура нагревателя,
2
T
- температура охладителя.
Эффективность холодильной машины
32
2
1
2
2
Q
Q
Q
A
Q
,
где
2
Q
- отнятое от охлаждаемого тела тепло;
A
- работа, затрачиваемая на
приведение машины в действие.
Примеры решения задач
Пример 1. Трехатомный идеальный газ совершает цикл Карно. Определите
КПД цикла, если при адиабатическом расширении объем газа увеличивается
в 8 раз.
Дано
V
3
/V
2
=8
i=6
Решение
=?
КПД цикла =
Т
1
-Т
2
Т
1
.
(1)
Для определения температур Т
1
нагревателя и Т
2
холодильника воспользуемся
уравнением адиабаты TV
γ-1
=const, откуда T
1
V
2
γ-1
=T
2
V
3
γ-1
, или
2
1
1
2
3
T
T
V
V
,
где
3
1
i
2
1
. Тогда
3
3
1
3
1
2
3
2
1
8
8
V
V
T
T
, т.е. Т
1
=2Т
2
.
(2).
Подставим (2) в (1), =0,5 или =50%.
Пример 2. Идеальный двухатомный газ (v =1моль), занимающий объём 10л
под давлением 250кПа, подвергают изохорному нагреванию до 400К. Затем
газ изотермически расширяется до начального давления, после чего путем
изобарного сжатия газ возвращают в первоначальное состояние. Постройте
график цикла и определите его КПД.
33
Дано
i=5
v =1 моль
V
1
=10л=10
-2
м
3
р
1
=25010
3
Па
Т
2
=400К
Решение
-?
Построим график цикла, состоящего из изохоры, изотермы и изобары.
Термический КПД цикла
:
1
2
1
Q
Q
Q
.
(1)
Количество теплоты Q
1
, полученное газом за цикл, складывается из количеств
теплоты, сообщенных газу на участках 1→2 и 2→3, т.е. Q
1
=Q
12
+Q
23
.
(2)
Количество теплоты Q
12
=С
v
v (T
2
-T
1
), где С
v
=
i
2
R. Тогда Q
12
=
i
2
Rv (T
2
-T
1
). (3)
Температуру Т
1
определим из уравнения Менделеева-Клапейрона:
R
V
p
T
1
1
1
.(4)
Объединив формулы (4) и (3), имеем Q
12
=
i
2
Rv(T
2
-
R
V
p
1
1
).
(5)
Из первого начала термодинамики Q
23
=A
23
=vRT
2
ln(
V
3
V
2
).
(6)
Учтя, что при р=const, согласно закону Гей-Люссака,
1
3
1
3
T
T
V
V
и, по условию
V
1
=V
2
, T
3
=T
2
преобразуем выражение (6) к виду:
Q
23
=vRT
2
ln(
1
3
V
V
)=vRT
2
ln(
1
1
2
V
р
RT
).
(7)
Объединив (5), (7) и (2), найдем Q
1
=
i
2
Rv(T
2
-
R
V
p
1
1
)+vRT
2
ln(
1
1
2
V
р
RT
).
(8)
Количество теплоты, отданное газом при изобарном сжатии:
Q
2
=Q
31
=С
p
v(T
3
-T
1
), где С
p
=
i+2
2
R, T
3
=T
2
; отсюда Q
2
=
i+2
2
Rv(T
2
-
R
V
p
1
1
).
(9)
34
Окончательно:
1
1
2
2
1
1
2
1
1
2
V
p
R
T
ln
T
2
R
V
р
T
i
R
V
р
T
2
i
1
.
(10)
Произведем вычисления по формуле (10), получим =0,041 или 4,1%.
Пример 3. Идеальная холодильная машина, работающая по обратному циклу
Карно, передает тепло от холодильника с водой при температуре t
2
= 0 °C
кипятильнику с водой при температуре t
1
= 100 °C. Какую массу т
2
воды
нужно заморозить в холодильнике, чтобы превратить в пар массу т
1
= 1 кг
воды в кипятильнике?
Дано
t
1
= 100 °C
t
2
= 0 °C
m
1
= 1 кг
Решение
Коэффициент
преобразования
идеальной холодильной
машины
.
73
,2
T
T
T
2
1
2
Количество тепла, отдаваемое
холодильнику
2
2
m
Q
, где λ = 335 кДж/кг — удельная теплота
m
2
— ?
плавления льда. Количество тепла, принимаемое кипятильником
1
1
rm
Q
, где
r=2,26 МДж/кг - удельная теплота парообразования воды. С другой стороны,
2
1
2
Q
Q
Q
, откуда η(Q
1
– Q
2
) = Q
2
или ηQ
1
– ηQ
2
= Q
2
. Отсюда
)
1(
Q
Q
2
1
или
.
)
1(
m
rm
2
1
Окончательно:
)
1(
rm
m
1
2
; m
2
=4,94 кг.
Тема 8. Энтропия.
Основные формулы и законы.
Элементарное приращение энтропии в равновесном процессе
T
Q
S
d
,
(1)
где
Q
- элементарная теплота, полученная системой.
Конечное приращение энтропии системы
T
Q
S
,
(2)
35
где знак «=» соответствует равновесному процессу, знак «>» - неравновесному;
T
- температура тела, отдающего тепло.
Связь
между
энтропией
и
статистическим
весом
состояния
термодинамической системы
w
ln
k
S
.
(3)
Изменение энтропии идеального газа в произвольном процессе
1
2
1
2
V
1
2
2
1
V
V
ln
R
T
T
ln
C
m
S
S
S
.
(4)
Изменение энтропии в адиабатном процессе
0
Q
; следовательно
0
S
.
(5)
Изменение энтропии в изотермическом процессе
.
V
V
ln
R
m
S
1
2
(6)
Изменение энтропии в изохорном процессе
.
T
T
ln
C
m
S
1
2
V
(7)
Примеры решения задач
Пример 1. Найдите изменение ∆S энтропии при превращении m=10г
льда (t=-20°C) в пар (t
n
= 100°C).
Дано
m=10
-2
кг
Т=253 К
Т
n
=373 К
Решение
Согласно первому началу термодинамики
A
dU
Q
;
pdV
dT
c
m
Q
V
. Из уравнения Менделеева – Клапейрона
давление
V
RT
m
p
, то
dV
V
RT
m
dT
c
m
Q
V
. При переходе из
S-?
одного агрегатного состояния в другое, общее, изменение энтропии
складывается из изменений её в отдельных процессах.
При нагревании льда от T до T
0
(T
0
– температура плавления):
36
0
T
T
0
л
л
1
T
T
ln
mc
T
dT
mc
S
,
(1)
где
K
кг
кДж
1,
2
c
л
- удельная теплоемкость льда.
При плавлении льда
2
1
0
0
2
T
m
T
dQ
S
,
(2)
где
кг
МДж
33
,0
- удельная теплота плавления.
При нагревании воды от T
0
до T
n
:
n
0
T
T
0
n
в
в
3
T
T
ln
mc
T
dT
mc
S
,
(3)
где
К
кг
кДж
19
,4
c
в
- удельная теплоемкость воды.
При испарении воды при температуре T
n
:
2
1
n
n
4
T
mr
T
dQ
S
,
(4)
где
кг
МДж
26
,2
r
- удельная теплота парообразования.
Общее изменение энтропии
4
3
2
1
S
S
S
S
S
;
(5)
Тогда, с учетом выражений (1) - (5), получим
n
0
n
в
0
0
л
T
mr
T
T
ln
mc
T
m
T
T
ln
mc
S
.
(6)
Произведем вычисления по формуле (6), получим
К
Дж
88
S
.
Пример 2. Найдите изменение
S
энтропии при изобарическом расширении
массы
г8
m
гелия от объёма
л
10
V
1
до объёма
л
25
V
2
.
Дано
m=810
-3
кг
V
1
=10
-2
м
3
V
2
=2510
-3
м
3
Решение
Изменение энтропии
2
1
T
Q
S
, где
,
dT
m
С
Q
p
т.к.
const
p
. Теплоемкость при постоянном давлении
,R
2
2
i
С
p
тогда
S-?
.
T
T
ln
R
m
2
2
i
T
ln
R
m
2
2
i
T
dT
m
С
S
1
2
2
1
T
T
p
|
2
1
(1)
37
Т.к. гелий – одноатомный газ, то число степеней свободы
3
i
, и, т.к.
,
const
p
то
2
2
1
1
T
V
T
V
или
1
2
1
2
T
T
V
V
, следовательно,
1
2
V
V
ln
R
m
2
5
S
.
(2)
Произведем вычисления
К
Дж
1,
38
S
.
38
Задачи по разделу «Механика и термодинамика»
Задача 1. Найти зависимость от времени угла α между векторами скорости и
ускорения, его величину в момент времени t
1
, если известен закон изменения
радиуса-вектора материальной точки относительно начала координат.
Номер
задания
Закон изменения радиус-вектора
А
В
t
1
, с
1
j
Bt
i
At
r
2
2 м/с
2
32 м/с
1
2
2 м/с
2
32 м/с
2
3
2 м/с
2
32 м/с
3
4
2 м/с
2
32 м/с
4
5
j
Bt
i
At
r
2
0,5 м/с
2 м/с
2
1
6
1,0 м/с
2 м/с
2
1
7
1,5 м/с
2 м/с
2
1
8
2,0 м/с
2 м/с
2
1
9
j
Bt
i
At
r
2
2,5 м/с
2
10 м/с
2
10
2,5 м/с
2
10 м/с
4
11
2,5 м/с
2
10 м/с
6
12
2,5 м/с
2
10 м/с
8
13
j
Bt
i
At
r
2
12 м/с
2 м/с
2
2
14
12 м/с
4 м/с
2
2
15
12 м/с
6 м/с
2
2
16
12 м/с
8 м/с
2
2
17
j
Bt
i
At
r
2
1,5 м/с
2
16 м/с
4
18
2,0 м/с
2
16 м/с
4
19
2,5 м/с
2
16 м/с
4
20
3,0 м/с
2
16 м/с
4
21
j
Bt
i
At
r
2
20 м/с
5 м/с
2
2,5
22
20 м/с
5 м/с
2
5
23
20 м/с
5 м/с
2
7,5
24
20 м/с
5 м/с
2
10
25
j
Bt
i
At
r
2
4 м/с
2
4 м/с
0,5
26
4 м/с
2
8 м/с
0,5
27
4 м/с
2
12 м/с
0,5
28
4 м/с
2
16 м/с
0,5
39
Задача 2. Заданы законы движения материальной точки вдоль осей x и y. Найти
полное, тангенциальное и нормальное ускорения точки в момент времени t
1
, а
также радиус кривизны траектории в этот момент времени.
Номер
задания
Закон движения вдоль оси x, м
Закон движения вдоль оси y, м
t
1
, с
1
3
t
t2
x
3
2
t2
t
y
0,2
2
0,4
3
0,6
4
0,8
5
2
t3
t2
x
3
t4
24
y
0,1
6
0,3
7
0,8
8
1,0
9
3
t2
t
34
x
2
t
t5
y
0,6
10
0,8
11
1,0
12
1,2
13
t3
t5,
0
x
2
3
t5,
1
t4
15
y
1,2
14
1,3
15
1,4
16
1,5
17
3
2
t5,
0
t
11
x
3
t5,
2
7
y
0,2
18
0,3
19
0,4
20
0,5
21
3
t1,
0
6
x
2
3
t
t2,
0
y
5,0
22
4,0
23
3,0
24
2,0
25
2
t5,
1
t2
5
x
3
t
25
,0
18
y
1,0
26
1,1
27
1,2
28
1,3
40
Задача 3. Два или три тела соединены невесомыми нерастяжимыми нитями,
перекинутыми через блоки, массами которых можно пренебречь. Массы тел
(m
1
, m
2
, m
3
) даны, углы, которые составляют наклонные плоскости с
горизонталью (α
1
, α
2
), известны, коэффициенты трения тел о поверхности (k
1
,
k
2
) также известны. Найти ускорения, с которыми движутся тела, и силы
натяжения нитей в системах, соответствующих номеру задания. Выполнить
дополнительное задание. Трением в блоках пренебречь.
Номер
задания
Система тел
m
1
,
кг
m
2
,
кг
m
3
,
кг
α
1
,
град
α
1
,
град
k
1
k
2
Проанализировать
зависимости
1
2,0
1,0
-
30
-
0,12
0,15
Силы натяжения
и ускорения от
угла α
1
2
2,0
1,0
-
40
-
0,12
0,15
3
2,0
1,0
-
50
-
0,12
0,15
4
2,0
1,0
-
60
-
0,12
0,15
5
0,3
0,1
-
30
45
0,1
0,15
Силы натяжения
и ускорения от
массы m
1
6
0,4
0,1
-
30
45
0,1
0,15
7
0,5
0,1
-
30
45
0,1
0,15
8
0,6
0,1
-
30
45
0,1
0,15
9
3,0
1,0
-
45
-
0,1
-
Силы натяжения
и ускорения от
коэффициента
трения
k
1
10
3,0
1,0
-
45
-
0,2
-
11
3,0
1,0
-
45
-
0,3
-
12
3,0
1,0
-
45
-
0,4
-
13
0,1
0,1
0,2
30
30
0,2
0,2
Силы натяжения
и ускорения от
массы m
3
14
0,1
0,1
0,3
30
30
0,2
0,2
15
0,1
0,1
0,4
30
30
0,2
0,2
16
0,1
0,1
0,5
30
30
0,2
0,2
17
0,2
0,1
0,5
-
-
0,1
0,1
Силы натяжения
и ускорения от
коэффициента
трения
k
1
(k
2
)
18
0,2
0,1
0,5
-
-
0,2
0,2
19
0,2
0,1
0,5
-
-
0,3
0,3
20
0,2
0,1
0,5
-
-
0,4
0,4
21
0,1
0,1
0,2
-
-
0,15
0,15
Силы натяжения
и ускорения от
массы m
3
22
0,1
0,1
0,4
-
-
0,15
0,15
23
0,1
0,1
0,6
-
-
0,15
0,15
24
0,1
0,1
0,8
-
-
0,15
0,15
25
2,0
0,5
-
30
-
0,10
-
Силы натяжения
и ускорения от
коэффициента
трения
k
1
26
2,0
0,5
-
30
-
0,15
-
27
2,0
0,5
-
30
-
0,20
-
28
2,0
0,5
-
30
-
0,25
-
41
Задача 4. Материальная точка массой m под действием консервативной силы
переместилась из точки с координатой x
1
в точку с координатой x
2
.
Составляющая силы F
x
вдоль оси x зависит от координаты по закону F
x
=f (x).
Найти работу, производимую силой, по перемещению материальной точки.
Построить график зависимости работы от величины перемещения.
Номер
задания
m, кг
Закон изменения составляющей
силы
F
x
=f(x), Н
B
C
x
1
, м
x
2
, м
1
0,5
C
x
Bm
F
x
2
4,0 м
3
/с
2
0,2 Н
2
4
2
0,5
4,0 м
3
/с
2
0,2 Н
4
6
3
0,5
4,0 м
3
/с
2
0,2 Н
6
8
4
0,5
4,0 м
3
/с
2
0,2 Н
8
10
5
1,0
Cmx
B
F
x
2,5 Н
1,5 с
-2
0,2
0,4
6
1,0
2,5 Н
1,5 с
-2
0,4
0,6
7
1,0
2,5 Н
1,5 с
-2
0,6
0,8
8
1,0
2,5 Н
1,5 с
-2
0,8
1,0
9
C
x
B
F
x
2,0 Нм
0,5 Н
1
2
10
2,0 Нм
0,5 Н
2
3
11
2,0 Нм
0,5 Н
3
4
12
2,0 Нм
0,5 Н
4
5
13
2,0
C
Bm
F
x
0,3 Н/кг
1,0 Н
0
0,5
14
2,0
0,3 Н/кг
1,0 Н
0
1,0
15
2,0
0,3 Н/кг
1,0 Н
0
1,5
16
2,0
0,3 Н/кг
1,0 Н
0
2,0
17
C
Bx
F
x
5,0 Н/м
0,6 Н
0,1
0,2
18
5,0 Н/м
0,6 Н
0,2
0,3
19
5,0 Н/м
0,6 Н
0,3
0,4
20
5,0 Н/м
0,6 Н
0,4
0,5
21
1,0
Cx
x
m
B
F
x
2
1,5 м
3
/с
2
4,0 Н/м
0,5
1,0
22
1,0
1,5 м
3
/с
2
4,0 Н/м
1,0
1,5
23
1,0
1,5 м
3
/с
2
4,0 Н/м
1,5
2,0
24
1,0
1,5 м
3
/с
2
4,0 Н/м
2,0
2,5
25
2
Cx
B
F
x
1,0 Н
3,0 Н/м
2
0
0,25
26
1,0 Н
3,0 Н/м
2
0,25
0,5
27
1,0 Н
3,0 Н/м
2
0,5
0,75
28
1,0 Н
3,0 Н/м
2
0,75
1,0
42
Задача 5. Два шара подвешены на параллельных нитях одинаковой длины так,
что они соприкасаются. Масса первого шара равна m
1
, масса второго – m
2
.
Первый шар отклоняют так, что его центр тяжести поднимается на высоту H, и
отпускают. После упругого соударения второй шар поднимается на высоту h
2
, а
первый – на высоту h
1
. Найти неизвестные величины согласно номеру задания.
Номер
задания
m
1
, кг
m
2
, кг
H, см
h
1
, см
h
2
, см
1
0,2
0,1
4,5
?
?
2
0,05
0,03
?
?
7,81
3
0,16
0,12
?
0,2
?
4
0,8
?
?
1,17
33,33
5
0,45
0,4
12
?
?
6
0,25
0,15
?
?
12,5
7
0,12
0,08
?
0,68
?
8
0,04
?
?
2,89
46,22
9
0,09
0,05
20
?
?
10
0,75
0,5
?
?
40,32
11
0,12
0,04
?
1,75
?
12
0,1
?
?
1,44
23,11
13
1,0
0,75
14
?
?
14
0,06
0,05
?
?
21,42
15
0,4
0,25
?
0,48
?
16
0,15
?
?
1,2
43,2
17
0,5
0,4
25
?
?
18
0,9
0,45
?
?
10,67
19
0,03
0,02
?
0,84
?
20
0,14
?
?
0,744
16,2
21
0,7
0,3
15
?
?
22
0,02
0,01
?
?
42,67
23
0,55
0,2
?
0,87
?
24
0,3
?
?
1,08
38,88
25
0,6
0,4
23
?
?
26
0,35
0,3
?
?
18,556
27
0,04
0,01
?
3,96
?
28
0,08
?
?
0,306
19,59
43
Задача 6. Несколько тел с массами m
1
, m
2
, m
3
соединены невесомыми нерастяжимыми
нитями, перекинутыми через блоки массой m
0
. Углы, которые составляют наклонные
плоскости с горизонтальной, равны α
1
и α
2
, коэффициенты трения тел о поверхности –
k. Найти ускорения, с которыми движутся тела, и силы натяжения нитей. Блоки считать
однородными дисками. Трением на осях блоков пренебречь.
Номер
задани
я
Система тел
m
0
, кг
m
1
,
кг
m
2
,
кг
m
3
,
кг
k
α
1
,
град
α
2
,
град
1
0,2
0,3
0,3
1,0
0,1
10
-
2
0,2
0,3
0,3
1,0
0,1
20
-
3
0,2
0,3
0,3
1,0
0,1
30
-
4
0,2
0,3
0,3
1,0
0,1
40
-
5
0,5
0,2
0,2
2,0
-
-
-
6
0,5
0,4
0,4
2,0
-
-
-
7
0,5
0,6
0,6
2,0
-
-
-
8
0,5
0,8
0,8
2,0
-
-
-
9
0,2
0,3
0,25
0,1
-
-
-
10
0,2
0,3
0,25
0,2
-
-
-
11
0,2
0,3
0,25
0,3
-
-
-
12
0,2
0,3
0,25
0,4
-
-
-
13
0,3
0,6
0,6
1,0
0,2
-
-
14
0,3
0,6
0,6
1,5
0,2
-
-
15
0,3
0,6
0,6
2,0
0,2
-
-
16
0,3
0,6
0,6
2,5
0,2
-
-
17
0,4
1,4
0,5
-
0,15
25
10
18
0,4
1,4
0,5
-
0,15
25
20
19
0,4
1,4
0,5
-
0,15
25
30
20
0,4
1,4
0,5
-
0,15
25
40
21
0,2
0,8
1,0
-
0,25
45
-
22
0,4
0,8
1,0
-
0,25
45
-
23
0,6
0,8
1,0
-
0,25
45
-
24
0,8
0,8
1,0
-
0,25
45
-
25
0,4
0,5
0,6
0,4
0,1
-
-
26
0,4
0,5
0,6
0,4
0,2
-
-
27
0,4
0,5
0,6
0,4
0,3
-
-
28
0,4
0,5
0,6
0,4
0,4
-
-
44
Задача 7. Тело массой m и радиусом (или длиной) r начинает вращаться
относительно оси, проходящей через его центр масс, таким образом, что
угловое смещение φ меняется по заданному закону φ=φ(t), где A, B, C –
постоянные величины. Найти, какую работу совершает над телом
результирующий момент внешних сил за промежуток времени от t
1
до t
2
.
Размерность величин A, B, C определить самим.
Номер
задания
Вращающееся тело m, г r, см
Закон изменения
φ
А
В
С
t
1
, с t
2
, с
1
Стержень
100
20
B
At
4
4
5
-
1,5
2,0
2
Диск
200
5
3
-7
-
2,0
2,5
3
Обруч
100
12
0,8 0,5
-
2,5
3,0
4
Шар
300
4
2
0,9
-
3,0
3,5
5
Стержень
75
18
Ct
Bt
A
3
2,5
6
-2
1,2
1,4
6
Полый цилиндр
100
5
11
5
1,5
1,4
1,6
7
Шар
200
5
0,7
4
-3
1,6
1,8
8
Сплошной цилиндр
300
4
-8
3
4
1,8
2,0
9
Диск
300
10
3
2
Ct
B
At
-1
5
6
1,0
1,4
10
Стержень
60
12
5
-9
-3
1,4
1,8
11
Шар
350
7
7
12
-4
1,6
2,0
12
Обруч
90
10
-2
8
5
2,0
2,4
13
Полый цилиндр
150
6
C
Bt
At
4
9
-3
-6
0,5
0,6
14
Шар
250
6
7
4
8
0,6
0,7
15
Стержень
120
30
6
-2
-2
0,7
0,8
16
Сплошной цилиндр
500
5
5
-1
3
0,8
0,9
17
Обруч
60
8
5
Bt
A
4
0,8
-
2,0
2,2
18
Стержень
80
15
2
0,9
-
2,2
2,4
19
Диск
400
12
5
0,3
-
2,4
2,6
20
Шар
500
5
-3
0,2
-
2,6
2,8
21
Сплошной цилиндр
400
5
C
Bt
At
5
-4
15
10
1,2
1,3
22
Обруч
80
9
3
-12 -8
1,4
1,5
23
Стержень
90
25
-2
18
9
1,6
1,7
24
Шар
150
4
2
-23 11
1,8
1,9
25
Диск
250
6
Ct
Bt
A
2
8
14
-9
1,0
1,5
26
Полый цилиндр
120
6
-6
26
10
1,5
2,0
27
Шар
400
8
1
17
6
2,0
2,5
28
Стержень
50
10
-4
15
-2
2,5
3,0
45
Задача 8. Газ, молекулы которого содержат n атомов, занимает объем V
1
и
находится под давлением p
1
. При подводе количества теплоты, равной Q, газ
расширился при постоянном давлении до объема V
2
, а затем его давление
возросло до p
2
при неизменном объеме. Внутренняя энергия газа изменилась
при этом на U, газ совершил работу, равную А. Найти неизвестные величины.
Номер
задания
n
V
1
, м
3
p
1
, Па
V
2
, м
3
p
2
, Па
Q, Дж
U, Дж
А, Дж
1
?
410
-2
10
4
610
-2
510
4
?
6500
?
2
1
?
1,210
5
310
-2
610
5
?
?
2400
3
2
1,510
-3
?
310
-3
10
5
?
450
?
4
3
?
410
4
7,510
-3
?
1300
?
100
5
4
?
810
4
4,510
-2
1,510
5
?
16650
?
6
?
510
-3
?
810
-3
610
4
?
570
60
7
1
310
-2
510
3
?
1,510
4
?
787,5
?
8
2
1,210
-3
710
4
?
?
1626
?
336
9
3
210
-3
?
510
-3
2,510
5
?
3150
?
10
2
?
1,510
4
4,510
-3
?
?
562,5
22,5
11
1
1,510
-2
210
5
310
-2
?
?
9000
?
12
?
610
-3
?
910
-3
10
4
150
?
24
13
3
1,210
-2
510
4
?
7,510
4
?
9000
?
14
?
10
-3
?
2,510
-3
410
4
?
225
15
15
4
710
-3
610
3
10
-2
810
3
?
?
?
16
2
?
10
5
610
-3
?
2150
?
400
17
1
2,510
-3
310
5
7,510
-3
?
?
3937,5
?
18
3
10
-2
310
4
?
?
?
7200
600
19
?
910
-3
910
3
210
-2
4,510
4
?
2047,5
?
20
?
510
-2
1,510
5
?
310
5
26250
?
3750
21
4
210
-2
210
4
710
-2
610
4
?
?
?
22
2
?
2,510
5
310
-3
510
5
?
?
500
23
3
310
-3
810
3
?
2,410
4
?
360
?
24
1
610
-2
?
910
-2
?
10500
?
1500
25
?
410
-3
910
4
510
-3
210
5
?
1920
?
26
2
2,510
-2
?
310
-2
?
?
13125
750
27
3
?
710
3
410
-2
410
4
?
4380
?
28
1
810
-3
610
4
10
-2
?
750
?
?
46
Задача 9. Воздух массой 763,16 г, занимающий объем V
1
при давлении p
1
, получает
от нагревателя количество теплоты 30 кДж и совершает один из показанных в
таблице циклов. Найти: КПД
1
цикла, пользуясь данными, приведенными в таблице;
температуры T
max
и T
min
, в пределах которых работает тепловая машина; КПД
2
цикла Карно идеальной паровой машины, работающей между теми же температурами
T
max
и T
min
.
Номер
задания
График цикла
p
1
,
10
5
Па
V
1
,
м
3
p
2
,
10
5
Па
V
2
,
м
3
p
3
,
10
5
Па
V
3
,
м
3
1
AB- изотерма
3,0
0,3
0,35
2,0
2
BC- изохора
1,5
0,6
0,8
1,0
3
CD- изотерма
1,0
0,7
0,75
0,75
4
DA- изохора
1,8
0,65
0,75
1,2
5
AB- изобара
1,75
0,45
0,55
0,8
6
BC- адиабата
1,5
0,5
0,6
0,75
7
CD- изобара
1,9
0,35
0,45
0,6
8
DA- адиабата
1,6
0,55
0,7
0,9
9
AB- изотерма
1,71
0,35
0,55
10
BC- изохора
2,5
0,4
0,75
11
CA- адиабата
2,0
0,5
0,8
12
3,0
0,35
0,6
13
AB- изобара
1,4
0,35
1,0
0,8
14
BC- изотерма
1,6
0,4
1,3
0,75
15
CD- изобара
1,5
0,35
1,1
0,8
16
DA- изотерма
1,3
0,45
1,0
0,9
17
AB- адиабата
2,0
0,45
1,4
1,0
18
BC- изохора
2,5
0,4
1,5
1,0
19
CD- адиабата
1,8
0,5
1,3
1,0
20
DA- изохора
1,6
0,5
1,2
1,0
21
AB- изобара
1,75
0,4
1,0
22
BC- адиабата
1,8
0,5
1,1
23
CA- изотерма
2,0
0,5
1,2
24
2,5
0,35
1,5
25
AB- изобара
1,8
0,4
0,5
1,0
26
BC- адиабата
2,0
0,5
0,55
1,0
27
CD- изохора
1,6
0,45
0,6
1,0
28
DA- адиабата
1,5
0,6
0,75
1,0
47
Задача 10. К идеальному газу массой m подводится определенное количество
теплоты и газ одним из процессов, сопровождающихся изменением температуры от
T
1
до T
2
или объема от V
1
до V
2
, переводится из состояния 1 в состояние 2. Изменение
энтропии при этом равно S. Найти неизвестную величину согласно номеру задания в
таблице.
Номер
задания
Газ
Изопроцесс
m, г
Т
1
, К
Т
2
, К
V
1
, м
3
V
2
, м
3
S,
Дж/К
1
H
2
p=const
?
300
500
-
-
742,9
2
Ar
36
?
400
-
-
12,96
3
N
2
5,6
250
?
-
-
6,39
4
CO
2
13,2
400
600
-
-
?
5
O
2
T=const
?
-
-
0,15
0,6
2,88
6
N
2
14,0
-
-
?
0,25
6,687
7
CO
2
5,5
-
-
0,1
?
1,86
8
He
10,0
-
-
0,02
0,1
?
9
N
2
O
V=const
?
270
540
-
-
8,64
10
Ar
4,2
?
400
-
-
0,538
11
H
2
6,0
225
?
-
-
20,97
12
O
2
8,0
320
400
-
-
?
13
He
p=const
?
-
-
0,1
0,4
115,2
14
O
2
6,4
-
-
?
0,5
5,33
15
N
2
O
8,8
-
-
0,2
?
9,216
16
Kr
12,0
-
-
0,15
0,45
?
17
N
2
O
T=const
?
-
-
0,25
1,0
17,28
18
H
2
5,0
-
-
?
1,5
14,4
19
Ar
28,0
-
-
0,08
?
9,36
20
O
2
24,0
-
-
0,05
0,2
?
21
Kr
V=const
?
300
350
-
-
0,64
22
N
2
O
11,0
?
350
-
-
1,39
23
O
2
12,0
260
?
-
-
3,159
24
He
2,0
200
400
-
-
?
25
Ne
p=const
?
250
500
-
-
14,4
26
Kr
24,0
?
450
-
-
1,179
27
H
2
8,0
280
?
-
-
47,17
28
H
2
O
5,4
400
500
-
-
?
48
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
Тема 9. Электростатическое поле в вакууме.
Основные формулы и законы.
Напряженность
E
и потенциал φ поля точечного заряда q:
r
r
r
q
4
1
E
2
0
;
r
q
4
1
0
.
Связь между напряженностью
E
поля и потенциалом φ:
grad
E
,
z
k
y
j
x
i
grad
в декартовой системе координат.
Принцип суперпозиции полей для заданного:
а) распределения точечных зарядов
i
3
i
0
i
0
0
q
r
r
r
r
4
1
E
;
i
0
i
0
r
r
q
4
1
,
где
0
r
и
i
r
- векторы точки наблюдения (точки, в которой определяются
E
и φ) и точки расположения зарядов q
i
соответственно;
б) непрерывного распределения зарядов
dq
r
r
r
r
4
1
E
3
0
0
0
;
r
r
dq
4
1
0
0
,
где dq может быть равно dV, dS или dl; , и - объемная,
поверхностная и линейная плотность зарядов.
Теорема Гаусса:
S
V
0
dq
1
Sd
E
,
где
Sd
- векторный элемент поверхности S, совпадающий по направлению с
внешней (по отношению к S) нормалью к поверхности dS.
Энергия W поля в заданном объеме:
dV
E
2
W
2
0
.
49
Работа, совершаемая над зарядом силами электрического поля при
перемещении из точки 1 в точку 2:
А
12
= W
p1
-W
p2
= q(φ
1
– φ
2
) или А
12
= q
.
Edl
2
1
Указания к решению задач.
1. Для определения напряженности и потенциала заданного распределения
точечных зарядов следует провести прямое суммирование выражений для
потенциала и напряженности электростатического поля каждого заряда из
заданного распределения.
2. В случае непрерывного заданного распределения объемных (),
поверхностных () или линейных () зарядов провести прямое
интегрирование соответствующих выражений.
3. Для заданного непрерывного распределения зарядов, обладающего плоской,
осевой или центральной симметрией следует применять теорему
Остроградского-Гаусса и формулу, связывающую напряженность поля и
потенциал.
Примеры решения задач.
Пример
1. Тонкий стержень длиной а несёт заряд Q, равномерно
распределенный по длине стержня. На оси стержня на расстоянии
0
r
от его
правого конца находится точечный заряд
0
q
. Найти кулоновскую силу
взаимодействия между стержнем и
0
q
.
Дано
a
Q
0
r
0
q
Решение
?
F
По определению
ld
r
r
r
r
4
1
E
3
0
0
0
.
50
С учетом геометрии задачи
x
r
r
x
0
, dl=dx,
a
Q
,
0
0
0
r
r
2
r
r
0
r
1
r
1
Q
4
1
xd
x
1
Q
4
1
E
0
0
0
0
a
a
a
dE
a
a
. Тогда сила F взаимодействия:
0
0
0
0
0
r
1
r
1
Q
q
4
1
E
q
F
a
a
.
Вектор
F
расположен вдоль оси x в отрицательном направлении.
Ответ:
.
r
1
r
1
Q
q
4
1
F
0
0
0
0
a
a
Пример 2. Определить напряжённость поля отрезка, равномерно заряженного с
линейной плотностью заряда
, в точке О, удалённой от отрезка на расстояние
0
r
. Заданы углы
1
и
2
.
Дано
0
r
1
2
Решение
ld
dq
2
r
kdq
dE
.
Спроецируем
E
d
на оси координат:
sin
E
d
dE
cos
E
d
dE
y
x
2
y
2
x
0
0
0
E
E
E
(по теореме Пифагора).
?
E
0
Рассчитаем
x
dE
и
y
dE
:
sin
r
d
k
dE
cos
r
d
k
dE
2
y
2
x
l
l
;
0
2
r
d
r
d
l
;
0
y
0
x
r
d
sin
k
dE
r
d
cos
k
dE
2
1
2
1
2
1
0
0
y
y
2
1
0
0
x
x
cos
cos
r
k
d
sin
r
k
dE
E
sin
sin
r
k
d
cos
r
k
dE
E
Ответ:
2
2
1
2
2
1
0
0
cos
cos
sin
sin
r
k
E
.
51
Тема 10. Постоянный электрический ток. Законы Ома.
Основные формулы и законы.
Сила тока:
dt
dq
I
.
Связь между силой и плотностью тока:
S
S
dj
I
.
Закон Ома в интегральной форме:
1) для однородного участка цепи
R
R
U
I
2
1
;
2) для полной замкнутой цепи
r
R
I
;
3) для неоднородного участка цепи
r
R
I
2
1
.
Закон Ома в дифференциальной форме:
1) для однородного участка цепи
E
1
E
j
;
2) для неоднородного участка цепи
стор
E
E
j
.
Сопротивление проводника цилиндрической формы:
S
L
R
.
Зависимость сопротивления и удельного сопротивления металлических
проводников от температуры:
)t
1(
R
R
o
t
и
)t
1(
o
t
,
где R
о
и
o
- сопротивление и удельное сопротивление при 0С,
t - температура по шкале С , - температурный коэффициент
сопротивления;
K
1
273
1
.
52
Примеры решения задач.
Пример 1. Цилиндрический воздушный конденсатор с внутренним R
1
и
внешним R
2
радиусами заряжен до разности потенциалов Δφ
0
. Пространство
между обкладками заполнено слабо проводящей средой с удельным
сопротивлением ρ.
Определить: 1) сопротивление среды; 2) силу тока утечки, если высота
конденсатора L (ρ – считать постоянным).
Дано
R
1
R
2
L
φ
0
ρ
Решение
В цилиндрической системе
координат закон Ома в
дифференциальной форме
имеет вид (проекция на радиус-
вектор):
E
1
j
.
(1)
Электрическое поле выразим
через разность потенциалов:
R - ? I - ?
r
1
R
R
ln
dr
d
E
1
2
0
,
(2)
где R
1
rR
2
. Из (1) и (2) находим:
r
1
R
R
ln
j
1
2
0
.
(3)
Полный ток I сквозь площадку S=2rL:
1
2
0
1
2
0
R
R
ln
L
2
<div st
Информация о работе Физика. Теоретические основы