Система одновременных уравнений

 

Таким образом, будем  считать, что в  уравнении у нас присутствуют именно первые эндогенные переменные и первые экзогенные переменные.

Введем в рассмотрение вектор-строку:

 

 

 

 

В соответствии с перенумерацией, представим матрицу в блочном виде:

Вспомним, как связаны  матрицы  : или .

Отсюда:

    (*)

 

Получили систему линейных уравнений, где ( ) – число уравнений, ( ) – число неизвестных

 

Необходимое условие  идентифицируемости уравнения системы: (количество исключенных из уравнения экзогенных переменных должно быть не меньше количества эндогенных переменных в этом уравнении, уменьшенного на единицу) – в этом случае система (*) будет иметь решение.

 

5.  Необходимое и достаточное условие идентифицируемости - существование единственного решения.

 

 

Оценивание  параметров структурной модели

Каждое уравнение  системы одновременных уравнений  не может рассматриваться как самостоятельная часть системы, поэтому применение традиционного метода наименьших квадратов для определения его параметров невозможно, т.к. нарушаются условия МНК: проблема мультиколлинеарности, случайные ошибки уравнения коррелируют с результативными переменными. Таким образом, применение МНК к оцениванию параметров одновременных уравнений дает смещенные и несостоятельные оценки.

Для получения оценок параметров СОУ, удовлетворяющих свойствам эффективности, несмещенности и состоятельности, применяются различные методы в зависимости от вида СОУ. Наиболее распространенные:

• Косвенный МНК;
• Двухшаговый МНК;
• Трехшаговый МНК;
• Метод максимального правдоподобия.

 

Косвенный метод наименьших квадратов

 

КМНК используется в случае, если структурная форма модели является точно идентифицированной.

Алгоритм КМНК включает в себя следующие шаги:

1. на основе структурной формы модели составляется ее приведенная форма;
2. приведенные коэффициенты каждого уравнения оцениваются обычным методом наименьших квадратов;
3. коэффициенты приведенной формы модели трансформируются в параметры структурной модели (при  точно идентифицированной СОУ  по элементам матрицы можно единственным образом найти элементы матриц ).

Рассмотрим применение КМНК для простейшей идентифицируемой эконометрической модели с двумя эндогенными и двумя экзогенными переменными.

 

Дана структурная форма  СОУ: .

Пусть для построения данной модели мы располагаем некоторой  информацией по пяти регионам.

 

Приведенная форма СОУ будет имеет вид:

Применив к каждому  уравнению МНК, найдем приведенные  коэффициенты .

 

Далее переходим от приведенной  формы модели к структурной форме  модели.

Для этого из первого уравнения приведенной формы модели надо исключить , выразив его из второго уравнения приведенной формы и подставив в первое:  .

Тогда

- первое уравнение структурной модели.

 

Чтобы найти второе уравнение  структурной модели, исключим переменную из второго уравнения приведенной формы, выразив его через первое уравнение и подставив во второе.

 

Тогда

- второе уравнение структурной  форма. 

 

Итак структурная форма  модели, найденная КМНК, имеет вид:

 

 

Двухшаговый метод наименьших квадратов

Если система сверхидентифицируема, то КМНК не используется, т.к. он не дает однозначных оценок для параметров структурной модели.

 

Двухшаговый метод наименьших квадратов реализуется в несколько этапов:

1. на основе структурной формы модели составляется ее приведенная форма;
2. с помощью обычного МНК определяются оценки коэффициентов приведенных уравнений;
3. рассчитываются значения тех эндогенных переменных, которые выступают в качестве факторных в сверхидентифицированном уравнении;
4. подставив эти значения вместо фактических в структурную форму, обычным МНК оценивают структурные коэффициенты модели.

Данный метод наименьших квадратов называется двухшаговым, потому что МНК используется дважды: на первом шаге при определении приведенной  формы модели и нахождении на ее основе оценок теоретических значений эндогенных переменных и на втором шаге применительно к структурному сверхидентифицированному уравнению при определении структурных коэффициентов.

 

 

Задача

 

Определить параметры  структурной модели следующего вида:

Период времени	Темп прироста					% безработных
	Зарплата	Цена	Доход	Цена на импорт	ЭАН
1	2	6	10	2	1	1
2	3	7	12	3	2	2
3	4	8	11	1	5	3
4	5	5	15	4	3	2
5	6	4	14	2	3	3
6	7	9	16	2	4	4
7	8	10	18	3	4	5

 

где - эндогенные переменные

- экзогенные переменные

Решение: Приступать к  оцениванию того или иного уравнения  в системе имеет смысл лишь после того, как установлена его идентифицируемость.

Проверим идентифицируемость системы:

1. число эндогенных переменных (3) = числу уравнений (3)

Выпишем матрицу      

3. рассчитаем вектор исключающих априорных ограничений

Одинаковых векторов нет, следовательно, необходимое условие  идентифицируемости системы выполняется

4. ( )

В первое уравнение системы входят 2 эндогенных ( ) и 2 экзогенных переменных ( ), следовательно, - уравнение точно идентифицируемое.

Во второе уравнение системы входят 2 эндогенных ( ) и 2 экзогенных переменных ( ), т.е.  - уравнение точно идентифицируемое.

 

В третье уравнение системы входят 2 эндогенных переменных ( ) и 1 экзогенная переменная ( ), следовательно, - уравнение сверх идентифицируемое.

5. Для того чтобы проверить пятое условие необходимо оценить матрицу приведенной формы .

Необходимое и достаточное  условие идентифицируемости

Для первого уравнения      

Для второго уравнения   

Для третьего уравнения    

Так как система является точно идентифицируемой, то можем  воспользоваться косвенным МНК. Поскольку матрица  уже оценена, то по ее значениям найдем коэффициенты структурной формы каждого уравнения в отдельности.

Для этого необходимо решить систему:    

Для первого уравнения     

 

Тогда решением уравнения  будет

                                                 

 

Для второго уравнения  

 

Аналогичным образом  находим      

Для третьего уравнения    

Откуда      

 

Таким образом, получена структурная модель СОУ: