Система одновременных уравнений

Тема: Система одновременных уравнений

 

Многие экономические  явления допускают моделирование  одним уравнением. Однако существует ряд экономических процессов, представляющих собой сложную систему, для описания которой недостаточно измерить тесноту связи между переменными и построение изолированных регрессионных уравнений. Т.к. при использовании отдельных уравнений регрессии в большинстве случаев предполагается, что факторы можно изменять независимо друг от друга. Однако данное предположение является очень грубым. Изменение одной переменной, как правило, не может происходить при абсолютной неизменности другой. Ее изменение повлечет за собой изменение всей системы взаимосвязанных признаков.   моделируются не одним, а несколькими уравнениями. В силу этого возникает необходимость  использования системы одновременных уравнений.

Так, если изучается  модель спроса как соотношение цен  и количества потребляемых товаров, то одновременно для прогнозирования  спроса необходима модель предложения  товаров, в которой рассматривается также взаимосвязь между количеством и ценой предлагаемых  благ. Это позволяет достичь равновесия между спросом и предложением.

Другой пример: при оценке эффективности производительности нельзя руководствоваться только моделью  рентабельности. Она должна быть дополнена моделью производительности труда, а также моделью себестоимости единицы продукции.

В еще большей  степени возрастает потребность  в использовании системы одновременных уравнений, если мы переходим от исследований на микро уровне к макроэкономическим расчетам.

 

 

Составляющие  СОУ

 

При рассмотрении СОУ переменные делятся на два  больших класса: эндогенные и экзогенные переменные.

Экзогенные (независимые) – переменные, значения которых задаются извне, в определенной степени они являются управляемыми ( ).

Эндогенные (зависимые) – переменные, значения которых формируются в процессе функционирования анализируемой системы под воздействием экзогенных переменных и во взаимодействии друг с другом. ( ).

Лаговые – экзогенные и эндогенные переменные, датированные предыдущими моментами времени ( , ).

Предопределенные – лаговые и текущие экзогенные переменные ( ), а также лаговые эндогенные переменные ( )

 

При моделировании достаточно сложных экономических явлений  часто приходится строить (оценивать) не одно, а несколько регрессионных  уравнений, описывающих зависимость  между эндогенными и предопределенными  переменными.  При этом в одних уравнениях эндогенная переменная рассматривается как объясняющая (независимая), но в тоже время она входит в другое уравнение как зависимая, объясняемая переменная. Другими словами, в рассматриваемой экономической ситуации значения объясняемых и объясняющих  переменных формируются одновременно под воздействием некоторых внешних факторов. Поэтому система таких уравнений получила название система одновременных уравнений (СОУ).

Рассмотрим ситуацию, где исследование одного объекта  характеризуется эндогенными признаками  и предопределенными признаками в разные моменты времени .

 

В общем виде система  одновременных уравнений выглядит следующим образом:

 

                            (1)

 

,

где: - эндогенные переменные, измеренные в момент времени t;

- предопределенные переменные, отнесенные к моменту времени t;

- неизвестные коэффициенты при эндогенных переменных структурной формы СОУ;

 

 - неизвестные коэффициенты при предопределенных переменных структурной формы СОУ;

- регрессионные остатки в момент времени t компоненты которого некоррелированы между собой и для разных t, гомоскедастичны при каждом t.

Обозначим:

 через - вектор эндогенных переменных, измеренных в момент времени t;

 через  - вектор предопределенных переменных, отнесенных к моменту времени t;

- матрица неизвестных коэффициентов  при эндогенных переменных структурной формы СОУ, причем

- матрица неизвестных коэффициентов  при предопределенных переменных структурной формы СОУ;

- вектор регрессионных остатков  в момент времени t компоненты которого некоррелированы между собой и для разных t, гомоскедастичны при каждом t.

 

Тогда удобно СОУ записать в матричном виде:          (1а) 

Будем предполагать, что  коэффициент при  эндогенной переменной равен 1, т.е. b_ii=1, что позволяет каждое уравнение СОУ представить в виде:

Система одновременных уравнений (1) и (1а) называется структурной формой СОУ.

 

Пусть для изучения структурной  формы СОУ проведены наблюдения в момент времени  . 

 

Матрица наблюденных значений эндогенных переменных будет иметь вид:

 

Значения предопределенных переменных:

 

Значения регрессионных  остатков:

 

Тогда модель (1) и (1а) для всех моментов времени будет иметь вид:

 

Если предположить, что матрица невырожденная то умножив обе части системы (1) слева на , получим:

 

 

,   

 

Обозначим или

- вектор регрессионных остатков  приведенной формы, кстати, уже  не являющейся белым шумом.

 

Тогда 

                                                                                                  (2)

 

Модель (2) называется приведенной формой СОУ

 

Приведенная форма СОУ  представляет собой систему линейных функций эндогенных переменных от экзогенных:

,

где - неизвестные коэффициенты приведенной формы СОУ

 

Оценив построчно матрицу приведенной формы из ЛММР:

 

 

В приведенной форме  СОУ неизвестным является параметр . Уравнение представляет собой обычную модель множественной регрессии, где вместо стоит , а вместо стоят .

Таким образом, применив МНК или ОМНК мы можем найти  элементы матрицы.

После того, как мы оценили  матрицу  , нам необходимо найти матрицы . Здесь же сталкиваемся с проблемой: для оценки матриц имеем систему или , в которой число неизвестных (m²+mk) больше, чем число уравнений (mk). Следовательно, данная система (т.е. задача, связанная с нахождением по элементам матрицы ) неразрешима.

Однако, практика эконометрического  моделирования показывает, что матрица В и С имеют достаточно разреженную структуру (большое количество нулевых элементов) и поэтому возможны ситуации, в которых система будет иметь решение.

 

На данном этапе сталкиваемся с проблемой идентификации, под которой понимается возможность численной оценки параметров структурной формы по оценкам коэффициентов приведенной формы.

 

Определение 1. Уравнение структурной формы СОУ называется точно идентифицируемым, если его коэффициенты однозначно определяются по оценкам коэффициентов приведенной формы СОУ.

Определение 2. Уравнение структурной формы СОУ называется неидентифицируемым, если его коэффициенты нельзя определить по оценкам коэффициентов приведенной формы СОУ.

Определение 3. Уравнение структурной формы СОУ называется сверхидентифицируемым, если его коэффициенты оцениваются по оценкам коэффициентов приведенной формы СОУ не единственным образом [1].

 

Вся система называется точноидентифицируемой, если все ее уравнения точноидентифицируемые.

Вся система называется неидентифицируемой, если по крайней  мере одно уравнение этой системы  неидентифицируемое.

 

Рассмотрим  на примерах возможные ситуации.

Модель, описывающая зависимость  спроса и предложения некоторого товара от его цены и дохода в  условиях равновесия:

 

- предложение,

- спрос,  

 

где:

y_1t – спрос(предложение);

y_2t – цена – эндогенные переменные;

x_1t – доход – экзогенные переменные.

 

- неизвестные коэффициенты, которые  подлежат определению.

 

Перейдем к приведенной  форме: для этого умножим первое уравнение на , а второе уравнение на .

 

Далее из второго уравнения  вычтем первое:

 

 

Выразим

Обозначив через , получим - первое уравнение приведенной формы.

 

Аналогичным образом из первого  исходного уравнения вычтем второе:

 

 

Обозначив через , получим - второе уравнение приведенной формы.

 

Таким образом, приведенная  форма СОУ имеет вид:

 

Где

Попробуем ответить на вопрос об идентифицируемости параметров структурной формы СОУ, т.е. о возможности их выражения через коэффициенты приведенной формы СОУ .

Поделив на , получим .

Таким образом, используя коэффициенты приведенной формы СОУ можно найти коэффициенты первого уравнения структурной формы, но не сможем найти коэффициенты второго уравнения структурной формы.

Таким образом, в приведенном выше примере, первое уравнение СОУ является точно идентифицируемым, а второе неидентифицируемым.

Рассмотрим более сложную модель, описывающую предложение и спрос  в условиях равновесия, включив в  модель для спроса процентную ставку x_2t. В итоге модель спроса-предложения будет иметь вид:

Перейдем к приведенной  форме: для этого умножим первое уравнение на , а второе уравнение на .

 

 

Далее из второго уравнения  вычтем первое:

 

 

Обозначив через , получим - первое уравнение приведенной формы.

Аналогичным образом из первого  исходного уравнения вычтем второе:

Обозначив через , получим - второе уравнение приведенной формы.

Таким образом, приведенная  форма СОУ имеет вид:

 

 

 

Таким образом, коэффициент структурной формы СОУ может быть определен по коэффициентам приведенной формы СОУ  двумя различными способами, которые, вообще говоря, дают два разных результата.

Таким образом, в приведенном выше примере, первое уравнение СОУ является сверхидентифицируемым, а второе неидентифицируемым.

 

Условия идентификации системы

Необходимые и достаточные  условия идентификации применяются только к структурной форме СОУ.

Введем обозначения:

- количество эндогенных переменных  в системе;

- количество экзогенных переменных  в системе; 

- количество эндогенных переменных  в  уравнении, проверяемом на идентифицируемость (причем ) ;

- количество экзогенных переменных  всего в уравнении, проверяемом на идентифицируемость (причем ).

 

1. Уравнение системы идентифицируемо в том случае, если число эндогенных переменных равно числу регрессионных уравнений, т.е. матрица - квадратная (причем )

 

2. Ранг матрицы равен количеству экзогенных переменных в системе ( )

 

3. Каждому уравнению структурной формы ставится в соответствие вектор-строка из ( ) элементов (вектор исключающих априорных ограничений).

 

………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………...

Если среди  векторов исключающих априорных  ограничений нет одинаковых, то это  является необходимым условием  идентифицируемости системы.

 

4. Данное условие относится не ко всей системе, а к каждому уравнению системы в отдельности.

Всего в системе  эндогенных и экзогенных переменных, в уравнении присутствуют эндогенных переменных и экзогенных переменных

Перенумеруем их таким  образом, чтобы в первых позициях стояли эндогенные переменные, в первых позициях – экзогенные переменные.