Применение экономико-математического моделирования в прогнозировании издержек

 

Выбрать функции для построения уравнения регрессии.

 

Оценить качественные характеристики построенных уравнений.

 

Провести экономический анализ показателей, вытекающих из полученных расчетов.

 

 Регрессионным анализом  называют систему методов оценки  параметров регрессии - коэффициентов  регрессии на основе имеющихся  наблюдений x и y. Регрессионный анализ является как бы частью корреляционного анализа.

 

 Важным этапом анализа  является постановка задачи регрессионного  анализа. На этом этапе определяются  показатели, включаемые в уравнение  регрессии, форма взаимосвязи, требуемые  статистические данные для проведения  расчетов.

 

Виды уравнений регрессии.

 

 При исследовании корреляционной  зависимости прежде всего должно быть построено уравнение регрессии.

 

 Уравнение регрессии - это модель, которая в численной  форме выражает зависимость показателя  результатов деятельности от  влияющих на нее факторов.

 

 Простейший случай  представляет собой парная корреляция (простая линейная регрессия), где  рассматривается зависимость между  двумя показателями: показателем  результатов (y) и одним фактором (x), от которого зависит этот показатель. Такие модели называются однофакторными. Форма зависимости может быть линейной и нелинейной. Нелинейность может проявляться как относительно факторов, так и входящих в функцию коэффициентов. В экономических исследованиях наиболее часто встречаются шесть следующих формул:

 

 

1. y=a0+a1*x – линейная.

 

 

2. y= a0+a1/x – гиперболическая.

 

 

3. y= a0+a1*x+a2*x^2 –квадратная или полином y=a0+a1*x+a2*x^2+…+an*x^n.

 

 

4. y= a0*x^a1 – степенная.

 

 

5. y= a0*a1^x – показательная.

 

 

6. y= e^a1*x – экспоненциальная

 

 

 Исходными материалами  для составления уравнения регрессии  являются значения показателей  x и y по наблюдениям, т.е. имеется некоторая таблица, в которой фактическим значением x соответствует фактическое значение y, другими словами задана табличная функция.

 

 Графический способ  предполагает построение корреляционного  поля по осям абсцисс и ординат  откладывается фактические значения  x и y по каждому наблюдению. В результате получим множество точек, по которым ещё нельзя судить о характере функции взаимосвязи. Разделим диапазон значений x на равные интервалы и в каждом из этих интервалов среднему значению x точек интервала поставим в соответствие среднее значение y. Таким образом, в каждом интервале вместе всех попавших в неё точек, получаем одну. Соединим средние величины на каждом интервале и выявим эмпирическую линию регрессии, по которой уже можно судить о том, как с изменением x будет меняться y.

 

 Если значительно увеличить  число наблюдений и уменьшить  величину интервала, то эмпирическая  линия регрессии будет приближаться  к теоретической линии регрессии, которая и характеризует сложившуюся  взаимосвязь между исследуемыми  показателями. Уравнение теоретической  линии регрессии может быть  чрезвычайно сложным, поэтому выбирают  одну из известных функций, график  которой приближается к теоретической  линии регрессии.

 

 

Статистические характеристики

 

 Следующий шаг в  регрессионном анализе – это  решение вопроса о надёжности  оценок, полученных из регрессионного  анализа. Для этого рассчитывается  ряд статистических характеристик, которые можно разделить на  две группы:

 

 Характеристики качества  исходной информации;

 

 Характеристики качества  уравнения регрессии.

 

 

 К первой группе  относятся коэффициенты парной  корреляции, средние квадратические отклонения, и коэффициенты вариации.

 

 Из курса математической  статистики известно, что лучшей  характеристикой ряда наблюдений  считается среднеарифметическое. Для  характеристики степени отклонения  индивидуальных значений от среднего  используют дисперсию, а квадратный  корень из дисперсии называют  среднеквадратическим отклонением. С помощью уравнения регрессии  найдена количественная связь  между зависимой и независимой  переменной. Насколько оценка по  уравнению надёжнее оценок с  помощью средней? На этот вопрос  можно ответить коэффициентом  детерминации R2. Он показывает на сколько сократилась сумма квадратов отклонений при переходе от средней арифметической к оценке по уравнению регрессии. Коэффициент детерминации обычно рассчитывается программой регрессионного анализа и равен:

 

S2 факт – S2 рас

 

R2 = --------------------------------

 

S2 факт

 

 

S2 рас – среднее квадратическое отклонение исследуемой величины, рассчитанной по уравнению регрессии;

 

S2 факт – среднее квадратическое отклонение исследуемой величины из экспериментальных наблюдений.

 

 Коэффициент детерминации  представляет собой отношение  квадратов отклонений. Часто он  выражается в процентах и интерпретируется, как количество точек, охваченных  построенным уравнением регрессии.

 

 Корень квадратный  из коэффициента детерминации  называется коэффициентом корреляции  – r.

 

____

 

 r = √ R2

 

 

 Таким образом уравнение связи и коэффициент корреляции являются двумя важнейшими характеристиками корреляционной зависимости изучаемыми показателями. Уравнение в конкретной количественной форме показывает, какая существует зависимость между переменными, а коэффициент корреляции позволяет судить о силе этой зависимости, о тесноте изучаемой связи. Для коэффициента парной корреляции r возможно три крайних случая: r ≈ 1, r ≈ -1, r ≈ 0. По абсолютной величине он не превышает единицы. Когда r близок к единице, то можно говорить о положительной, прямой взаимосвязи между переменными, если r близок к -1, то имеется обратная зависимость. Близкая к нулю говорит об отсутствии статистической зависимости между показателями.

 

 

3. Практическая часть

 

3.1. Построение модели затрат  на производство продукции

 

 

 В ходе данной работы  необходимо построить модель  величины затрат на производство  продукции АО «Автоагрегат» на участке металлопокрытий. Исходными данными является величина издержек производства за последние 2 года 2006-2007 г.г.(см. таблицу.№1)

 

 Необходимо рассчитать  предполагаемые затраты на период  с января по июнь 2008 года. Расчет  производится методом корреляционного  анализа с использованием программы  Excel.

 

 

Затраты на производство АО "Автоагрегат (2006-2007 гг.)

Год, месяц Затраты, тыс. руб.

2006 1 1205,2

2 1313,8

3 1281,5

4 1393,2

5 1305,7

6 1188,5

7 896,1

8 1025,4

9 1049,7

10 1310,1

11 1470,4

12 1468,2

2007 1 1365,9

2 1106,8

3 1245,7

4 1351,2

5 1324,1

6 1235,0

7 1378,4

8 1365,3

9 1209,4

10 1113,2

11 1263,8

12 1355,2

 

 Таблица№1. Исходные данные.

 

 

 Выберем функцию для  построения уравнения регрессии. В качестве приближающей функции  может быть выбрана одна из  следующих:

 

 Линейная ;

 

 Степенная ;

 

 Показательная ;

 

 Многочлен .

 

 Для этого рассмотрим  каждую из функций.

 

 

Линейная функция: в таблице №2 представлен расчет коэффициентов уравнения a,b.

 

 Введем условные обозначения: x – месяц, y – затраты.

 

 Основываясь на методе  наименьших квадратов, суть которого  в том, что необходимо подобрать  такую приближающую функцию, при  которой сумма квадратов отклонений  точного и расчетного значений  будет минимальной, расчет значения  коэффициентов исходного уравнения  будем проводить по формулам:

 

;

 

.

 

 Для этого рассчитаем  вспомогательные показатели: x2, xy, также рассчитаем среднеарифметическое значение показателей x, y, x2, xy.

 

 Для того чтобы сделать  вывод о выборе подходящей  приближающей функции, рассчитаем  коэффициенты корреляции и детерминации.

 

- коэффициент детерминации

 

- дисперсия вычисленная с учетом фактических значений;

 

- дисперсия, вычисленная  с использованием рассчитанных  значений,

 

 Где yi – i-значение результата (фактическое);

 

 yir – i-значение результата (расчетное).

 

- коэффициент корреляции.

 

 Для этого рассчитываем  вспомогательные значения (y-yr)2 (y-ys)2.

 

 

 

 

 

 Оба рассчитанных показателя  удовлетворяют условию, что эти  коэффициенты должны стремиться  к 1. Однако делать вывод о том, является ли линейная функция  приближающей рано, так как не  рассчитаны значения коэффициентов  для других функций.

 

 

 Таблица №2

Предполагаемая приближающая функция: y=a + x*b 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№ 

x 

y 

x^2 

xy 

yr 

(y-yr)^2 

(y-ys)^2

1 1 1205,2 1 1205,19 1226,98 474,81 2921,54

2 2 1313,8 4 2627,6 1229,79 7058,45 2976,66

3 3 1281,5 9 3844,5 1232,59 2392,12 495,45

4 4 1393,2 16 5572,8 1235,40 24902,09 17944,95

5 5 1305,7 25 6528,5 1238,20 4556,07 2158,42

6 6 1188,5 36 7131 1241,01 2756,95 5004,32

7 7 896,1 49 6272,7 1243,81 120903,64 131871,57

8 8 1025,4 64 8203,2 1246,62 48937,10 54681,73

9 9 1049,7 81 9447,3 1249,42 39889,13 43907,54

10 10 1310,1 100 13101 1252,23 3349,17 2586,61

11 11 1470,4 121 16174,4 1255,03 46382,83 44588,02

12 12 1468,2 144 17618,4 1257,84 44251,92 43663,76

13 13 1365,9 169 17756,7 1260,64 11078,84 11376,09

14 14 1106,8 196 15495,2 1263,45 24538,98 23238,33

15 15 1245,7 225 18685,5 1266,25 422,49 183,37

16 16 1351,2 256 21619,2 1269,06 6747,00 8456,41

17 17 1324,1 289 22509,7 1271,87 2728,48 4206,66

18 18 1235,0 324 22230 1274,67 1573,75 587,64

19 19 1378,4 361 26189,6 1277,48 10185,69 14198,81

20 20 1365,3 400 27306 1280,28 7228,21 11248,46

21 21 1209,4 441 25397,4 1283,09 5429,69 2484,15

22 22 1113,2 484 24490,4 1285,89 29822,45 21328,05

23 23 1263,8 529 29067,4 1288,70 619,86 20,78

24 24 1355,2 576 32524,8 1291,50 4057,38 9208,08

Сумма 300 30222 4900 380998 30221,79 450287,10 459337,38

Ср.ариф. 12,50 1259,24 204,17 15874,94 1259,24 18761,96 19139,06

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b 2,81 

 

 

 

R2 0,019702896 

 

 

a 1224,174783 

 

 

 

r 0,140367004 

 

 

 

 

Степенная функция: в таблице №3 представлен расчет коэффициентов уравнения a,b,А.

 

 Расчет ведется по  формулам:

 

 

 

 

 

 

 

 Заглавные буквы означают  логарифмированные данные. Кроме  того, в таблице рассчитываются  вспомогательные показатели 

 

X, Y, X2, XY, yr, (y-yr)2, (y-ys)2.

 

 Рассчитаем значение коэффициентов корреляции и детерминации:

 

 

 

 

 

 

 Таблица №3

Предполагаемая функция: y=a * x^b 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№ 

x 

y 

X 

Y 

X^2 

XY 

yr 

(y-yr)^2 

(y-ys)^2

1 1 1205 0,00 7,09 0,00 0,00 1211,10 34,89 2921,54

2 2 1314 0,69 7,18 0,48 4,98 1223,09 8227,71 2976,66

3 3 1282 1,10 7,16 1,21 7,86 1230,17 2635,19 495,45

4 4 1393 1,39 7,24 1,92 10,04 1235,21 24961,19 17944,95

5 5 1306 1,61 7,17 2,59 11,55 1239,13 4430,94 2158,42

6 6 1189 1,79 7,08 3,21 12,69 1242,35 2900,00 5004,32

7 7 896 1,95 6,80 3,79 13,23 1245,08 121785,64 131871,57

8 8 1025 2,08 6,93 4,32 14,42 1247,44 49303,77 54681,73

9 9 1050 2,20 6,96 4,83 15,28 1249,54 39934,30 43907,54

10 10 1310 2,30 7,18 5,30 16,53 1251,41 3444,60 2586,61

11 11 1470 2,40 7,29 5,75 17,49 1253,11 47216,46 44588,02

12 12 1468 2,48 7,29 6,17 18,12 1254,66 45600,18 43663,76

13 13 1366 2,56 7,22 6,58 18,52 1256,09 12058,91 11376,09

14 14 1107 2,64 7,01 6,96 18,50 1257,41 22683,79 23238,33

15 15 1246 2,71 7,13 7,33 19,30 1258,65 167,59 183,37

16 16 1351 2,77 7,21 7,69 19,99 1259,80 8353,71 8456,41

17 17 1324 2,83 7,19 8,03 20,37 1260,89 3995,77 4206,66

18 18 1235 2,89 7,12 8,35 20,58 1261,91 724,32 587,64

19 19 1378 2,94 7,23 8,67 21,28 1262,88 13343,98 14198,81

20 20 1365 3,00 7,22 8,97 21,63 1263,81 10301,16 11248,46

21 21 1209 3,04 7,10 9,27 21,61 1264,68 3056,16 2484,15

22 22 1113 3,09 7,01 9,55 21,68 1265,52 23201,21 21328,05

23 23 1264 3,14 7,14 9,83 22,39 1266,32 6,35 20,78

24 24 1355 3,18 7,21 10,10 22,92 1267,09 7764,02 9208,08

Сумма 300 30222 55 171 141 391 30027,33 456131,83 459337,38

Ср.ариф. 12,50 1259,24 2,28 7,13 5,87 16,29 1251,14 19005,49 19139,06

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b 0,0142 

 

 

 

R2 0,0070 

 

 

 

 

A 7,0993 

a 1211,0965 

 

r 0,0835 

 

 

 

 

 

Показательная функция: в таблице №4 представлен расчет коэффициентов уравнения a,b,А, B.

 

 Расчет ведется по  формулам:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Заглавные буквы означают  логарифмированные данные. Кроме  того, в таблице рассчитываются  вспомогательные показатели 

 

Y, x2, xY, yr, (y-yr)2, (y-ys)2.

 

 

 Рассчитаем значение коэффициентов корреляции и детерминации:

 

 

 

 

 

 

 Таблица №4

Предполагаемая функция: y=a * b^x 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№ 

x 

y 

Y 

x^2 

xY 

yr 

(y-yr)^2 

(y-ys)^2

1 1 1205 7,09 1 7,09 1215,17 99,68 2921,54

2 2 1314 7,18 4 14,36 1218,25 9129,26 2976,66

3 3 1282 7,16 9 21,47 1221,34 3619,29 495,45

4 4 1393 7,24 16 28,96 1224,43 28481,99 17944,95

5 5 1306 7,17 25 35,87 1227,54 6109,58 2158,42

6 6 1189 7,08 36 42,48 1230,65 1776,32 5004,32

7 7 896 6,80 49 47,59 1233,76 114017,26 131871,57

8 8 1025 6,93 64 55,46 1236,89 44728,17 54681,73

9 9 1050 6,96 81 62,61 1240,02 36223,31 43907,54

10 10 1310 7,18 100 71,78 1243,17 4480,16 2586,61

11 11 1470 7,29 121 80,23 1246,32 50213,74 44588,02

12 12 1468 7,29 144 87,50 1249,47 47841,28 43663,76

13 13 1366 7,22 169 93,85 1252,64 12828,00 11376,09

14 14 1107 7,01 196 98,13 1255,81 22204,87 23238,33

15 15 1246 7,13 225 106,91 1258,99 176,75 183,37

16 16 1351 7,21 256 115,34 1262,18 7923,73 8456,41

17 17 1324 7,19 289 122,20 1265,38 3447,73 4206,66

18 18 1235 7,12 324 128,14 1268,59 1128,20 587,64

19 19 1378 7,23 361 137,34 1271,80 11362,96 14198,81

20 20 1365 7,22 400 144,38 1275,03 8149,55 11248,46

21 21 1209 7,10 441 149,06 1278,26 4741,10 2484,15

22 22 1113 7,01 484 154,33 1281,49 28322,96 21328,05

23 23 1264 7,14 529 164,26 1284,74 438,53 20,78

24 24 1355 7,21 576 173,08 1288,00 4516,35 9208,08

Сумма 300 30222 171 4900 2142 30030 451961 459337

Ср.ариф. 12,5 1259,24 7,13174 204,167 89,268 1251,247303 18831,69832 19139,05747

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B 0,0025 

b 1,00253 

 

R2 0,0161 

 

 

 

A 7,1001 

a 1212,1 

 

r 0,1267