Межотралсевой баланс Леонтьева

Вариант № 6

В лабораторной работе объектом исследования является экономика страны, которая состоит из конечного числа отраслей, то есть выступает в структурированном виде.

Цель лабораторной работы – приобретение навыков построения и исследования моделей межотраслевого баланса.

Рассматривается трех отраслевая экономическая система, для которой выполняются следующие предположения:

1. в экономической системе производятся и потребляются три продукта;
2. каждая отрасль является «чистой», то есть производит только один продукт, а различные отрасли производят разные продукты;
3. совокупный общественный продукт делится на две части: промежуточный и конечный продукт;
4. независимо от масштаба производства удельный выпуск и соотношение затрат предполагается постоянными.

На основе матрицы межотраслевых потоков и вектора конечной продукции схемы межотраслевого баланса в базовом периоде согласно индивидуальному заданию (приложение А) требуется:

1. построить матрицу коэффициентов прямых материальных затрат;
2. проверить продуктивность матрицы коэффициентов прямых материальных затрат;
3. рассчитать матрицу коэффициентов полных материальных затрат;
4. найти объемы валовой продукции отраслей для планового периода, если известен вектор конечной продукции в плановом периоде (приложение Б);
5. восстановить схему межотраслевого материального баланса в плановом периоде;
6. сделать вывод о возможности удовлетворения конечного спроса в плановом периоде и предложить варианты управленческих решений, если имеются ограничения, связанные с а) производственной мощностью отраслей; б) отраслевым распределением трудовых ресурсов.

 

Таблица 1 – Межотраслевой  баланс производства и затрат труда в базовом периоде

 

Отрасль	Межотраслевые потоки			Конечная продукция	Затраты живого труда
	1	2	3	Yi	Li
1	80	90	90	200	170
2	30	75	100	160	90
3	45	40	55	170	130

 

 

Таблица 2 – Информация о конечной продукции и ограничениям по ресурсам в плановом периоде

 

Конечная продукция	Производственные мощности	Трудовые ресурсы
Yi
200	460	170
150	360	90
180	320	135

 

 

Для решения поставленных задач введем обозначения:

X_i – валовой продукт i-той отрасли, ;

Y_i –конечная продукция i-той отрасли, т.е. продукция, которая выходит в область конечного использования (потребление и накопление), ;

х_ij – величины межотраслевых потоков, где i – производящие отрасли, j – потребляющие отрасли;

Z_j – условно-чистая продукция j–той отрасли,  .

 

Рассмотрим подходы к построению и исследованию модели межотраслевого баланса с использованием MS Excel.

 

1) Определим валовую продукцию для каждой отрасли в базовом периоде по формуле:

.

 

		460
Xб	=	365
		310

 

 

Найдем коэффициенты прямых материальных затрат по формуле:

 

.

 

		0,17	0,25	0,29
А	=	0,07	0,21	0,32
		0,10	0,11	0,18

Коэффициент прямых затрат (a_ij) показывает, какое количество продукции i-й отрасли необходимо, учитывая только прямые затраты, для производства единицы продукции j-й отрасли.

Если ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов прямых затрат A = (a_ij), вектор-столбец валовой продукции X = (X_i) и вектор-столбец конечной продукции Y = (Y_i), то математическая модель межотраслевого баланса примет вид:

X = AX +Y

Идея сбалансированности лежит в основе всякого рационального функционирования хозяйства. Суть ее в том, что все затраты должны компенсироваться доходами хозяйства. В основе создания балансовых моделей лежит балансовый метод – взаимное сопоставление имеющихся ресурсов и потребностей в них.

 

2) Проверим продуктивность матрицы А.

 

Существует несколько  критериев продуктивности матрицы  А.

1. Матрица А продуктивна,  если максимум сумм элементов  ее столбцов не превосходит  единицы, причем хотя бы для  одного из столбцов сумма элементов  строго меньше единицы.

2. Для того чтобы  обеспечить положительный конечный  выпуск по всем отраслям необходимо  и достаточно, чтобы выполнялось  одно из перечисленных ниже  условий: 

3. Определитель матрицы  (E - A) не равен нулю, т.е. матрица  (E- A) имеет обратную матрицу (E - A)^-1.

4. Наибольшее по модулю  собственное значение матрицы  А, т.е. решение уравнения |λE - A| = 0 строго меньше единицы. 

5. Все главные миноры  матрицы (E - A) порядка от 1 до n, положительны.

 

Матрица A имеет неотрицательные  элементы и удовлетворяет критерию продуктивности (при любом j сумма элементов столбца ∑a_ij ≤ 1).

 

Найдем матрицу (Е-А). Для  этого из единичной матрицы Е  вычтем матрицу А.

		0,83	-0,25	-0,29
Е-А	=	-0,07	0,79	-0,32
		-0,10	-0,11	0,82

 

Используя стандартную  функцию MS Excel (Мопред) найдем определитель матрицы (E-A). Определитель равен 0,47 > 0, следовательно, существует положительный конечный выпуск по всем отраслям и существуем матрица обратная данной.

 

3) Определим коэффициентов полных материальных затрат:

 

.

Для вычисления воспользуемся  стандартной функцией MS Excel (МОБР).

 

		1,33	0,50	0,67
В	=	0,18	1,40	0,61
		0,18	0,25	1,38

 

 

 

4) Так как матрица продуктивна, то для анализа можно применить уравнение Леонтьева, которое дает возможность рассчитать величины валовой продукции в плановом периоде на основе информации о конечной продукции : .

 

			461,62
	Хп	=	357,14
			321,30

 

 

Результаты расчетов представлены на рисунке 1.

 

 

Рисунок 1 – Определение вектора валовой продукции в плановом периоде (ЭТ «MS Excel»)

 

5) Далее восстановим схему межотраслевого баланса для планового периода, используя результаты предыдущих вычислений и формулу для определения межотраслевых потоков. Найдем условно-чистую продукцию в плановом периоде и проверим выполнение принципа единства материального и стоимостного состава национального дохода. Схема межотраслевого баланса для планового периода без учета ограничений приведена на рисунке 2.

 

 

Рисунок 2 – Балансовая таблица для планового периода (ЭТ «MS Excel»)

На следующем этапе рассмотрим возможность достижения плановых показателей, если имеются ограничения по мощностям и располагаемым трудовым ресурсам.

 

6) Сопоставляя планируемый валовой выпуск и имеющиеся производственные мощности можно сделать вывод о том, что выполнение плана по конечной продукции в целом невозможно ввиду недостаточной производственной мощности первой и второй отрасли. В такой ситуации можно ставить вопрос не об удовлетворении любого вектора спроса, а только такого, на который достаточно мощностей. Если считать, что структура спроса задана, тогда при существующей технологии и ограниченности мощностей ставится задача максимизации конечного спроса в заданной структуре.

 Математическая модель  задачи примет вид:

 

Для поиска искомых переменных воспользуемся возможностями пакета «Поиск решений», который находится  на вкладке «Данные». В открывающемся  окне выберем целевую функцию (укажем ячейку с целевой функцией), укажем диапазон изменяемых ячеек и внесем ограничения. Для наглядности в приложении представлены рисунки.

Таким образом, получили задачу линейного программирования, в которой (n+1) искомых переменных. Результаты решения представлены на рисунке 3.

Проведем анализ обеспечения плановых показателей трудовыми ресурсами. Для этого определим коэффициенты прямой трудоемкости на основе информации базового периода по формуле:

 

.

 

	0,37
t =	0,25
	0,42

 

Далее, зная валовую продукцию  в плановом периоде можно определить потребности в трудовых ресурсах для каждой отрасли:

 

.

 

	170,60
Liп =	88,06
	134,74

 

 

Рисунок 3 – Анализ возможности  выполнения плана при ограничении  по производственным мощностям (ЭТ «MS Excel»)

 

 

Выполнение плановых показателей не возможно, так как присутствует нехватка трудовых ресурсов в первой отрасли. Осуществим максимизацию структуры конечного спроса путем решения задачи, математическая модель которой будет иметь вид:

.

 

Результаты решения  представлены на рисунке 4.

 

 

Рисунок 4 – Анализ возможности выполнения плана при ограничении по трудовым ресурсам (ЭТ «MS Excel»)

 

Анализируя результаты можно сделать вывод, что в  случае наличия ограничений по производственным мощностям первоначальный план должен быть пересмотрен, так как имеющиеся ресурсы позволяют его реализовать только на 99,59 %. Если же ограничения будут связаны с трудовыми ресурсами, то планируемый спрос будет удовлетворен на 99,65 %. Для полного удовлетворения спроса необходимо наращивание возможностей экономической системы.

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение № 1

Рисунок № 5 – «Формулы для расчета данных»

Рисунок 5 – «Расчет межотраслевого баланса в плановом периоде»

Рисунок 7 – «Анализ плана с учетом производственных мощностей»

Рисунок  8 – «Анализ возможностей реализации плана с учетом трудовых ресурсов»

Рисунок  9 – «Работа  с пакетом «Поиск решений»

Рисунок  10 – «Работа  с пакетом «Поиск решений» - рабочее  окно»

 

Рисунок  11 – «Работа  с пакетом «Поиск решений» - добавление ограничений»