Корреляционно-регрессионный анализ

Задание 1.

1.      Без  использования  вычислительной  техники  найдите значение  r(Y,X) выборочного коэффициента корреляции между этими переменными. Методом      наименьших      квадратов      подберите      модель     линейной (непропорциональной) связи между этими переменными, считая переменную Y объясняемой, а переменную  X объясняющей.

2.      Получите   разложение   полной   суммы   квадратов   на   остаточную   и объясненную подобранной моделью суммы квадратов.

3.      Вычислите коэффициент детерминации R2.

4.      Вычислите коэффициент корреляции r (Y,Y*) между переменной Y и переменной Y*, значения которой заменяют значения переменной Y согласно оцененной модели ("выровненные" значения).

5.      Сравните полученные значения r(Y,X) и r(Y,Y*); объясните полученный результат.

1. Коэффициент корреляции величин x и y r(x,y) – свидетельствует о наличии или отсутствии линейной связи между переменными:

Если: rxy = -1, то наблюдается строгая отрицательная связь;

          rxy = 1, то наблюдается строгая положительная связь;

          rxy = 0, то линейная связь отсутствует.

, - стандартное отклонение случайной величины, т.е. мера разброса случайной величины вокруг среднего значения.

= 1,947986

= 2,011374

0,958639 – связь прямая сильная

Парная регрессия – регрессия между двумя переменными y и x, то есть модель вида: y=f(x)+ε, где:

y - зависимая переменная (результативный признак),

x – независимая, объясняющая, переменная ( признак- фактор),

ε - возмущение или стохастическая переменная, включающая влияние неучтенных в модели факторов

При количественной оценке связей используется линейная функция вида:

y=a+вx

Оценивание параметров а, в производится методом наименьших квадратов. Параметры уравнения линейной регрессии можно вычислить следующим образом:

; 

- уравнение регрессии

b=0,98984

a=-16,1682

Получили уравнение регрессии:

-16,1682+0,98984x

Экономический смысл параметров уравнения линейной парной регрессии: Параметр b показывает среднее изменение результата y с изменением фактора x на единицу. Параметр a=y, когда x=0. Если x не может быть равен 0, то a не имеет экономического смысла. Интерпретировать можно только знак при а: если а>0, то относительное изменение результата происходит медленнее, чем изменение фактора, то есть вариация результата меньше вариации фактора: Vy<Vx, и наоборот.

Коэффициент вариации случайной величины x, y (Vx, Vy) – мера относительного разброса случайной величины. Показывает, какую долю среднего значения случайной величины составляет ее средний разброс.

;

В данном случае величина параметра а не имеет экономического смысла.

; ;

; ;

То, что а<0, соответствует опережению изменения результата над изменением фактора:

2. Разложение общей суммы квадратов отклонений переменной y от среднего значения на две части – «объясненную» и «необъясненную»:

            =                      +           

Общая сумма              Сумма квадратов             Остаточная сумма

квадратов                       отклонений,                          квадратов

отклонений                     объясненная                         отклонений

                                           регрессией

Общая сумма квадратов отклонений (Sобщ):

Sобщ ==64,73

Факторная сумма квадратов отклонений (Sфакт):

Sфакт ==59,48693

Остаточная сумма квадратов отклонений (S ост):

S ост= Sобщ - Sфакт=5,24311

Сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией (59,4869) больше остаточной суммы квадратов (5,24311), следовательно уравнение регрессии статистически значимо и фактор x оказывает существенное воздействие на результат y.

3. Коэффициент детерминации (rxy2) – характеризует долю дисперсии результативного признака y, объясняемую дисперсией, в общей дисперсии результативного признака. Чем ближе rxy2 к 1, тем качественнее регрессионная модель, то есть исходная модель хорошо аппроксимирует исходные данные.

=3,717931;  =4,045626

0,919 – прямая сильная связь

Уравнением регрессии объясняется 91,9% дисперсии результативного признака, а на долю прочих факторов приходится лишь 8,1%  ее дисперсии (т.е. остаточная дисперсия).

4. Коэффициент корреляции величин и :

=0,958645 – прямая сильная связь

5.