Контрольная работа по "Экономико-математическому моделированию"

Контрольная работа по предмету «Экономико-математические модели»

 

Задача  № 1.

 

В пространстве 3-х товаров рассмотрите бюджетное  множество при векторе цен P и доходе Q.

1. Описать его и его границу с помощью обычных  векторных неравенств и равенств,
2. Изобразить бюджетное множество и его границу графически,
3. В ответе дать число, равное объему бюджетного множества.

 

Задача  № 2.

 

Пусть производственная функция есть функция Кобба – Дугласа. Чтобы увеличить выпуск продукции на α %, надо увеличить основные фонды на b % или численность работников на с %. В настоящее время 1 работник за месяц производит продукции на М руб., а всего работников L. Основные фонды оцениваются в К руб. В ответе дайте:

1. Производственную функцию,
2. Величину средней фондоотдачи.

 

Задача  № 3.

 

Даны зависимости  спроса D и предложения S от цены. Найдите:

1. Равновесную цену,
2. Выручку при равновесной цене,

Цену, при которой выручка максимальна  и эту максимальную выручку

 

№ вар
	1	2	3
1		1;2;3 103,103, 105
2		1;3;2 104, 53, 106
3		1;3;3 104,103, 106
4		1;2;4 104,53,105
5		2;5;5 104,25,107
6		2;5;4 103,104,107
7		3;6;9 103,103,109
8		2;3;6 104,103,1011
9		1;2;3 103,103,107
10		2;4;6 103,103,103

 

Образец решения

 

Задача  № 1.

 

В пространстве 3-х товаров рассмотрите бюджетное  множество при векторе цен P и доходе Q.

4. Описать его и его границу с помощью обычных  векторных неравенств и равенств,
5. Изобразить бюджетное множество и его границу графически,
6. В ответе дать число, равное объему бюджетного множества.

Данные: P=(3, 8, 5); Q=120.

 

Решение.

 

Вектор цен: P=(3, 8, 5); Набор товаров Х=(х₁, х₂, х₃) (набор товаров – это вектор – столбец, но по соображениям экономии записываем его в виде вектора - строки); Бюджетное множество В – это множество всех наборов товаров Х, которое потребитель может купить на данное количество денег Q при данных ценах Р (при этом необязательно тратить все деньги).

1. Бюджетное множество В можно описать неравенствами:

Обычными:                                                   Векторными:

Общий вид: р₁х₁+р₂х₂+р₃х₃ ≤ Q               Р*Х ≤ Q

          х₁, х₂, х_{3 ≥ 0                             Х ≥ 0}

_{В нашем случае:} 3х₁+8х₂+5х₃ ≤ 120

                   х₁, х₂, х_{3 ≥ 0}

_{Граница бюджетного множества  – это его часть, это множество  всех наборов товаров  стоимостью Q.}

_{Границу бюджетного множества  можно описать  равенствами:}

Обычными:                                                   Векторными:

Общий вид: р₁х₁+р₂х₂+р₃х₃ = Q               Р*Х = Q

          х₁, х₂, х_{3 ≥ 0                             Х ≥ 0}

_{В нашем случае:} 3х₁+8х₂+5х₃ = 120

                   х₁, х₂, х_{3 ≥ 0}

 

2. Для случая 3 товаров бюджетное множество В представляет собой трехгранную пирамиду, одна вершина которой есть начало координат, а 3 другие точки Q/р₁, Q/р₂, Q/р₃, на осях х₁, х₂, х₃. Граница же бюджетного множества – основание этой пирамиды, если ее вершину считать началом координат.

 

Q/р₁ = 120/3 = 40

Q/р₂ = 120/8 = 15

Q/р₃ = 120/5 = 24

                                   

 

3. Объему бюджетного множества V = (1/3)*( Q/р₃)*(1/2)*[( Q/р₁)*( Q/р₂)]      V = (1/3)*( 120/5)*(1/2)*[( 120/3)*( 120/8)] = 2400

Ответ: 2400

        

Задача  № 2.

 

Пусть производственная функция есть функция Кобба – Дугласа. Чтобы увеличить выпуск продукции на α %, надо увеличить основные фонды на b % или численность работников на с %. В настоящее время 1 работник за месяц производит продукции на М руб., а всего работников L. Основные фонды оцениваются в К руб. В ответе дайте:

3. Производственную функцию,
4. Величину средней фондоотдачи.

Данные: а=2, b=4, с=6, М=10⁴, L=10³,К=10¹¹.

 

Решение.

Производственная  функция Кобба – Дугласа имеет вид Y = A * K^α*L^β, где А, α, β – константы (А, α, β > 0, α + β < 1); К – объем фондов либо в стоимостном выражении, либо  в натуральном количестве. L – объем трудовых ресурсов – число рабочих, число человеко-дней и т. д. Y – выпуск продукции в стоимостном или натуральном выражении. При этом β – эластичность продукции по труду, α - эластичность продукции по фондам.

Средняя фондоотдача  к = Y/К – отношение объема произведенного продукта к величине фондов.

α = а/b = 2/4 = ½,  β = а/с = 2/6 = 1/3 , следовательно Y = A * K^1/2*L^1/3

Для нахождения  А подставим в эту формулу К, L, М, учитывая, что Y= М L

Y =10⁴ * 10³ = A * (10¹¹)^1/2*(10³)^{1/3             А = 3,2}

Найдем среднюю  фондоотдачу к = Y/К = 10⁷/10¹¹=0,0001

^Ответ:

Производственная  функция: Y = A * K^1/2*L^1/3

Средняя фондоотдача  к = 0,0001

 

 

Задача  № 3.

 

Даны зависимости  спроса D и предложения S от цены. Найдите:

3. Равновесную цену,
4. Выручку при равновесной цене,
5. Цену, при которой выручка максимальна и эту максимальную выручку.

Данные: D=200-10*p

                S=35 + 5*p.

 

Решение

 

Точка равновесия характеризуется равенством спроса и предложения,

200-10*p = 35 + 5*p           р’ = 11.

Выручка при  равновесной цене W = p’D(p’) = 11*(200-10*11) = 990.

В общем же случае при цене р выручка W(p) = p(min(D(p), S(p))).

На рисунке  показан график выручки в зависимости  от цены.

Максимум  W достигается при р = 10 и равен 1000. Таким образом, максимум достигается не при равновесной цене.

Ответ: р’ = 11, W  = 990, р_max = 10, W_max = 1000

 

Задания № 4.

 

Пусть все  народное хозяйство (район и т.д.) состоит из трех отраслей, каждая из которых выпускает один вид из продукции. В таблице 4 указаны расходные  коэффициенты (прямые затраты) a_ik единиц продукции i-ой отрасли, используемые как сырье (промежуточный продукт) для выпуска единицы продукции k-й отрасли, а также количество единиц y_i  продукции i-й отрасли, предназначенные для реализации (конечный продукт).

Пусть дополнительно  заданы расходные нормы двух видов  сырья и топлива на единицу  продукции соответствующей отрасли, трудоемкость продукции в человеко-часах  на единицу продукции, стоимость  единицы соответствующего материала  и оплата за 1 чел. (таблица 5).

Определить:

1.Коэффициенты  полных затрат.

2.Валовой  выпуск для каждой отрасли.

3. Производственную  программу отраслей.

4. Коэффициенты  косвенных затрат.

5. Суммарный  расход сырья, топлива и трудовых  ресурсов на выполнение производственной  программы.

6. Коэффициенты  прямых затрат сырья, топлива  и труда на единицу конечной  продукции каждой отрасли.

7.Расход  сырья, топлива и трудовых ресурсов  по отраслям.

8. Производственные  затраты в денежных единицах  по отраслям и на всю производственную  программу.

9. Производственные  затраты на единицу конечной  продукции.

10. Параметры  агрегирования при объединении  первой и третьей отраслей.

 

Вариант 1.

                                                                                                               

Отрасли	Прямые затраты аik			Конечный  продукт
	1	2	3
1	0,1	0,4	0	300
2	0,2	0,7	0,1	200
3	0	0,3	0,2	300

                                                                                                                   

	Прямые затраты аik			Стоимость
	1	2	3
Сырье А	2,4	2,4	0,8	5
Сырье В	0,5	0,6	1,6	12
Топливо	2,0	1,8	2,0	7
Трудоемкость	11	23	30	1,4

 

Вариант 2.                                                                                                                

Отрасли	Прямые затраты аik			Конечный  продукт
	1	2	3
1	0,8	0,2	0	100
2	0,2	0,3	0,1	400
3	0	0,1	0,2	300

                                                                                                                   

	Прямые затраты аik			Стоимость
	1	2	3
Сырье А	1,6	0,4	0,8	15
Сырье В	0	0,6	1,6	10
Топливо	2,0	1,8	2,2	8
Трудоемкость	10	30	40	2,2

 

Вариант 3.

 

Отрасли	Прямые затраты аik			Конечный  продукт
	1	2	3
1	0,6	0,2	0	300
2	0,3	0,6	0,1	100
3	0	0,1	0,2	400