Контрольная работа по «Экономико-математические методы и модели в планировании и управлении»

 

После определения значений графы 2 можно рассчитать P0.

= 0,3679

Параметры граф 3,4 и 5 находятся по вышеприведенным формулам.

Вероятность отказа (последняя цифра графы 3):

(безотказная система)

Среднее число занятых линий (итог графы 4):

Среднее число свободных линий (итог графы 5):

Коэффициент занятости:

= 0,1 = 10%

 

Задача 3.

Фирма производит промышленное оборудование. Необходимо на предстоящий календарный год разработать программу дополнительного выпуска промышленных агрегатов. Прогноз дополнительного спроса на продукцию и дополнительной возможности фирмы по ее производству имеется. Поскольку поквартальный спрос на продукцию неодинаков, фирма в течение квартала может производить агрегатов больше, чем это определено спросом, и хранить излишки для удовлетворения спроса в последующие периоды. Хранение продукции влечет за собой дополнительные затраты.

Определить стратегию фирмы по дополнительному производству агрегатов, при которой суммарные затраты на производство и хранение продукции будут минимальными.

Исходные данные приведены в таблице 5:

Таблица 5 – План-прогноз производства промышленного оборудования.

Квартал	Прогноз		Q - емкость склада, шт.	Р - стоимость переналадки линии производственных агрегатов (млн. руб.)	S - себестоимость производства 1 агрегата (млн. руб.)	Н - средние затраты на хранение 1 агрегата (млн. руб.)
	С - дополнительного спроса	М - дополнительной мощности
1	9	10	2	100	30	1
2	5	6	2	90	26	0,6
3	7	6	2	60	28	0,6
4	6	8	2	80	32	0,7

 

Решение.

Разделим процесс планирования на этапы. В данном случае этапом является квартал.

Процесс планирования необходимо вести от конечного этапа к начальному, так как на последнем этапе нет необходимости учитывать развитие процесса за пределами заданного периода.

Введем следующие обозначения:

xk  - количество агрегатов, которые будут произведены в k-м квартале;

y – остаток нереализованных агрегатов.

Составим функциональное уравнение, которое отражает зависимость затрат на производство от объема выпускаемой продукции:

.

Причем существуют следующие ограничения:

Ck – yk-1 £ xk £ M

0 £ yk £ Q.

Данные ограничения означают, что не может быть произведено агрегатов больше, чем предусмотрено мощностью, и меньше, чем существует спрос на агрегаты (т.к. необходимо его удовлетворить) с учетом остатков на складе за предыдущий период.

Нереализованных агрегатов не может быть больше, чем емкость склада.

 

Построим динамическую экономико-математическую модель поквартального удовлетворения спроса при минимальных суммарных затратах. Эта модель отражает все возможные варианты по выпуску агрегатов и их хранению в течение всего периода.

 

Для 4 квартала получаем следующие уравнения, решив которые, определяем значение х в точке минимума:

= 272 д.е. =>  x4 = 6

= 240 д.е. =>  x4 = 5

= 208 д.е. => x4 = 4

 

Для 3 квартала (с учетом результата за 4 квартал) получаем:

 не имеет решения (т.к. С >M).

= 500 д.е. =>  x3 = 6

= 468,6 д.е. =>  x3 = 6

 

Для 2 квартала (с учетом результата за 3 и 4 кварталы) получаем:

= 746,6 д.е. =>  x2 = 6

= 715,8 д.е. =>  x2 = 6

= 689,8 д.е. =>  x2 = 5

 

Для 1 квартала (с учетом результата за 2, 3 и 4 кварталы) получаем:

= 1116,6 д.е. =>  x1 = 9

= 1086,6 д.е. =>  x1 = 8

= 1056,6 д.е. =>  x1 = 7

По динамической экономико-математической модели можно определить оптимальную стратегию производства и хранения агрегатов. Она определяется непрерывной жирной линией.

Существует 3 варианта плана производства:

1. Если на складе остаток нереализованных агрегатов равен нулю, то в 1 квартале необходимо произвести 9 единиц продукции, во втором квартале – 6, в 3 квартале  – 6 и в 4 квартале – 6.
2. Если остаток на складе равен 1, то в 1 квартале необходимо произвести 8 агрегатов, в остальных кварталах – как в 1 варианте
3. Если остаток на складе равен 2, то в 1 квартале необходимо произвести 7 агрегатов, в остальных кварталах – как в предыдущем варианте.

 

Минимальные затраты на производство и хранение агрегатов с учетом удовлетворения спроса равны:

F = 1056,6 д.е

 

Задача 4.

На сетевом графике цифры у стрелок показывают: в числителе – продолжительность работы в днях, в знаменателе – количество ежедневно занятых работников на ее выполнение – Pij.

 

В распоряжении организации, выполняющей этот комплекс работ, имеется 22 рабочих, которых необходимо обеспечить непрерывной и равномерной работой.

Используя имеющиеся запасы времени по критическим работам, скорректируйте сетевой график с учетом ограничения по количеству рабочих.

 

Исходные данные:

Работы	дни	Число исполнителей работ по вариантам
1-2	2	5
1-5	8	9
1-3	2	20
1-4	3	5
2-6	3	8
3-5	2	12
4-6	7	5
5-6	4	11
Всего		22

 

Решение.

Для решения задачи необходимо рассчитать параметры сетевого графика и определить критический путь и работы, которые его образуют.

К таким параметрам относятся:

• tij – продолжительность данной работы
• , - возможные ранние сроки начала и окончания данной работы;
• , - допустимые поздние сроки начала и окончания данной работы;
• TКР – длина критического пути
• rij – частный резерв времени данной работы;
• Rij – общий полный резерв времени данной работы;

 

Для расчета параметров графика воспользуемся табличным способом.

Колонки 1, 2 и 3 заполняются согласно исходным данным (см. рисунок).

Затем рассчитываются значения колонок 4 и 5, то есть ранние сроки начала и окончания работ.

Раннее начало работ, выходящих из начального события, равны нулю.

Раннее возможное окончание работы определяется по формуле:

.

Если данной работе предшествует только одна работа, то раннее начало данной работы равно раннему окончанию предшествующей работы:

.

Если данной работе предшествуют несколько работ, то ее раннее начало равно максимальному значению из всех ранних окончаний предшествующих работ:

.

После заполнения колонок 4 и 5 определяется длина критического пути TКР. Она равна максимальному из ранних окончаний завершающий работ.

= 12 дней.

Далее определяются поздние сроки начала и окончания работ (колонки 6 и 7).

Позднее окончание работ, входящих в конечное событие, равно ТКР.

Допустимое позднее начало работы определяется по формуле:

.

Если у данной работы последующих работ одна, ее позднее окончание равно позднему началу последующей работы:

.

Если за данной работой следуют 2 и более работ, то ее позднее окончание будет равно минимальному значению из всех поздних начал последующих работ:

Далее определяются полный и частный резервы времени (колонки 8 и 9).

Пути, у которых поздние начала совпадают с ранними, называют критическими. Они не располагают резервами времени. Эти работы лежат на критическом пути.

Работы, не лежащие на критическом пути, располагают определенными запасами времени на их выполнение.

Полный резерв определяется по формуле:

   или   .

Это время, на которое можно задержать начало данной работы, по сравнению с наиболее ранним возможным временем ее начала, или на которое можно увеличить продолжительность работы, без изменения общего срока окончания всех работ.

Частный резерв определяется по формуле:

.

Это время, на которое можно отсрочить начало работы или увеличить ее продолжительность без изменения сроков раннего начала последующих работ.

 

Результаты расчетов представлены в таблице:

Кол-во предш.	Работы	tij	РНij	РОij	ПНij	ПОij	rij	Rij
0	1-2	2	0	2	7	9	0	7
	1-5	8	0	8	0	8	0	0
	1-3	2	0	2	4	6	0	4
	1-4	3	0	3	2	5	0	2
1	2-6	3	2	5	9	12	7	7
1	3-5	2	2	4	6	8	4	4
1	4-6	7	3	10	5	12	2	2
2	5-6	4	8	12	8	12	0	0

 

Работы 1-5 и 5-6 образуют критический путь.

 

Проведем оптимизацию сетевого графика, то есть скорректируем его с –целью проведения соответствия потребностей с возможностями.

Построим диаграмму сетевого графика на основании произведенных ранее расчетов.

Дни	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	Итого
Работы
1-2	5	5											10
1-5	9	9	9	9	9	9	9	9					72
1-3	20	20											40
1-4	5	5	5										15
2-6			8	8	8								24
3-5			12	12									24
4-6				5	5	5	5	5	5	5			35
5-6									11	11	11	11	44
Итого	39	39	34	34	22	14	14	14	16	16	11	11	264