Контрольная работа по "Эконометрике"

 

Так же построим модель по последним четырем наблюдениям (регрессия-2), для этой модели остаточная сумма квадратов .

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	51,11	51,11	10,61	0,08
Остаток	2	9,64	4,82
Итого	3	60,75

Рассчитаем статистику критерия:

Критическое значение при уровне значимости и числах степеней свободы составляет ( по таблице критических точек распределения Фишера).

Схема критерия:

 

Вывод: сравним , следовательно, свойство постоянства дисперсии остатков выполняется, модель гомоскедастичная.

 

В учебных целях проверим выполнений свойства независимости  ряда остатков по первому коэффициенту автокорреляции

=0,013

 

Критическое значение для коэффициента автокорреляции определяется как отношение  и составляет для данной задачи 0,620

Сравнение показывает, что |r(1)| = 0.013 < r_кр = 0.620, следовательно, ряд остатков некоррелирован.

 

4.2. Проверка соответствия ряда остатков нормальному закону распределения.

Это соответствие проверим с помощью R/S - критерия.

 

 

С помощью функции  МАКС и МИН для ряда остатков определим  =6,302; =-3,612. SЕ находится из программы «регрессия» в графе «стандартная ошибка и составляет S_E = 3,101749 (таблица 2).

Тогда R/S = = 3,196

Критический интервал определяется по таблице критических границ отношения R/S и при n = 10 составляет (2,67; 3,69).

Вывод: 3,196 ∈ (2,67; 3,57), значит, для построенной модели свойство нормального распределения остаточной компоненты выполняется.

 

Проведенная проверка предпосылок  регрессионного анализа показала, что  для модели выполняются все условия Гаусса-Маркова, т. е. данная модель является классической нормальной регрессионной моделью.

 

 

4. Осуществить проверку значимости  параметров уравнения регрессии 
с помощью t-критерия Стьюдента (α=0,05).

Статистическая значимость параметров уравнения определяется по критерию Стьюдента:
Расчитаем критерий Стьюдента для параметра а0:
Расчитаем критерий Стьюдента  для параметра а1:

 

t - статистики для коэффициентов уравнения регрессии приведены в таблице 4. Для свободного коэффициента a =12,573 определена статистика t(a) = 2,481. Для коэффициента регрессии b = 1,319, определена статистика t(b) = 9,418.

Критическое значение t_кр = 2,306 найдено для уровня значимости α = 5% и числа степеней свободы k = 10-1-1 = 8 (по таблице значений t-критерия Стьюдента).

Схема критерия:

 

 

 

Вывод: |t(a₀) = 2,481| > t_кр = 2,306, следовательно, свободный коэффициент а является значимым. |t(а₁) = 9,418| > t_кр = 2,306, следовательно, коэффициент регрессии b является значимым.

 

 

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения  регрессии с помощью F- критерия  Фишера (α=0,05), 
найти среднюю относительную ошибку аппроксимации 
Сделать вывод о качестве модели

Коэффициент детерминации можно рассчитать по формуле:

 

 

 Также коэффициент детерминации (R-квадрат) определен программой РЕГРЕССИЯ (таблица 2). И составляет R² = 0,917 = 91,7%.

Вывод: таким образом, вариация (изменение) объема выпуска продукции (Y) на 91,7% объясняется по полученному уравнению вариацией объема капиталовложений (X).

 

Проверим значимость полученного  уравнения с помощью F - критерия Фишера. Его можно рассчитать по формуле:

 

 

Также данный критерий (F – статистика) определена программой РЕГРЕССИЯ (таблица 3) и составляет F = 88,707.

Критическое значение F_кр = 5,318 найдено для уровня значимости α = 5% и чисел степеней свободы k₁ = 1, k = 8 (по таблице значений F-критерия Фишера).

 

 

Вывод: сравнение показывает: F = 88,707 > F_кр = 5,318; следовательно, уравнение модели является значимым, его использование целесообразно, зависимая переменная Y достаточно хорошо описывается включенной в модель факторной переменной Х.

 

Для вычисления средней относительной ошибки аппроксимации рассчитаем дополнительный столбец относительных погрешностей, которые вычислим по формуле с помощью функции ABS (таблица 6).

Таблица 6.

Наблюдение	Остатки	Y	Еi/Y	Отн погр.
1	-2,19	46	-0,04756	4,76%
2	-0,19	48	-0,00392	0,39%
3	2,49	52	0,04794	4,79%
4	-2,51	47	-0,05334	5,33%
5	1,62	63	0,02574	2,57%
6	6,30	69	0,09134	9,13%
7	-2,02	62	-0,03253	3,25%
8	0,35	67	0,00515	0,52%
9	-3,61	67	-0,05391	5,39%
10	-0,25	73	-0,00343	0,34%

 

По столбцу  относительных погрешностей найдем среднее значение (функция СРЗНАЧ).

Схема проверки:

Вывод: 3,65% < 5%, следовательно, модель является точной.

 

На основании проверки предпосылок МНК, критериев Стьюдента и Фишера и величины коэффициента детерминации модель можно считать полностью адекватной. Дальнейшее использование такой модели для прогнозирования в реальных условиях целесообразно.

 

 

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости

, если прогнозное значение фактора X 
составит 80% от его максимального значения

 

Согласно условию  задачи прогнозное значение факторной  переменной Х составит 80% от 46, следовательно, . Рассчитаем по уравнению модели прогнозное значение показателя У:

.

Таким образом, если объем капиталовложений составит 36,8 млн. руб., то ожидаемый объем выпуска продукции составит около 61,11 млн. руб.

Зададим доверительную  вероятность  и построим доверительный прогнозный интервал для среднего значения Y.

Для этого нужно  рассчитать стандартную ошибку прогнозирования:

Предварительно  подготовим:

-   стандартную  ошибку модели  (Таблица 2);

-  по столбцу исходных данных Х найдем среднее значение (функция СРЗНАЧ) и определим (функция КВАДРОТКЛ).

Следовательно,  стандартная  ошибка  прогнозирования  для  среднего  значения  составляет:

Вычислим рри размах доверительного интервала для среднего значения:

 

Границами прогнозного  интервала будут

Вывод: таким образом, с надежностью 90% можно утверждать, что если объем капиталовложений составит 36,8 млн. руб., то ожидаемый объем выпуска продукции будет от 59,27 млн. руб. до 62,95 млн. руб.

 

 

7.  Представить графически фактические и модельные 
значения Y точки прогноза

 

Для построения чертежа используем Мастер диаграмм (точечная) – покажем исходные данные (поле корреляции).

Затем с помощью  опции  Добавить линию тренда…  построим линию модели: 

тип → линейная;  параметры → показывать уравнение  на диаграмме. 

Покажем  на  графике  результаты  прогнозирования.  Для этого в опции Исходные данные добавим ряды:

Имя → прогноз; значения ;  значения ;

Имя → нижняя граница; значения ;  значения ;

Имя → верхняя граница; значения ; значения

 

 

 

8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

гиперболической; степенной; показательной

 

Гиперболическая модель не является стандартной. 

Для ее построения выполним линеаризацию: обозначим и получим вспомогательную модель . Вспомогательная модель является линейной. Ее можно построить с помощью программы РЕГРЕССИЯ, предварительно подготовив исходные данные: столбец  значений (остается без изменений) и столбец преобразованных значений (таблица 7).

                                                                                                               Таблица 7 

  

X	Y	1/Х
27	46	0,037
27	48	0,037
28	47	0,036
28	52	0,036
37	63	0,027
38	69	0,026
39	62	0,026
41	67	0,024
44	67	0,023
46	73	0,022

 

 

С помощью программы РЕГРЕССИЯ  получим:

	Коэффициенты
Y-пересечение	105,4257639
1/Х	-1569,007707

 

Таким образом, ; , следовательно, уравнение гиперболической модели .

С  помощью  полученного  уравнения  рассчитаем  теоретические  значения для каждого уровня исходных данных .

Покажем  линию  гиперболической модели  на  графике. Для  этого  добавим  к  ряду исходных данных ,  ряд теоретических значений .