Экономико-математическая модель

5. Экономико-математическая  модель

Математические методы статистики становятся все более  популярными. Объясняется это просто: математическая статистика дает специалистам-практикам  мощный, хорошо разработанный аппарат  для объективного анализа.

В данном разделе произведем многофакторный корреляционно-регрессионный анализ, поскольку он наиболее полно и достоверно позволяет оценить степень влияния факторных переменных на результирующий признак. Благодаря этому анализу, можно выявить, какой фактор оказывает наибольшее значение на интересующий результат.

Задачи корреляционного  анализа сводятся к измерению  тесноты известной связи между  варьирующими признаками, определению  неизвестных причинных связей (причинный  характер которых должен быть выяснен  с помощью теоретического анализа) и оценки факторов, оказывающих наибольшее влияние на результативный признак.

Задачами регрессионного анализа являются выбор типа модели (формы связи), установление степени  влияния независимых переменных на зависимую и определение расчётных значений зависимой переменной (функции регрессии).

Исследование связей в условиях массового наблюдения и действия случайных факторов осуществляется, как правило, с помощью экономико-статистических моделей. В широком смысле модель – это аналог, условный образ (изображение, описание, схема, чертёж и т.п.) какого-либо объекта, процесса или события, приближенно воссоздающий «оригинал». Модель представляет собой логическое или математическое описание компонентов и функций, отображающих существенные свойства моделируемого объекта или процесса, даёт возможность установить основные закономерности изменения оригинала. В модели оперируют показателями, исчисленными для качественно однородных массовых явлений (совокупностей). Выражение и модели в виде функциональных уравнений используют для расчёта средних значений моделируемого показателя по набору заданных величин и для выявления степени влияния на него отдельных факторов.

По количеству включаемых факторов модели могут быть однофакторными и многофакторными (два и более факторов).

Опираясь на расчеты  предыдущих глав, в качестве признака мной выбран один из важных показателей работы предприятия – рентабельность производства.

Форму связи  между выбранными случайными величинами определим как множественную линейную. т.е. будем искать зависимость в виде

,

где у – рентабельность производства, %;

х₁ - коэффициент внедрения новой техники;

х₂ –удельный вес нематериальных активов во внеоборотных активах, %;

х₃ – удельный вес материальных затрат в себестоимости продукции, %.

Представим  данные для корреляционно регрессионного анализа в табл. 5.1.

Таблица 5.1

Исходные данные для корреляционно-регрессионного анализа

Квартал	Коэффициент внедрения новой техники	Удельный вес нематериальных активов  во внеоборотных активах, %	Удельный вес материальных затрат в себестоимости продукции, %	Рентабельность производства, %
2010 год
I	0,033	0,013	48,5	4,06
II	0,036	0,016	51,7	3,88
III	0,034	0,014	49,5	4,25
IV	0,035	0,015	51,5	4,07
2011 год
I	0,113	0,007	71,75	3,84
II	0,115	0,005	73,77	3,87
III	0,111	0,006	69,76	3,79
IV	0,113	0,006	71,77	3,84

 

Квартал	Коэффициент внедрения новой техники	Удельный вес нематериальных активов  во внеоборотных активах, %	Удельный вес материальных затрат в себестоимости продукции, %	Рентабельность производства, %
2012 год
I	0,134	0,029	84,49	4,98
II	0,136	0,028	87,27	4,97
III	0,129	0,032	83,44	4,28
IV	0,133	0,029	85,03	4,74

 

Составим таблицу 5.2 исходных данных для проведения корреляционно-регрессионного анализа с помощью пакета MS Exel

Таблица 5.2

Исходные данные

Y	X1	X2	X3
4,06	0,033	0,013	48,5
3,88	0,036	0,016	51,7
4,25	0,034	0,014	49,5
4,07	0,035	0,015	51,5
3,84	0,113	0,007	71,75
3,87	0,115	0,005	73,77
3,79	0,111	0,006	69,76
3,84	0,113	0,006	71,77
4,98	0,134	0,029	84,49
4,97	0,136	0,028	87,27
4,28	0,129	0,032	83,44
4,74	0,133	0,029	85,03

 

На основании исходных данных, исследуем их зависимость. Для  этого:

1. Построим матрицу коэффициентов парной корреляции и проанализируем ее.

2. Рассчитать параметры линейной и экспоненциальной моделей. Для расчета параметров линейной модели использовать функцию ЛИНЕЙН и инструмент Регрессия надстройки Пакет анализа, для расчета параметров экспоненциальной - функцию ЛГРФПРИБЛ. Для линейной и экспоненциальной моделей рассмотреть случаи, когда аргумент Константа в функциях ЛИНЕИН и ЛГФРФПРИБЛ имеет значение ИСТИНА и ЛОЖЬ.

3. Сделать выводы: 1) о значимости коэффициентов, входящих в модель; 2) об адекватности модели фактическим данным;

4. На основе проведенного  анализа определить вид модели, наиболее точно описывающей фактические данные;

5. Рассчитать прогнозные  значения, используя выбранную модель. Найти отклонение фактических  данных от расчетных. Сделать  вывод;

Проведение  корреляционного анализа средствами MS Excel

Для построения матрицы коэффициентов парной корреляции необходимо выбирать команду меню Сервис/Анализ данных/Корреляция. Откроется следующее диалоговое окно:

Далее следует нажать кнопку OK. После этого будет создана матрица коэффициентов парной корреляции:

	Y	X1	X2	X3
Y	1
X1	0,42	1
X2	0,85	0,34	1
X3	0,57	0,98	0,51	1

 

Рис. 5.1. Матрица коэффициентов парной корреляции

В результате работы программы  «Корреляция» рассчитана матрица парных коэффициентов корреляции (ввиду симметричности этой матрицы (г_ij.) в результатах работы программы «Корреляция» приводится только часть матрицы — не выше главной диагонали). Жирным шрифтом выделены коэффициенты корреляции, по модулю большие 0,7.

На основе анализа  матрицы парных коэффициентов корреляции можно сделать следующие выводы. Наиболее сильна линейная связь результативного признака Y (рентабельность производства) с факторным признаком: X₂ — удельный вес нематериальных активов во внеоборотных активах. Достаточно сильна линейная связь между регрессорами X₁ и X₃ (соответственно коэффициент внедрения новой техники и удельный вес материальных затрат в себестоимости продукции). Малые значения оценок коэффициентов корреляции между остальными регрессорами говорят об относительно слабой линейной связи между ними. Коллинеарными следует признать пары регрессоров X₁ и X₃.

Проведение  регрессионного анализа средствами MS Excel

Расчет параметров линейной регрессии с использованием функции ЛИНЕЙН:

Для линейной аппроксимации  в Excel существует функция ЛИНЕЙН(изв. зн. Y, изв. зн. X, константа, статистика) она возвращает массив значений описывающих кривую вида:

где изв. зн. Y – это известные значения функции

изв. зн. X – это известные значения аргументов

константа – определяет чему должно равняться b, если константа имеет значение ЛОЖЬ то b полагается равным 1, иначе b вычисляется обычным образом.

статистика – если значение равно ИСТИНА то будет представлена дополнительная регрессионная статистика, если ЛОЖЬ то нет.

В результате в данных ячейках будет полная статистическая информация:

 

 

 

 

 

Линейная зависимость
0,071	13,718	-20,248	0,999
0,072	22,928	22,254	2,550
0,773	0,248	#Н/Д	#Н/Д
9,093	8,000	#Н/Д	#Н/Д
1,681	0,493	#Н/Д	#Н/Д

 

Полученные числа имеют  следующий смысл:

mn	mn-1	…	b
Sen	Sen-1	…	Seb
R2	Sey
F	Df
Ssreg	Ssresid

 

S_e – стандартная ошибка для коэффициента m

S_eb – стандартная ошибка для свободного члена b

R² – коэффициент детерминированности, который показывает как близко уравнение описывает исходные данные. Чем ближе он к 1, тем больше сходится теоретическая зависимость и экспериментальные данные.

S_ey – стандартная ошибка для y

F – критерий Фишера определяет случайная или нет взаимосвязь между зависимой и независимой переменными

Df – степень свободы системы

Ssreg – регрессионная сумма квадратов

Ssresid – остаточная сумма квадратов

Аналогичным образом  построим линейную регрессионную зависимость  при аргументе Константа равном 0:

Линейная зависимость
0,099	5,380	-28,882	0,000
0,005	8,115	2,964	#Н/Д
0,998	0,236	#Н/Д	#Н/Д
1282,124	9,000	#Н/Д	#Н/Д
214,782	0,503	#Н/Д	#Н/Д