Износ и замена оборудования

Замена оборудования требуется в тот момент когда прибыль становится меньше, а затраты на обслуживание и ремонт резко увеличиваются. Блок-схема алгоритма представлена на рисунке 1.2.

 

Рисунок 1.2 – Блок схема алгоритма замены оборудования

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Модель замены оборудования

2.1 Принцип оптимальности Беллмана

 

Рассмотрим принцип оптимальности Беллмана.

Метод динамического программирования состоит в том, что оптимальное управление строится постепенно. На каждом шаге оптимизируется управление только этого шага. Вместе с тем на каждом шаге управление выбирается с учётом последствий, так как управление, оптимизирующее целевую функцию только для данного шага, может привести к неоптимальному эффекту всего процесса. Управление на каждом шаге должно быть оптимальным с точки зрения процесса в целом. Это основное правило динамического программирования, сформулированное Беллманом, называется принципом оптимальности.

Планируется эксплуатация оборудования в течение некоторого периода времени. Оборудование имеет тенденцию с течением времени стареть и приносить все меньший доход. При этом есть возможность в начале любого года продать устаревшее оборудование за определенную цену, которая также зависит от возраста, и купить новое оборудование.

Под возрастом оборудования понимается период эксплуатации оборудования после последней замены, определенный в годах. Требуется найти оптимальный план замены оборудования на новое так, чтобы суммарный доход за все годы эксплуатации был максимальным.

Переменной управления является логическая переменная, которая может принимать одно из двух значений: сохранить (С) или заменить (3) оборудование (2.1):

 

              С, если оборудование сохраняется;

xk (t) =   З, если оборудование заменяется (2.1)

 

Функцию Беллмана Fk(t) определяют как максимально возможный доход от эксплуатации оборудования. Применяя то или иное управление, система переходит в новое состояние.

На этой основе можно записать уравнение, которое позволяет рекуррентно вычислить функцию Беллмана (2.2).

r(t)+Fk+1(t+1), (C)

Fk (t) =max

S(t)-P+r(0), (З), (2.2)

 

где r(t) – доход за этот год,

Fk+1(t + 1) – максимально  возможный доход за оставшиеся  годы,

S(t) – цена продажи оборудования,

Р – стоимость нового оборудования,

r(0) – прибыль от нового  оборудования.

 

 

 

 

 

2.2 Принцип оптимальности  Сорокина

Суть данного метода заключается в том, чтобы наиболее выгодно распределить коэффициенты между переменными, получив при этом минимальные затраты при замене оборудования. (стоимость продажи оборудования после использования не учитывается)

х(1)- покупка оборудования

х(2)- обслуживание оборудования в 1 год после покупки

х(3)-обслуживание оборудования во 2 год покупки

...х(n)- обслуживание оборудования в n-1 год покупки

A(1), A(2)...A(n)- коэффициенты при х. Все коэффициенты положительные и целые. Сумма данных коэффициентов равна n.

получим функцию:

z: А(1)*х(1)+А(2)*х(2)+А(3)*х(3) +А(4)*х(4) +...+А(n)*х(n) min

введем систему ограничений:

     A(1)+ A(2)+...+A(n)=n

    1≤A(1)≤n

    0≤А(2),А(3),...,А(n)≤(n-1)

    Х(n)≥Х(n-1)≥...≥Х(3)≥Х(2)

    Х(1)≥Х(2)

    A(1)≥A(2)≥ A(3)≥A(4) ≥A(5)≥...≥A(n)

Каждый последующее обслуживание оборудование дороже предыдущего обслуживания. Покупка оборудования всегда дороже чем обслуживание оборудования в следующем году, иначе задача не имела бы смысла. Каждый последующий коэффициент должен быть меньше или равен предыдущему.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 Практическая часть

3.1 практическое применение оптимизации замены оборудования

 

Задачу нахождения кратчайшего пути можно применить для оптимизации затрат на оборудование в течение определенного времени. В этом году предприятию предстоит решить, приобрести ли новый дорогой печатный станок с низкими первоначальными расходами на обслуживание или продолжать использовать приобретенный ранее печатный станок с высокими расходами на обслуживание.

 

Рисунок 3.1 - Исходные данные модели замены оборудования

 

Данную задачу решаем в Microsoft Office Excel (рисунок 3.1). Стоимостные параметры заданы в ячейках Н2:Н7. Предположим, что расходы составляют $ 1 600 000 на приобретение оборудования и $ 500 000 на его обслуживание в год приобретения; для каждого дополнительного года эксплуатации ежегодные затраты на обслуживание составляют $ 1 000 000, $ 1 500 000 и $ 2 200 000. Для простоты предположим, что период планирования в модели составляет четыре года. Обозначим через с расходы на приобретение нового оборудования в начале года j (j = 1, 2, 3, 4) и обслуживание его до начала года j (j = 2, 3, 4, 5). Если оборудование может работать только до начала года j, где j < 5, то в начале года j необходимо снова приобретать новое оборудование. Рассмотрим три возможных варианта поведения.

1) Приобретать новое оборудование  в начале каждого года. Такая  политика приведет к самым  высоким расходам на приобретение  и минимальным расходам на  обслуживание. Общие расходы на  приобретение и обслуживание  в таком случае составят $ 2 100 000 в каждый год и того          $8 400 000.

2) Приобрести новое оборудование  только в начале первого года, а затем заниматься его ремонтом  и обслуживанием в течение  последующих лет. При такой политике  суммарные расходы на приобретение  будут минимальны, а расходы на  обслуживание максимальны. Общие  расходы на приобретение и обслуживание составят $ 6 800 000.

3) Новое оборудование  приобретается в начале 1 и 4 годов. Суммарные расходы составят $ 6 200 000.

Из всех возможных вариантов предприятие хочет выбрать вариант с минимальными суммарными затратами. Чтобы решить эту задачу, необходимо найти кратчайший путь (в данном случае — путь с минимальными затратами) из узла 1 в узел 5 для сети, показанной на рисунке 3.2. Каждый узел на кратчайшем пути означает замену оборудования в соответствующем году, т.е. в этом году необходимо приобрести новое оборудование.

 

Рисунок 3.2 - Модель для принятия решений по замене оборудования

 

Составим таблицу, где будут видны удельные затраты по покупке нового оборудования и его дальнейшего обслуживания (рисунок 3.3).

 

Рисунок 3.3 - Нахождение удельных затрат по покупке нового оборудования и его дальнейшего обслуживание

оборудование замена экономический моделирование

В ячейках J3:N6 вычислены затраты на покупку и обслуживание печатного станка, если он приобретен в одном году и эксплуатируется до начала другого указанного года, т.е.

- ячейка K3= H2+H4 (стоимость  покупки + обслуживание со следующего  года после покупки)

- ячейка L3= K3+H5 (удельные затраты +обслуживание 3 года) и т.д.

Теперь после расчета удельных затрат по каждому году, мы можем выяснить, когда лучше покупать новое оборудование и каковы будут наши затраты (рисунок 3.4).

 

Рисунок 3.4 - Подготовительная таблица для расчета оптимальных закупок

 

Ячейки переменных решения с серым фоном в диапазоне C10:G14 соответствуют невозможным решениям с обратным ходом событий (например, приобретение станка в году 3 для использования в году 1). Начальный и конечный годы использования оборудования отмечены в строке 17 с помощью чисел 1 и -1. В ячейках C3:G7 содержится матрица связей между узлами, а в ячейках J10:N14 вычислены расходы для решений, записанных в ячейках C10:G14. Теперь при помощи надстройки «Поиск решения» мы выберем оптимальный вариант с минимальными затратами (рисунок 3.5).

 

Рисунок 3.5 - Надстройка «Поиск решений»

 

В данной надстройке, как видно на рис. 2.5. мы назначаем целевую ячейку, т.е. ячейку О15 (всего затрат на приобретение нового оборудования), которая должна иметь минимальное значение, изменяя ячейки С10:G14. Также мы устанавливаем некоторые ограничения:

Ячейки С10:G14 должны быть меньше либо равны ячейкам С3:G7. Покупка нового оборудования в данной модели должна быть меньше либо равна пропускная способности всех лет.

Ячейки С16:G16 должны быть равны ячейкам С17:G17. Всего количество покупок должно быть равно необходимому количеству покупок.

Задаём параметры в надстройке «Поиск решения» (рисунок 3.6).

 

Рисунок 3.6 - Параметры надстройки «Поиск решения»

 

Получаем результат (рисунок 3.7):

 

Рисунок 3.7 – Результат

 

В данном случае оптимальной стратегией является приобретение нового печатного станка в начале года 1, использование его в течение двух лет и замена в начале года 3 новым печатным станком, который затем используется до начала года 5. При этом общие расходы за четыре года составят 6,2 млн. долл.

 

3.2 Решение задачи методом  оптимизации Сорокина

Решим задачу из предыдущего пункта методом описанным в пункте 2.2.

В Excel создаем нулевую таблица, при помощи которой будем осуществлять поиск решений. Данная таблица представлена на рисунке 3.8.

Рисунок 3.8 - нулевая таблица

Значения при А1-А5 первоначально равны 0. Значение функции также = 0. Заданы значения при Х и заданы верхние и нижние ограничения для А1-А5.

Далее в "Поиске решений"  задаем ограничения, ячейку для целевой функции, что функция стремится к минимуму. Рисунок 3.9

Рисунок 3.9 - поиск решений

Далее на рисунке 3.10 показан итог. Минимальное значение функции - 6,2, оно достигается при покупке оборудования и использовании его 2 года с момента покупки, дальше снова покупка оборудования и использование 2 года. 

Рисунок 3.10 - решение

Решения в обоих методах совпали.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

Используя модель замены оборудования, в данной курсовой работе была решена задача оптимизации замены старого оборудования. При условии, что затраты будут минимальны и прибыль от использования нового оборудования увеличится, оптимальной стратегией замены оборудования является приобретение нового оборудования в начале 1 года с последующим обслуживание и его заменой в 3 году, расходы на покупку и обслуживание за 4 года будут составлять $ 6 200 000. Задачи оптимизации легко решают проблему с выбором наилучшего варианта, т.е. максимизации прибыли и минимизации затрат.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список использованной литературы

 

1. Акулич И.Л. Математическое  программирование в примерах  и задачах.- М.: Высшая школа, 1993. – 319 c.

2. Вентцель Е.С. Элементы  динамического программирования.- М.: Наука, 1964. – 176 с.

3. Дудорин В.И. Моделирование  в задачах управления производством. - М.: Статистика, 1980. – 232 с.

4. Исследования операций  в экономике: учебное пособие  для ВУЗов / под ред. Кремера Н.Ш. – М.: Банки и Биржи, ЮНИТИ, 1997. – 407 с.

5. Карасев А.И., Кремер  Н.Ш., Савельева Т.И. Математические  методы и модели в планировании. - М.: Экономика, 1987. – 240 с.

6. Карманов В.Г. Математическое  программирование. – М.: Наука, 1986. – 288 с.

7. Колемаев В.А. Математическая  экономика.- М.: Юнити,1998. – 240 с.

8. Лотов А.В. Введение в  экономико-математическое моделирование. - М.: Наука, 1984. – 392 с.

9. Ромакин М.И. Оптимизация  планирования производства: экономико-математические  модели и методы. - М.: Финансы и  статистика, 1981. – 109 с.

10. Таха Х.А. Введение в  исследование операций. Кн.1 и 2. - М.: Мир, 1985. – 496 с.