Имитационное моделирование

Имитационное моделирование предназначено для решения следующих основных классов задач:

1. задачи анализа:

Дано: система с известной  структурой.

Необходимо: выявить свойства, характеристики системы

1. задачи оценки.

Дано: реальная система  с известной структурой и идеальная  система с известной структурой. Необходимо: сравнить свойства этих система (конкурентоспособность, финансовую устойчивость).

2. задачи сравнения.

Дано: 2 реальные системы с известной структурой.

Необходимо: сравнить свойства.

Примечание: в качестве свойств могут рассматриваться  функциональные, информационные характеристики, чувствительность.

2. Задачи синтеза:

Дано: желаемые свойства, характеристики система.

Требуется: найти структуру  система, удовлетворяющей желаемым характеристикам, свойствам.

1. задачи оптимизации:

Дано: желаемый критерий оптимальности и ограничения по ресурсам.

Требуется: найти оптимальный  план, т.е. синтезировать некоторые  решения (элемент система управления).

2. другие виды постановок  задач принятия решений.

3. Задачи прогнозирования.

Дано: информация о системе – ретроспектива

Необходимо: выдать информацию о будущем поведении система.

Виды задач прогнозирования:

1) прогноз без знания о структуре система, на основе только статистической информации о системе.

2) прогноз с учетом знания информации о структуре система (имитационное моделирование).

4. Задачи идентификации:

Дано: информация о входах системы и выходах системы (как реакция на заданные входы).

Необходимо: сопоставить  реальной системы некоторую модель.

 

1.4 Основные преимущества и недостатки имитационного моделирования

 

Применение  имитационных моделей дает множество преимуществ по сравнению с выполнением экспериментов над реальной системой и использованием других методов.

Стоимость. Допустим, компания уволила часть сотрудников, что в дальнейшем привело к снижению качества обслуживания и потери части клиентов. Принять обоснованное решение помогла бы имитационная модель, затраты на применение которой состоят лишь из цены программного обеспечения и стоимости консалтинговых услуг.

Время. В реальности оценить эффективность, например, новой сети распространения продукции или измененной структуры склада можно лишь через месяцы или даже годы. Имитационная модель позволяет определить оптимальность таких изменений за считанные минуты, необходимые для проведения эксперимента.

Повторяемость. Современная жизнь требует от организаций быстрой реакции на изменение ситуации на рынке. Например, прогноз объемов спроса продукции должен быть составлен в срок, и его изменения критичны. С помощью имитационной модели можно провести неограниченное количество экспериментов с разными параметрами, чтобы определить наилучший вариант.

Точность. Традиционные расчетные математические методы требуют применения высокой степени абстракции и не учитывают важные детали. Имитационное моделирование позволяет описать структуру системы и её процессы в естественном виде, не прибегая к использованию формул и строгих математических зависимостей.

Наглядность. Имитационная модель обладает возможностями визуализации процесса работы системы во времени, схематичного задания её структуры и выдачи результатов в графическом виде. Это позволяет наглядно представить полученное решение и донести заложенные в него идеи до клиента и коллег.

Универсальность. Имитационное моделирование позволяет решать задачи из любых областей: производства, логистики, финансов, здравоохранения и многих других. В каждом случае модель имитирует, воспроизводит, реальную жизнь и позволяет проводить широкий набор экспериментов без влияния на реальные объекты.⁶

Однако имитационное моделирование наряду с достоинствами  имеет и недостатки:

- разработка  хорошей имитационной модели  часто обходится дороже создания  аналитической модели и требует  больших временных затрат;

- может оказаться,  что имитационная модель неточна  (что бывает часто), и мы не  в состоянии измерить степень  этой неточности;

- зачастую исследователи  обращаются к имитационному моделированию,  не представляя тех трудностей, с которыми они встретятся  и совершают при этом ряд  ошибок методологического характера.

И, тем не менее, имитационное моделирование является одним из наиболее широко используемых методов при решении задач синтеза и анализа сложных процессов и систем.

 

 

Раздел 2. Практическая часть

Задание 1.

 

Предприятие выпускает  продукцию двух разновидностей. каждый вид продукции проходит обработку  на трех станках. При обработке 1т продукции А первый станок использует 5ч, второй станок – 4ч, третий станок – 3ч. При обработке 1т продукции В первый станок использует 3ч, второй станок – 3ч, третий станок – 0ч. Время работы станков ограничено и не может превышать для первого станка 254ч, для второго – 200ч, для третьего – 104ч. При реализации 1 т продукции А предприятие получает прибыль 12 рублей, а при реализации 1 т продукции В – 8 рублей. Найти оптимальный план выпуска продукции каждого вида, дающий максимальную прибыль от реализации всей продукции.

Решение:

х₁; х₂ – виды продукции

maxF(x) = c₁x₁ + c₂x₂ = 12х₁ + 8х₂

 

x₁; x₂ ≥0

l₁: 5x₁ + 3x₂ = 254

(40; 18); (34;28)

l₂: 4x₁ + 3x₂ = 220

(40; 20); (37; 24)

l₃: 3x₁  = 104

(34,7; 0);  l₃││0X₂

max т.С; С= l₁∩ l₂

5х₁ = 254 -3 х₂

х₁=50,8 -0,6х₂

4*(50,8 -0,6х₂) + 3х₂ = 220

203,2 - 2,4х₂ + 3х₂ = 220

- 2,4х₂ + 3х₂ = 16,8

0,6х₂ =16,8

х₂ =28

х₁=50,8 -0,6* 28 = 34

С ( 34; 28)

Max F(x) =12 * 34 + 8* 28 = 632

Вводим x₃, x₄, x₅

maxF(x) = 12х₁ + 8х₂ + 0х₃ + 0х₄ + 0х₅

x_i ≥0,

баз	С	12	8	0	0	0	В	Q
		А1	А2	А3	А4	А5
А1	0	5	3	1	0	0	254	245/5
А2	0	4	3	0	1	0	220	55
А3	0	3	0	0	0	1	104	104/3
	∆	-12	-8	0	0	0
А3	0	0	3	1	0	-5/3	242/3	242/9
А4	0	0	3	0	1	-4/3	244/3	244/9
А1	12	1	0	0	0	1/3	104/3	-
	∆	0	-8	0	0	4
А2	8	0	1	-1/3	0	-5/9	242/9	-
А4	0	0	0	-1	1	1/3	2/3	2
А1	12	1	0	0	0	1/3	104/3	104
	∆	0	0	8/3	0	-4
А2	8	0	1	-2/3	5/3	0	28
А5	0	0	0	-3	3	1	2
А1	12	1	0	1	5/3	0	34
	∆	0	0	20/3	60	0

х₁=34; х₂=28

Ответ: оптимальный план выпуска продукции первого вида 34, второго вида -28 даёт максимальную прибыль от реализации всей продукции.

 

Задание 2

 

Решить симплексным  методом с искусственным базисом  каноническую задачу линейного программирования:

Z =0x₁ + 1x₂ + 2x₃ +8x₄ +1x₅   max

При условиях

Выполнить проверку оптимальности  найденного решения, используя теорию двойственности. Найти оптимальное  решение двойственной задачи.

Решение:

maxZ(x) = c₁x₁ + c₂x₂ + c₃x₃ +c₄x₄ +c₅x₅

maxZ(x) =0x₁ + 1x₂ + 2x₃ +8x₄ +1x₅

x_j ≥0,

Составим М-задачу. Для  этого введем искусственные переменные x₆, x₇, x₈

maxF(x) =0x₁ + 1x₂ + 2x₃ +8x₄ +1x₅ -M x₆ - M x₇ – M x₈

x_j ≥0,

баз	С	0	1	2	8	1	-М	-М	-М	В	Q
		А1	А2	А3	А4	А5	А6	А7	А8
А6	-М	3	3	-3	3	-1	1	0	0	9	3
А7	-М	3	0	2	-3	-1	0	1	0	6	2
А8	-М	1	1	1	3	3	0	0	1	15	15
	∆1	-7М	-4М-1	-2	-3М-8	-М-1	0	0	0
А6	-М	0	3	-5	6	0	1	-1	0	3	1/2
А1	0	1	0	2/3	-1	-1/3	0	1/3	0	2	-
А8	-М	0	1	1/3	4	10/3	0	-1/	1	13	13/4
	∆2	0	-4М-1	14/3М-2	-10М-8	-10/3М-1	0	1/3М	0
А4	8	0	1/2	-5/6	1	0	1/6	-1/6	0	1/2	-
А1	0	1	1/2	-1/6	0	-1/3	1/6	1/6	0	5/2	-
А8	-М	0	-1	11/3	0	10/3	-2/3	1/3	1	11	3
	∆3	0	М+3	-11/3М-52/6	0	-10/3М-1	5/3М+4/6	2/3М+4/3	0
А4	8	0	6/22	0	1	25/33	1/66	-1/11	5/22	3
А1	0	1	5/11	0	0	-2/11	3/22	2/11	1/22	3
А3	2	0	-3/11	1	0	10/11	-2/11	1/11	3/11	3
	∆4	0	7/11	0	0	227/33	М-8/33	М-6/11	М+26/11

х₁=3; х₂=0; х₃=3; х₄=3; х₅=0

maxZ(x) = 0*3 + 1 * 0 + 2 * 3 + 8 * 3 + 1 * 0 + 30

minZ(x) = 9y₁ + 6y₂ +15y₃

y_i <0, i=1,3

x₁ x₂ x₃ x₄ x₅  x₆ x₇ x₈

y₄ y₅ y₆ y₇ y₈  y₁ y₂ y₃

0 7/11 0 0 227/33 - 8/33 -6/11 26/11

minZ(x) = 9 * (-8/33)+ 6 * (-6/11) +15 * 26/11 = -72/33 – 36/11 +390/11 = 30

Ответ: х = (3, 0, 3, 3, 0); y = (-8/33; -6/11; 26/11); Z(x) = 30.

 

Задание 3

 

Решить методом потенциалов  транспортную задачу.

На станции А₁, А₂, А₃ поступил однородный груз, который надо отвезти пяти заказчикам В₁, В₂, В₃, В₄, В₅.

Потребность заказчиков (в условных единицах), количество грузов на каждой станции (в тех же единицах) и тарифы (стоимость перевозки единицы груза с данной станции данному заказчику в денежных единицах) указаны в таблице.

пн по	В1	В2	В3	В4	В5	запас
А1	6	4	7	3	6	270
А2	7	8	6	2	5	400
А3	5	6	5	7	5	320
потребность	280	200	70	260	180

 

Требуется спланировать перевозки так, чтобы общая сумма  стоимости перевозок была наименьшей.

Решение:

пн по	В1		В2		В3		В4		В5		запас
А1	30	6	200	4	-	7	-	3	40	6	270
А2	-	7	-	8	-	6	260	2	140	5	400
А3	250	5	-	6	70	5	-	7	-	5	320
потребность	280		200		70		260		180