Двойственность задачи в линейном программировании

Будем считать, что D является матрицей, составленной из компонент  векторов конечного базиса A₁, A₂., A_m Таблица состоит из коэффициентов разложения векторов A₁, A₂,…, A_n исходной системы по векторам базиса. В этой таблице каждому вектору A _j соответствует вектор X_j.

Используя соотношения, получаем:

 

 A=D, D^-1A

 

 A₀ =DX*; D^-1A₀ =X

 

 min Z= C*X*,

 

 C* – C > 0,

 

где С=(C₁, C₂,…, C_m), С=(C₁, C₂,…, C_m, C_{m +1},…, C_n), a=(CX₁–C₁; СХ₂ – С_2,…, CX_n–C_n)=(Z₁–С; Z₂-C₂;…, Z_n–C_n) – вектор, компоненты которого неположительны, так как они совпадают с Z_j–C_j>0, соответствующими оптимальному плану.

Оптимальный план исходной задачи имеет вид X=D^-1А₀, поэтому оптимальный план двойственной задачи ищем в виде

 

Y = C*D^-1

 

Покажем, что Y* действительно план двойственной задачи. Для этого ограничения запишем в виде неравенства YA-С>0, в левую часть которого подставим Y*.

YА–С=С*D^-1А–С=С-С>0, откуда находим Y*A>С

Так как Y* удовлетворяет ограничениям (1.2), то это и есть план двойственной задачи. При этом плане значение линейной функции двойственной задачи f(Y)=Y*A_0.Учитывая соотношения, имеем

 

f (Y) = Y*A₀=C * D^-1A₀= C*X = minZ(X)

 

Таким образом, значение линейной функции двойственной задачи от Y численно равно минимальному значению линейной функции исходной задачи

Докажем теперь, что Y* является оптимальным планом. Умножим первое ограничение на любой план Y двойственной задачи, а второе ограничение – на любой план X исходной задачи: YAX=YA₀=f(Y), YAX>СХ=Z(X), отсюда следует, что для любых планов Х и Y выполняется неравенство

 

f(Y)>Z(X)

 

Этим же соотношением связаны и  экстремальные значения maxf(Y)>minZ(Х). Из последнего неравенства заключаем, что максимальное значение линейной функции достигается только в случае, если maxf(Y)=minZ(X), но это значение f(Y) достигает при плане Y, следовательно, план Y – оптимальный план двойственной задачи.

Аналогично можно доказать, что  если двойственная задача имеет решение, то исходная также обладает решением и имеет место соотношение maxf(Y)=minZ(X)

Для доказательства второй части теоремы  допустим, что линейная функция исходной задачи не ограничена снизу. Тогда из последнего ограничения следует, что f(Y) – Y. Это выражение лишено смысла, следовательно, двойственная задача не имеет решений.

Аналогично предположим, что линейная функция двойственной задачи не ограничена сверху. Тогда из последнего ограничения получаем, что Z(X)+Y. Это выражение также лишено смысла, поэтому исходная задача не имеет решений.

Доказанная теорема позволяет  при решении одной из двойственных задач находить оптимальный план другой. Здесь матрица-строка С = (0; 1; 0; –1; – 3, 0), матрица-столбец

1 1 2 0 -1 1 0

A ₀ = 2 A = 0 -4 1 2 -1 0

3 0 3 0 0 1 1

1 0 0

2 -4 3

A «’ = 0 1 0

-1 2 0

1 -1 0

0 0 1

Двойственная задача. Найти максимальное значение линейной функции f=y₁+2y₂+5y₃ при ограничениях

y₁> 0

2y₁ – 4y₂ + 3y₃ > 1,

y₂ > 0,

(-y₁) + 2y₂ >(-1),

y₁ – y₂ + y₃ = -3, y₃ > 0

Оптимальный план исходной задачи X = (0; 1/3; 0; 11/3; 4; 0), при котором получим Z_min= -46/3. Используя эту итерацию, найдем оптимальный план двойственной задачи. Согласно теореме двойственности оптимальный план двойственной задачи находится из соотношения Y= C*D^-1, где матрица D^-1 - матрица, обратная матрице, составленной из компонент векторов, входящих в последний базис, при котором получен оптимальный план исходной задачи. В последний базис входят векторы A_5, A_4, A_2; значит,

1 -1 2

D = (A _5, A _4, A ₂₎ = -1 2 -4

1 0 3

Обратная матрица D ^-1 образована из коэффициентов, стоящих в столбцах A₁, A₃, A₆ четвертой итерации:

2 1 0

D ^{-1 =} -1/3 1/3 2/3

-2/3 -1/3 1/3

Из этой же итерации следует С = (–3; –1; 1). Таким образом

2 1 0

Y=С*D^-1 =(-3; – 1; 1) -1/3 1/3 2/3

-2/3 1/3 1/3

Y=(-19/3; – 11/3; – 1/3),

т.е. y_i =С*Х_i, где Х_i – коэффициенты разложения последней итерации, стоящие в столбцах векторов первоначального единичного базиса.

Итак, i-ю двойственную переменную можно получить из значения оценки (m+1) – й строки, стоящей против соответствующего вектора, входившего в первоначальный единичный базис, если к ней прибавить соответствующее значение коэффициента линейной функции:

у₁ =–19/3+0=–19/3; y₂ =-11/3+0=-11/3; у₃ =-1/3+0=-1/3

При этом плане maxf=-46/3

1.2.2 Симметричные двойственные  задачи

Разновидностью двойственных задач линейного, программирования являются двойственные симметричные задачи, в которых система ограничений как исходной, так и двойственной задач задается неравенствами, причем на двойственные переменные налагается условие неотрицательности.

Исходная задача. Найти матрицу-столбец Х=(x₁, x₂,…, x_n), которая удовлетворяет системе ограничений

 

(1.12). АХ>А₀, Х>0 и минимизирует линейную функцию Z=СХ

 

Систему неравенств с помощью дополнительных переменных можно преобразовать  в систему уравнений, поэтому  всякую пару симметричных двойственных задач можно преобразовать в пару несимметричных, для которых теорема двойственности уже доказана.

Используя симметричность, можно выбрать  задачу, более удобную для решения. Объем задачи, решаемой с помощью  ЭВМ, ограничен числом включаемых строк, поэтому задача, довольно громоздкая в исходной постановке, может быть упрощена в двойственной формулировке. При вычислениях без помощи машин использование двойственности упрощает вычисления.

Очевидно, для того чтобы  записать двойственную задачу, сначала  необходимо систему ограничений  исходной задачи привести к виду. Для  этого второе неравенство следует  умножить на -1.

 

1.3 Виды математических  моделей двойственных задач

 

Основываясь на рассмотренных несимметричных и симметричных двойственных задач отметим, что пары двойственных задач математических моделей могут быть представлены следующим образом:

• Симметричные задачи

(1) Исходная задача  Двойственная задача

Z_min=CX; f_max =Y>A₀;

AX=A₀; YA=С

X>0 Y>0

(2) Исходная задача  Двойственная задача

Z_max =CX; f_min =YA_0;

AX=A₀; YA=С

X>0 Y>0

• Несимметричные задачи

(3) Исходная задача  Двойственная задача

Z_min=CX; f_max=YA₀;

AX=A₀; YA=С

X>0

(4) Исходная задача  Двойственная задача

Z_max=CX; f_min=YA₀;

AX=A₀; YA=С

X>0

Поэтому до того, как сформулировать двойственную задачу для данной исходной, необходимо систему ограничений  исходной задачи преобразовать должным  образом.

1.4 Двойственный симплексный метод

 

Для получения решения  исходной задачи можно перейти к  двойственной. А используя оценки ее оптимального плана, можно определить оптимальное решение исходной задачи.

Если рассмотреть первую симплексную таблицу с единичным  дополнительным базисом, тогда переход  к двойственной задаче не обязателен. Это связано с тем, что в столбцах определена исходная задача, а в строках – двойственная.

b_i являются оценками плана двойственной задачи. С_j являются оценками плана исходной задачи.

Найдем решение двойственной задачи по симплексной таблице. В  симплексной таблице прописана  исходная задача. Также определим оптимальный план двойственной задачи. Также найдем и оптимальный план исходной задачи.

Такой метод принято  называть двойственным симплексным  методом.

Допустим нужно определить исходную задачу линейного программирования, которая поставлена в общем виде: минимизировать функцию Z=СХ при АХ=A₀, Х>0. Значит в двойственной задаче следует максимизировать функцию f=YA₀ при YA>С. Пусть определен следующий базис D=(A₁, А₂,…, А_i,…, А_m), причем в нем хотя бы одна из компонент вектора Х=D^-1A₀=(x₁, x₂,…, x_i,…, x_m) отрицательная. Для всех векторов A_j используется следующее соотношение Z_j–C_j >0 (i=1,2,…, n).

Пользуясь теоремой двойственности, Y=С_базD^-1 является планом двойственной задачи. Этот план не оптимальный. Потому что оценки оптимального плана двойственной задачи должны быть неотрицательными и выбранный базис X содержит отрицательную компоненту и не является планом исходной задачи, а с другой стороны.

Поэтому, следует исключить  из базиса исходной задачи вектор А_i, который соответствует компоненте x_i<0. Данный вектор относится к отрицательной оценке, его необходимо включить в базис двойственной задачи.

Просматриваем i-ю строку для выбора вектора, включаемого  в базис исходной задачи. Т.е. если строка не имеет x_ij<0, тогда линейная функция двойственной задачи не ограничена на многограннике решений. Поэтому нет решений исходной задачи.

В противном случае для  столбцов, имеющих отрицательные  значения, определяем q_0j=min(x_i/x_ij)>0. Также находим вектор, который соответствует minq_0j(Z_j–C_j) при решении исходной задачи на максимум, а также maxq_0j(Z_j–C_j) при значении исходной задачи на минимум.

Найденный вектор включаем в базис исходной задачи. Направляющей строкой определяется вектор, который  надо убрать из базиса исходной задачи.

Допустим, что q_0j=min(x_i/x_ij)=0, т.е. x_i=0, тогда x_ij выбирается как разрешающий элемент, но лишь тогда, когда x_ij>0.

Данный подход к решению  задачи не приводит к росту количества отрицательных компонент вектора X. Пока не будет получено Х>0, процесс не прекращается.

Определяя оптимальный план двойственной задачи, находим и оптимальный план исходной задачи.

Используя при решении, алгоритм двойственного симплексного метода условие Z_j–C_j>0 допускается не учитывать, пока не будут исключены все х_i<0.

Обычным симплексным  методом определяется оптимальный план. Этот метод обычно используется при условии, что все х_i<0. Чтобы перейти к плану исходной, задачи за одну итерацию надо определить q_0j=max(x_i/x_ij)>0.

Задачи линейного программирования можно решать двойственным симплексным  методом. Системы ограничений в задачах при положительном базисе имеют свободные члены любого знака. Двойственный симплексный метод позволяет значительно уменьшить размеры симплексной таблицы и количество преобразований системы ограничений.

 

 

 

2. Разработка программы

 

2.1 Постановка  задачи

 

Необходимо спланировать работу швейной мастерской на некоторый  период. Установлен перечень выпускаемой  продукции, известна рыночная цена каждого  продукта. Для производства продукции  используются ресурсы: материал, нитки, пуговицы, труд закройщиков, швей-мотористок и т.д. Установлен полный перечень этих ресурсов и общее количество каждого ресурса, которое может быть израсходовано в плановом периоде. Известен расход каждого ресурса на единицу каждого продукта. Необходимо определить, сколько каждой продукции нужно производить, чтобы суммарная рыночная цена всей продукции (выпуск, выручка) была наибольшей.

Введем следующие обозначения:

i=1,…, m - номера (индексы) используемых ресурсов;

 - запас i-го ресурса, т.е. допустимый расход i-го ресурса в плановом периоде; другое название - ограничение по ресурсу i;

j=1,…, n - номера (индексы) продуктов;

 - рыночная цена j-го продукта;

- расход i-го ресурса на производство единицы j-го продукта;

 - плановый объем производства j-го продукта, величина неизвестная, ее нужно найти в процессе решения задачи. Исходные данные задачи запишем в виде матрицы.

 

 

 

Рис. 

 

Каждая строка матрицы  соответствует одному ресурсу, каждый столбец – одному продукту. Справа от каждой строки записана величина ограничения по ресурсу (b₁,…, b_i,…, b_m); внизу каждого столбца - цена продуктов (с₁,…, с_j,…, с_m).

В каждой клеточке матрицы  записаны так называемые технологические  коэффициенты a_ij, показывающие расход i-го ресурса на производство единицы j-го продукта.