Контрольная работа по «Экономике»

Вариант 1

Задача1.

Имеется информация  за 10 лет концерна относительно среднего дохода Х и среднего потребления У (млн. руб.)

Годы	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009
Х	10,5	11,6	12,3	13,7	14,5	16,1	17,3	18,7	20,1	21,8
У	8,12	10,0	8,41	12,1	12,4	11,4	12,8	13,9	17,3	17,5

1. Оцените коэффициенты линейной регрессии у=β0+β1х+ε по методу наименьших квадратов.
2. Проверьте статистическую значимость оценок b0 и b1 теоретических коэффициентов β0 и β1  при уровне значимости α=0,05.
3. Рассчитайте 95%-е доверительные интервалы для теоретических коэффициентов регрессии.
4. Спрогнозируйте потребление при доходе Х=23,0 и рассчитайте 95% доверительный интервал  для условного математического ожидания М(У|Х=23,0).
5. Рассчитайте границы интервала, в котором будет сосредоточено не менее 95% возможных объемов потребления при доходе Х=23,0.
6. Оцените,  насколько  изменится потребление, если доход  вырастет  на 3 млн. руб.
7. Рассчитайте коэффициент детерминации R².
8. Рассчитайте F-статистику для коэффициента детерминации и оцените его  статистическую значимость.

Решение:

1. Воспользуемся расчетной таблицей:

1	10,5	8,12	85,2075	110,25	65,853225	8,253894	0,019292	26,6256
2	11,6	10,0	116,348	134,56	100,6009	9,134855	0,801285	16,4836
3	12,3	8,41	103,4307	151,29	70,711281	9,695466	1,654994	11,2896
4	13,7	12,1	165,359	187,69	145,6849	10,81669	1,57079	3,8416
5	14,5	12,4	180,38	210,25	154,7536	11,45739	0,965528	1,3456
6	16,1	11,4	182,735	259,21	128,8225	12,73878	1,928722	0,1936
7	17,3	12,8	220,748	299,29	162,8176	13,69983	0,883284	2,6896
8	18,7	13,9	260,304	349,69	193,7664	14,82105	0,8119	9,2416
9	20,1	17,3	347,328	404,01	298,5984	15,94228	1,789502	19,7136
10	21,8	17,5	381,282	475,24	305,9001	17,30376	0,034685	37,6996
∑	156,6	123,864	2043,1222	2581,48	1627,50891	123,864	10,45998	129,124

 

Согласно МНК, находим коэффициенты уравнения регрессии

Тогда уравнение регрессии примет вид:  

 

2. Вычислим несмещенную оценку дисперсии случайных отклонений:

Теперь вычислим стандартные ошибки коэффициентов регрессии:

Проверяем гипотезы   против альтернативной .

Рассчитываем абсолютные величины t-статистики:

Вычисляем критическое значение:

< tкрит ,  значит, коэффициент   является статистически незначимым;

> tкрит,  значит, коэффициент    является статистически значимым.

 

3. Доверительные интервалы для коэффициентов находят по формулам:

Тогда получаем:

 

4. Þ при доходе Х=23,0 объем потребления составит 18,268 млн. руб.

Доверительный интервал для  М(У|Х=23,0) имеет вид:

b0 + b1*хр - S *t0,05;8 < β0+ хр β1< b0 + b1*хр + S* t0,05;8

S=1,143, хр =23,0, Þ

–0,155 + 0,801*23,0 – 1,143*2,31 < β0+ 23,0β1< –0,155 + 0,801*23,0 + +1,143*2,31 Þ  16,369 < β0+ 23,0β1<20,167 - доверительный интервал для  М(У|Х=23,0)

 

 

5. Интервал имеет вид:

(b0 + b1*хр - S *t0,05;8 ;  b0 + b1*хр + S* t0,05;8 ), тогда

(–0,155 + 0,801*23,0 – 1,143*2,31 ; –0,155 + 0,801*23,0 + +1,143*2,31 ) Þ (15,016; 21,520)  -  границы интервала, в котором будет сосредоточено не менее 95% возможных объемов потребления при доходе Х=23,0.

 

6.

Следовательно, на 2,403  млн. руб.  увеличится потребление, если доход  вырастет  на 3 млн. руб.

 

7. Находим коэффициент детерминации:

Т.к. коэффициент детерминации достаточно близок к 1 , то зависимость между у и х сильная.

 

8. Рассчитаем  F-статистику для коэффициента детерминации и оценим его  статистическую значимость:

По таблице определяем, что Fкрит = Þ F > Fкрит, тогда коэффициент детерминации статистически значим (т.е. не равен 0).

 

 

 

 

 

 

Задача 2.

По 15 наблюдениям получены следующие результаты:

1. Оцените  коэффициенты линейной регрессии

2. Определите  стандартные ошибки коэффициентов.

3. Вычислите   и  .

4. Оцените  статистическую значимость коэффициентов  регрессии и

детерминации при уровне значимости .

Решение:

1.  Запишем матрицы:

,   

Найдем матрицу, обратную матрице .

 

 

      

      .

Находим коэффициенты :

Уравнение регрессии примет вид:  .

 

2. Вычислим выборочные дисперсии эмпирических коэффициентов регрессии по формуле: , где - j-й диагональный элемент матрицы .

,    ,

Находим стандартные ошибки коэффициентов регрессии:

;       ;    .

 

3. Вычислим коэффициент детерминации:

            .

      Найдем скорректированный коэффициент  детерминации:

            .

 

4. Оценим статистическую значимость коэффициентов регрессии.

Проверяем гипотезы   против альтернативной .

Рассчитываем абсолютные величины t-статистики:

,   

Вычисляем критическое значение:

> tкрит ,  > tкрит,  > tкрит , значит, коэффициенты    являются статистически значимыми.

 

Оценим статистическую значимость коэффициента детерминации.

Проверяем гипотезу   против альтернативной .

Рассчитаем  F-статистику для коэффициента детерминации:

По таблице определяем, что Fкрит = Þ F > Fкрит, тогда коэффициент детерминации статистически значим (т.е. не равен 0).

    

 

 

 

 

Задача 3.

Пусть определена регрессия , причем  . При отбрасывании переменной и оценке регрессии коэффициент оказался отрицательным . Возможно ли это? Если да, тогда при каких обстоятельствах?

Решение.

Описанный случай действительно возможен. Т.к. в случае статистической значимости коэффициента b2,  функциональная зависимость  оставшихся переменных нарушается, потому что, если  статистическая значимость коэффициента свидетельствует о том, что  соответствующая переменная имела влияние на зависимую переменную, а, отбрасывая ее, мы эту зависимость нарушили, следовательно, уравнение регрессии поменяется в корне. Т.е.   коэффициенты уравнения у= а0 + а1х1 могут оказаться совершенно отличными от b0  и  b1 , а значит положительный коэффициент b1 вполне может превратиться в отрицательный коэффициент а1

 

 

 

 

 

Задача 4.

Докажите, что график уравнения парной линейной регрессии всегда проходит через точку с координатами , где – средние значения переменных.

Решение.

Подставим в уравнение парной линейной регрессии , где    и   .

Получаем:

Значит, график уравнения парной линейной регрессии всегда проходит через точку с координатами .