Статический и динамический расчет системы автоматического управления положением объекта

.

Как видно из выражения для  , имеет место система 3-го порядка.

Определим амплитудно-фазовую характеристику (АФХ) разомкнутой системы:

где – амплитудно-частотная характеристика (АЧХ),

 – фазо-частотная характеристика (ФЧХ).

Логарифмическая амплитудная характеристика разомкнутой системы будет иметь вид:

,

.

.

Кривые  и изображены на рисунках 7 и 8 соответственно.

где , .

Рисунок 7

Для построения реальной ЛФХ зададимся  рядом частот и вычислим значения φ(ω) на каждой из этих частот:

 

ω, 1/c	1	5,5	10	15	20	25	50	100	200	500
φ(ω), град	-92,78	-105,2	-117,2	-129,6	-141,1	-151,3	-187,9	-221,8	-244,5	-259,6

 

Рисунок 8

 

3.2 Проверка устойчивости системы по критерию Найквиста

Для проверки устойчивости системы применим критерий Найквиста. Он заключается в определении устойчивости замкнутой системы по виду АФХ разомкнутой системы. Согласно этому критерию, при устойчивой разомкнутой системе замкнутая система устойчива, если при изменении частоты от нуля до бесконечности АФХ G(jw) не охватывает точку с координатами -1; j = 0. Если кривая G(jw) проходит через эту точку, система находится на границе устойчивости, при этом коэффициент передачи имеет предельное значение.

 Найдем предельный коэффициент  передачи К_пред разомкнутой системы, для чего и применим критерий устойчивости Найквиста.

Запишем равенство  , откуда получаем:

,

;

;

.

Так как  - величина вещественная, то , где

. Тогда

.

Как видно из последнего выражения, , следовательно, система является неустойчивой.

 

3.3 Построение желаемой ЛАХ следящей  системы

 

Построение желаемой логарифмической  амплитудной характеристики осуществляется в следующей последовательности.

1. Построение низкочастотной зоны.

Через точку с координатами , проводим прямую с наклоном -20 дБ/дек. На оси абсцисс отмечаем точку   и через неё проводим прямую с наклоном

-40 дБ/дек до пересечения с первой прямой. Пересечение происходит на частоте ω₁= 40 с^-1.

2. Построение среднечастотной зоны.

Согласно техническому заданию, запас  по фазе . По этому значению, пользуясь кривыми рисунка 9, взятыми из [1], найдём ординаты границ среднечастотной зоны L₂=10 дБ и L₃=-10 дБ.

Рисунок 9

 

Далее проводим две горизонтальные прямые: одну на расстоянии L₂, вторую – на расстоянии L₃ от оси абсцисс. Верхняя прямая пересекается с низкочастотной зоной в точке с абсциссой ω₂= 86 с^-1. Через эту точку проведём прямую с наклоном -20дБ/дек до пересечения с нижней горизонтальной прямой в точке с абсциссой ω₃=890 с^-1.

3. Построение высокочастотной зоны.

Для получения более простой схемы коррекции проведём эту зону в виде прямой, продолжающей среднечастотную зону, с наклоном -20 дБ/дек.

Подученная таким образом ЛАХ  описывается формулой:

,

где , . Постоянная времени T₃ здесь не учитывается, так как ВЧ зона имеет наклон -20 дБ/дек, как и СЧ зона. Поэтому постоянной времени T₃ можно пренебречь.

Желаемой ЛАХ соответствует  желаемая ЛФХ, описываемая формулой:

.

Для построения реальной ЛФХ аналогично построению реальной ЛФХ зададимся рядом частот и вычислим значения φ_Ж(ω) на каждой из этих частот:

 

ω, 1/c	1	5	10	15	20	25	50	100	200	500
φж(ω), град	-90,76	-93,8	-97,4	-100,7	-103,5	-105,8	-111,2	-108,9	-101,9	-94,7

 

Графики желаемой ЛАХ и ЛФХ представлены на рисунках 10 и 11 соответственно.

 

Рисунок 10

Рисунок 11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 Синтез встречно-параллельного  корректирующего устройства

 

Расчет корректирующего устройства начнем с выбора вида коррекции, для  чего рассмотрим особенности функционирования системы.

1.   Система воспроизводит  произвольный закон вращения  входной   оси   с   переменными   скоростью   и   ускорением,  т.е. работает в динамическом  режиме.

2.   Система находится далеко  от границы устойчивости и  ей нужна эффективная коррекция.

3.   Элемент     сравнения     выполнен     на    сельсинах  с частотой питания  50 Гц. Ввиду  наличия в его конструкции  магнитных цепей со сталью, в  выходном сигнале присутствуют    высшие    гармоники,    что    осложняет    работу дифференцирующих        контуров,        входящих        в        состав последовательной коррекции.

Учитывая сказанное, выбираем для  следящей системы параллельную коррекцию или местную отрицательную обратную связь.

 

4.1 Выбор охваченных элементов

 

Параллельная коррекция будет эффективной при охвате наиболее инерционных элементов. В данном случае наиболее инерционный элемент системы – исполнительный электродвигатель. Охватим также обратной связью усилитель мощности и второй каскад предварительного усилителя, о чем упоминалось выше. Тогда передаточная функция охваченных элементов будет выглядеть так:

, где  - коэффициент усиления охваченных элементов.

.

Определим коэффициент усиления неохваченных элементов:

.

Передаточная функция неохваченных элементов равна их коэффициенту передачи:

.

 

4.2 Построение ЛАХ обратной связи

 

Для нахождения ЛАХ корректирующего  устройства L_ОС(w) необходимо в первую очередь построить логарифмическую характеристику внутреннего замкнутого контура L_О(w):  

, где  - ЛАХ неохваченных элементов. Таким образом, для построения ЛАХ внутреннего замкнутого контура необходимо опустить желаемую  ЛАХ на 17,55 дб. Тогда искомая ЛАХ обратной связи L_ОС(w) будет зеркальным отображением L_О(w): .

Полученная ЛАХ обратной связи  представлена на совместном рисунке  всех ЛАХ и ЛФХ системы, представленным перед приложениями.

По виду ЛАХ L_ос(ω) отметим следующие свойства обратной связи:

1) На частотах ω<ω₁ и ω>ω₂ ЛАХ L_ос(ω) представляет собой прямую с наклоном +20 дБ/дек. Поэтому в состав корректирующего устройства должен входить идеальный дифференцирующий элемент, в качестве которого выбираем тахогенератор с передаточной функцией вида

, где k_ТГ - коэффициент передачи тахогенератора.

2) На частотах ω₁ <ω< ω₂  ЛАХ L_ос(ω) представляет собой прямую с наклоном +40 дБ/дек. Для получения этого локального наклона последовательно с тахогенератором включаем активное инерционно-форсирующее звено (активный фильтр) с передаточной функцией

, где k_Ф - коэффициент передачи активного фильтра.

С учетом вышесказанного, передаточную функцию обратной связи можно записать в виде

          , где K_ос — коэффициент передачи обратной связи.

 

4.3 Определение коэффициента передачи  обратной связи

 

Последняя формула получена в предположении, что в диапазоне рабочих частот системы выполняется равенство:

,

 выполнение которого достигается  выбором коэффициента передачи k_ос обратной связи. Как видно из общего графика всех ЛАХ системы, на частоте выполняется равенство:

.

Отсюда можно выразить k_ос:

,

.

Запишем передаточную функцию внутреннего  замкнутого контура:

Теперь выразим передаточную функцию  скорректированной разомкнутой  системы:

,

 

4.4 Выбор элементов параллельной коррекции

 

По виду ЛАХ обратной связи  видно, что в состав корректирующего устройства должны входить тахогенератор и активный фильтр. Для сложения сигналов, идущих с обратной связи и с первого каскада предварительного усилителя, подключим разностный усилитель.

Структурная схема скорректированной  замкнутой системы представлена на рисунке 12.

 

 

Рисунок 11

Первым элементом обратной связи  является тахогенератор с передаточной функцией , где k_ТГ - коэффициент передачи тахогенератора.

Тахогенератор выбирается, исходя из следующих условий:

• линейность функции преобразования Uoc ⁼ Ктг*Ω;
• малые значения статического момента трения и момента инерции по сравнению с аналогичными параметрами двигателя;

• максимальные      частоты      вращения      двигателя     и тахогенератора должны быть соизмеримы.

Машины постоянного тока обладают лучшей линейностью характеристик  и не вносят в работу системы фазовых  искажений, поэтому выберем тахогенератор постоянного тока с возбуждением от постоянных магнитов ТП 32-25-0,1,  технические характеристики которого представлены в таблице 7.

Таблица 7

Тип тахогенератора	ТП 32-25-0,1
Номинальная частота вращения, об/мин	3000
Крутизна характеристики, В с/рад	0,24
Нелинейность характеристики, %	0,1
Напряжение возбуждения, В	ПМ
Сопротивление нагрузки, Ом	25∙103
Статический момент трения, Н м	49∙10-4
Момент инерции, кг м2	29,5 10-7

 

Преимуществом этой машины является возбуждение от постоянных магнитов, ввиду чего ей не требуется источник питания.

Вторым элементом обратной связи  является активный фильтр, предназначенный для увеличения наклона ЛАХ Loc(ω) до +40дБ/дек в интервале частот ω₁ < ω < ω ₂. Коэффициент передачи фильтра находится следующим образом:

.

Проверим выполнение равенства  :

, .

Равенство не выполняется, следовательно, в обратную связь после активного фильтра нужно включить дополнительный усилитель с коэффициентом усиления

.

Полученная схема встречно-параллельной коррекции на рисунке 12.

 

Рисунок 12

Определим номинальные значения сопротивлений и емкостей. Их можно определить из соотношений

Т₁=R₁C; T₂=R₂C; k_ос=R₂/R₁.

Зададимся ёмкостью C₁ и после этого найдём значения R₁ ,R₂ и С₂.

Пусть C₁=С₂=10 мкФ, тогда находим сопротивления R₁ и R₂ :

,

  .

Коэффициент передачи фильтра при  этом

, что соответствует ранее  найденному его значению. Таким  образом, сопротивления выбраны  верно.