Решение обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка

Одесский национальный морской университет

 

Кафедра  «Техническая кибернетика»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

КУРСОВОЙ ПРОЕКТ

(РОБОТА)

по дисциплине « Численные  методы»

на тему: «Решение обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка»

 

 

Студента : 3 курса 4 группы

Направление подготовки: 0501 – Информатика и вычислительная техника

Специальности: Компьютерные науки

 

Устича Артура Валентиновича

 

Руководители: 

ст. преп. Тузова И.А.

ст. преп. проф. Челабчи  В.Н.

 

 

Национальная шкала ________________   

Количество балов: __________

Оценка: ECTS _____

 

 

 

                                                                     Члени комиссии     ________________  ___________________________

                                                                                                                                             (подпись)                        (ФИО)

                                                                                                      ________________  ___________________________

                                                                                                                                              (подпись)                      (ФИО)

                                                                                                                                ________________  ___________________________

                                                                                                                                              (подпись)                      (ФИО)

 

 

                                                                 

 

 

 

 

 

    г. Одесса  — 2012 год

ОГЛАВЛЕНИЕ

1 АППРОКСИМАЦИЯ

1.1 Основы методики

 

В рассматриваемом случае функциональную зависимость Y=f(X) заданную таблично (табулированную) приближенно отражают (аппроксимируют) аналитической функцией, график которой проходит возможно ближе к точкам с координатами (x_i, y_i), но не требуют совпадения значений искомого полинома и табулированной функции в точках (x_i, y_i).  При подобной аппроксимации чаще всего используется метод наименьших квадратов и надстройку «Поиск решения».

Последовательность действий:

1. Подлежащая обработке выборка экспериментальных данных представляется на диаграмме набором точек с координатами X, Y (строится точечная диаграмма);
2. Анализируя вид представленной на диаграмме зависимости, можно подобрать аналитическое выражение для аппроксимирующей функции Ya=f(X) и выбрать в первом приближении значения ее коэффициентов;
3. Для уточнения значений коэффициентов аппроксимирующей функции следует организовать таблицу, в колонках которой содержатся: экспериментальные значения X_i, Y_i; значения, полученные для аппроксимирующей функции Ya_i и квадраты невязок (Y_i – Ya_i)². В отдельных ячейках размещаются значения коэффициентов для аппроксимирующей функции и значение суммы квадратов невязок для всей выборки δ. Зависимость Y = f(X)  на диаграмме следует отображать маркерами, а Ya = f(X) – сплошной линией;
4. При уточнении значений коэффициентов аппроксимирующей функции следует обратиться к пункту меню Сервис → Поиск решения. В открывшемся диалоговом окне Поиск решения в качестве целевой ячейки указывается ячейка содержащая значение δ, а переключатель Равной: устанавливается на минимальному значению. В окне Изменяя ячейки указывается перечень ячеек, в которых находятся значения коэффициентов аппроксимирующей функции. Если необходимо установить ограничения на значения коэффициентов следует обратиться к списку ограничения. Для проведения уточнения надо нажать кнопку Выполнить.

Для оценки состоятельности проведенной  аппроксимации можно использовать относительную оценку R²:

Таблица 1.1 – Аппроксимация МНК

 

i	X	Y	Ya	Y^2	(Y-Ya)^2		41,00	16,00	-0,21	-0,22	0,05	2,26E-06
1,00	0,00	0,50	0,50	0,25	2,14E-06		42,00	16,40	-1,15	-1,15	1,32	1,13E-05
2,00	0,40	0,70	0,70	0,50	4,53E-06		43,00	16,80	-1,89	-1,88	3,56	2,24E-05
3,00	0,80	0,88	0,89	0,78	3,42E-05		44,00	17,20	-2,28	-2,29	5,18	7,58E-05
4,00	1,20	1,01	1,03	1,03	0,000127		45,00	17,60	-2,27	-2,26	5,17	0,000232
5,00	1,60	1,10	1,09	1,21	0,000228		46,00	18,00	-1,78	-1,77	3,15	8,07E-06
6,00	2,00	1,04	1,06	1,09	0,000163		47,00	18,40	-0,87	-0,87	0,75	1,62E-05
7,00	2,40	0,94	0,93	0,88	6,14E-05		48,00	18,80	0,34	0,34	0,11	2,28E-06
8,00	2,80	0,71	0,72	0,51	5,81E-05		49,00	19,20	1,67	1,67	2,78	5,62E-07
9,00	3,20	0,46	0,46	0,21	2,41E-07		50,00	19,60	2,92	2,92	8,50	9,68E-06
10,00	3,60	0,18	0,18	0,03	1,62E-05		51,00	20,00	3,88	3,87	15,03	3,72E-05
11,00	4,00	-0,06	-0,07	0,00	6,15E-06		52,00	20,40	4,34	4,34	18,86	2,43E-07
12,00	4,40	-0,25	-0,24	0,06	2,46E-05		53,00	20,80	4,21	4,21	17,72	1,93E-05
13,00	4,80	-0,29	-0,31	0,08	0,000274		54,00	21,20	3,46	3,46	11,96	2,07E-06
14,00	5,20	-0,27	-0,25	0,07	0,000764		55,00	21,60	2,15	2,15	4,64	7,81E-06
15,00	5,60	-0,06	-0,05	0,00	3,75E-05		56,00	22,00	0,46	0,46	0,21	3,73E-06
16,00	6,00	0,25	0,24	0,06	1,26E-05		57,00	22,40	-1,37	-1,37	1,87	9,72E-07
17,00	6,40	0,62	0,61	0,38	6,6E-05		58,00	22,80	-3,04	-3,04	9,22	7,05E-09
18,00	6,80	0,99	0,99	0,99	3,95E-05		59,00	23,20	-4,26	-4,26	18,12	9,24E-09
19,00	7,20	1,30	1,31	1,70	0,000145		60,00	23,60	-4,79	-4,79	22,90	1,51E-05
20,00	7,60	1,54	1,53	2,37	1,65E-05				27,15		51,41	0,00445
21,00	8,00	1,59	1,60	2,51	0,000238
22,00	8,40	1,50	1,49	2,25	7,75E-05
23,00	8,80	1,21	1,20	1,47	8,67E-05			a=		0,499
24,00	9,20	0,77	0,78	0,59	9,11E-05			b=		0,501
25,00	9,60	0,28	0,27	0,08	0,000147			c=		1
26,00	10,00	-0,24	-0,24	0,06	2,29E-07			d=		0,1
27,00	10,40	-0,67	-0,67	0,45	3,53E-05
28,00	10,80	-0,93	-0,95	0,86	0,000402			R^2=		1
29,00	11,20	-1,00	-1,00	0,99	5,66E-05
30,00	11,60	-0,82	-0,81	0,68	6,09E-05
31,00	12,00	-0,40	-0,39	0,16	2,86E-05
32,00	12,40	0,22	0,21	0,05	1,11E-05
33,00	12,80	0,93	0,92	0,86	9,94E-05
34,00	13,20	1,59	1,61	2,53	0,000278
35,00	13,60	2,19	2,17	4,81	0,00035
36,00	14,00	2,51	2,51	6,30	7,16E-06
37,00	14,40	2,54	2,54	6,44	1,54E-08
38,00	14,80	2,22	2,23	4,95	4,08E-05
39,00	15,20	1,62	1,61	2,64	0,000172
40,00	15,60	0,74	0,75	0,55	0,000187

 

 

 

 

Результаты аппроксимации представлены на рис. 1.1.

 

 

2  РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯПЕРВОГО ПОРЯДКА

2.1 Постановка задачи

Решению подлежит обыкновенного дифференциального  уравнения первого порядка (ОДУ1) (2.1).

,                                (2.1)

где   t - время,

X – безразмерное значение воздействия,

Y - безразмерное значение реакции объекта,

А. К – коэффициенты отражающие свойства объекта.

 

Воздействие описывается  выражением (2.2).

.                      (2.2)

Аналитическое решение уравнения (2.1) при воздействии (2.2) имеет вид (2.3).

   ,   

где                                                                                                                                             (2.3)

 

2.2  Решение ОДУ1 разностным методом (неявная разностная схема)

 

,   откуда   ,          (2.4)

где        .                                     

Абсолютные условия устойчивости:     или  .

 

 

 

 

 

 

2.3  Решение ОДУ1 разностным  методом (Аналитико-сеточный B=)

                           ,                                    (2.5)

где     .    

Абсолютное условио устойчивости выполняется всегда   .

2.4 Реализация численных решений в среде Excel

 

Результаты решения уравнения (2.1) при воздействии (2.2) представлено в таблице 2.2. и на рис. 2.1.

Для тестирования правильности выполнения вычислений приняты следующие значения исходных данных (Таблица 2.1).

Таблица 2.1 – Исходные данные

 

A=	1,6	a0=	0	a4=	0,7
K=	5,5	a1=	0,6
Y0=	0	a2=	0,5
Dt=	0,05	a3=	-0,6

 

Таблица 2.2 – Результаты решения

 

i	t	X	Ya	Yас	Yня	DYас	DYня	dYас, %	dYня, %
1	0	0,000	0,000	0,000	0,000	0,0000	0,0000	0,00	0,00
2	0,05	0,031	0,001	0,003	0,005	0,0016	0,0042	0,14	0,35
3	0,1	0,064	0,004	0,009	0,016	0,0047	0,0114	0,39	0,94
4	0,15	0,100	0,011	0,018	0,032	0,0076	0,0214	0,63	1,76
5	0,2	0,136	0,020	0,030	0,054	0,0103	0,0338	0,85	2,79
6	0,25	0,175	0,033	0,046	0,081	0,0127	0,0482	1,05	3,98
7	0,3	0,214	0,050	0,065	0,114	0,0148	0,0644	1,22	5,31
8	0,35	0,256	0,072	0,088	0,154	0,0165	0,0819	1,37	6,76
9	0,4	0,300	0,099	0,117	0,199	0,0177	0,1001	1,46	8,26
10	0,45	0,345	0,132	0,150	0,250	0,0182	0,1182	1,50	9,76
11	0,5	0,394	0,173	0,191	0,308	0,0176	0,1354	1,45	11,17
12	0,55	0,445	0,223	0,239	0,373	0,0157	0,1503	1,29	12,40
13	0,6	0,501	0,285	0,296	0,446	0,0117	0,1610	0,97	13,28
14	0,65	0,561	0,361	0,366	0,526	0,0050	0,1649	0,41	13,60
15	0,7	0,627	0,456	0,450	0,614	-0,0058	0,1582	-0,47	13,06
16	0,75	0,700	0,577	0,554	0,712	-0,0224	0,1355	-1,85	11,18
17	0,8	0,780	0,732	0,684	0,821	-0,0481	0,0883	-3,97	7,29
18	0,85	0,868	0,937	0,849	0,940	-0,0875	0,0038	-7,22	0,31
19	0,9	0,967	1,212	1,063	1,073	-0,1488	-0,1389	-12,28	-11,46

 

Условные обозначения:

Ya, Yня, Yас – соответственно решения уравнения (2.1): аналитическое, неявным методом и аналитико-сеточным методом при постоянном на отрезке интегрирования значения воздействия,

DYня, DYас – соответственно абсолютная погрешность решения уравнения (2.1) неявным методом и аналитико-сеточным методом,

dYня, dYас – соответственно относительная погрешность решения уравнения (2.1) неявным методом и аналитико-сеточным методом.

Значение относительной погрешности  определялось по формуле (2.6).

.                                                          (2.6)

 

 

Характер изменения относительных  погрешностей решения приведен на рис. 2.2.

 

2.5 Реализация численных решений в среде Delphi

 

Блок-схема программы решения уравнения 2.1 представлена на рис. 2.5. Код программы находится  в приложении А.

 

Листинг 2.1 – Файл входных данных

           1.6 5.5 0.0 19 0.05 0.0 0.6 0.5 -0.6 0.7 0.0 A,K,Y0,Im,DT,a0,a1,a2,a3,a4,Start

Листинг 2.2 – Файл выходных данных

A= 1.6000 K= 5.5000 Y0= 0.0000

 Im= 19 DT= 0.05

a0= 0.0000 a1= 0.6000 a2= 0.5000 a3=-0.6000

T X Ya Yac Ynya DYac DYnya dYac dYnya

0.00  0.0000  0.0000  0.0000  0.0000  0.0000  0.0000  0.0000  0.0000

0.05  0.0312  0.0010  0.0027  0.0052  0.0016  0.0042  0.1352  0.3452

0.10  0.0645  0.0044  0.0107  0.0158  0.0063  0.0114  0.5202  0.9416

0.15  0.0996  0.0105  0.0242  0.0319  0.0137  0.0214  1.1317  1.7636

0.20  0.1363  0.0199  0.0435  0.0537  0.0236  0.0338  1.9452  2.7853

0.25  0.1746  0.0329  0.0685  0.0811  0.0356  0.0482  2.9338  3.9793

0.30  0.2145  0.0500  0.0993  0.1144  0.0493  0.0644  4.0669  5.3150

0.35  0.2560  0.0717  0.1361  0.1536  0.0643  0.0819  5.3070  6.7559

0.40  0.2995  0.0988  0.1789  0.1989  0.0801  0.1001  6.6069  8.2560

0.45  0.3453  0.1322  0.2280  0.2504  0.0958  0.1182  7.9043  9.7554

0.50  0.3937  0.1730  0.2835  0.3084  0.1105  0.1354  9.1159 11.1734

0.55  0.4455  0.2231  0.3458  0.3733  0.1228  0.1503 10.1284 12.4000

0.60  0.5011  0.2846  0.4153  0.4455  0.1307  0.1610 10.7852 13.2821

0.65  0.5614  0.3607  0.4924  0.5256  0.1317  0.1649 10.8665 13.6043

0.70  0.6273  0.4560  0.5779  0.6142  0.1219  0.1582 10.0572 13.0562

0.75  0.6996  0.5767  0.6724  0.7122  0.0957  0.1355  7.8959 11.1813

0.80  0.7795  0.7322  0.7769  0.8206  0.0447  0.0883 3.6873  7.2897

0.85  0.8682  0.9366  0.8924  0.9404 -0.0442  0.0038 -3.6450  0.3110

0.90  0.9669  1.2119  1.0203  1.0730 -0.1916 -0.1389-15.8130-11.4608

 

 

 

 

ВЫВОД: Сравнивая относительные погрешности двух методов (Аналитико-сеточный B=a+b×t и неявного метода) можно сделать соответствующие выводы:

Неявный метод описывает данное воздействие на много лучше нежели аналитико-сеточный B=a+b*t. Это видно из графика относительных погрешностей (Рисунок 2.2). Относительные погрешности аналитико-сеточногоB=a+b*t метода много больше, чем относительные погрешности неявного метода.