Математические модели электротехнических объектов

2. Уравнение физического процесса должно быть полным, т.е. не содержать констант, определенных в частных случаях при конкретном выборе системы единиц измерения. Замена единиц измерения параметров в уравнении процесса не должна приводить к изменению вида уравнений.

После подтверждения исходных положений  выявление подобных процессов в  системе разнородных физических подсистем производится на основе теорем подобия: первая и вторая теоремы подобия указывают на существование определенных соотношений между параметрами подобных процессов — критериев подобия, а третья теорема вместе с дополнительными положениями к ней устанавливает необ- ^Х0Димые и достаточные условия подобия.

Критерии подобия — это безразмерные комбинации параметров процесса. Они представляют произведения параметров в соответствую щих степенях. Если известно уравнение процесса, то для нахождения критериев подобия можно использовать метод интегральных Залогов. Поясним его на конкретном примере анализа переходного процесса при включении синусоидального источника питания

^a^_msin(cD?) в электрическую цепь, составленную из резистора R,

5 ^^Шки индуктивности L и конденсатора С (рис. 5). Уравнение про-

| имеет вид

е   

где i —ток в цепи; t — время.

Рис. 5. Электрическая цепь с последовательным соединением Л, L, С элементов и источника переменного напряжения

 

Для определения  критериев подобия выполняются  следующие действия.

1. Все члены уравнения процесса делятся на любой из его членов, например на напряжение. Получаются безразмерные слагаемые

iR L d i 1

1. = + + \idt.

f/_msin(wO U_m sin(cor) dr CU_m sin(coO q

2. Каждое из полученных слагаемых записывается отдельно. При этом отбрасываются знаки интегралов и дифференциалов, а также трансцендентные функции. Полученные слагаемые, представляющие произведения параметров в соответствующих уравнению степенях, являются критериями подобия рассматриваемого процесса:

 

З.К критериям подобия добавляются  безразмерные аргументы трансцендентных  функций. В нашем случае

тс₄ = со?.

При определении критериев подобия  исходное уравнение можно разделить  на любой из членов и получить различные  формы записи критериев. Комбинации критериев подобия, полученные умножением, делением, возведением в степень и умножением на постоянный коэффициент также являются критериями подобия.

Другой способ определения критериев  подобия основывается на анализе размерностей и не требует записи уравнения процесса. Сна 
чала составляется перечень параметров процесса. Для рассмотренного примера он включает:U,i,R,L,C,(0,t (см. рис. 5). Затем определяется одна из возможных комбинаций независимых по размерностям параметров из перечня. Независимые по размерностям параметры те, единицы измерений которых не могут быть выражены через единицы измерений всех других выбранных независимых параметров. Например, напряжение U измеряется в вольтах: [ U ] = В. Выберем его в качестве первого независимого параметра. Ток i измеряется в амперах: [ i ] = А. Амперы не могут быть выражены через вольты и, поэтому можно принять ток в качестве второго независимого параметра. Сопротивление резистора R измеряется в омах [ R ] = Ом, что соответствует вольтам, деленным на амперы (Ом = В/А).

Следовательно, сопротивление резистора  не может быть принято за независимый  параметр. Единица измерения индуктивности L катушки — генри [ L ] = Гн = Вс/А, т.е. для определения генри требуется еще единица измерения времени t — секунда [ t ] = с, и индуктивность катушки может быть выбрана за независимый параметр. Единица измерения емкости С конденсатора — фарада [ С ] = Ф = Ас/В определяется через единицы измерения ранее выбранных независимыми параметры (U,i,L). В этом случае емкость конденсатора не может представлять независимый параметр, так же как и угловая частота [со] = 1/с и время [ / ] = с. Возможны и другие наборы независимых параметров: (U,i,t), (/,/?,/), (R,U,t) и т.п.

Критерии подобия записываются в виде дроби: в числителе — параметр процесса из перечня, кроме выбранных независимых параметров, в знаменателе — произведение независимых параметров в заранее неизвестных степенях:

R С

⁷¹¹ “ цЩ.цЯ2.Я£°3,Л ’ ^ ~ ц^а\,С j^a2,C£®3,С ’

HR (О _я t

^ ц^а1. (о £^а3, ш ⁴ цЩ,1 *4,

Показатели степеней при независимых  параметрах в знаменателе Должны обеспечить безразмерность критериев, т.е. размерность чис- ^ЛИтеля должна равняться размерности знаменателя. Иначе необходи- ^Мо Сразить размерности зависимых параметров процесса через раз- ^МсРности выбранных независимых параметров. Выполнение этих ^Рацнй

позволяет получить следующие формы  записи критериев 

=—; л₂ =

С CU²

U~²i²l} " Li^{2 1}

(0 mL

t tU

Они представляют линейные комбинации критериев, выведенных по методу интегральных аналогов.

Теоремы подобия имеют следующие формулировки [3].

Первая теорема. У подобных процессов  критерии подобия численно одинаковы.

Вторая теорема. Всякое полное уравнение  физического процесса, записанное в  определенной системе единиц, может  быть представлено в виде зависимости между критериями подобия.

Третья теорема. Необходимыми и  достаточными условиями подобия являются равенство определяющих критериев подобия и пропорциональность сходственных величин, входящих в условия однозначности.

Третья теорема устанавливает  для доказательства подобия жесткие  требования аналогичности математических записей уравнений процессов, что обеспечивает одинаковое число и возможные формы записи определяющих критериев подобия. Условия однозначности в макромоделировании включают начальные и граничные условия.

3. Аналогии элементов и фазовых переменных.

Компонентные  уравнения

Рассмотрим более подробно компонентные уравнения, связывающие разнородные фазовые переменные в элементах подсистем.

Электрическая подсистема — это цепи постоянного или переменного электрического тока, составленные из резисторов, катушек индуктивности, конденсаторов и источников ЭДС и источников тока. В моделях в качестве фазовых переменных используют токи в ветвях и напряжения на ее участках. Источник фазовой переменной типа потенциала в модели будет источник ЭДС, а переменной типа потока —- источник тока.

Компонентные уравнения определяют связи напряжений и токов на элементах  цепи. В электротехнике принято в качестве фазовой переменной типа потока использовать ток в цепи i, а в качестве фазовой переменной типа потенциала — напряжение U . В этом случае получаем традиционное определение элементов. 

критерий подобия щ = — .

Для собственной  индуктивности L электрической катушки в соответствии с законом электромагнитной индукции имеем: dw dvir di

jj. =-e(r) = — = ——-, где \|/ — потокосцепление катушки; i — ^L dr dz dr

~ dw \ir .di

ток в катушке. В линеином случае — = — = L = const, U_L — L—.

d/ i d t

Критерий подобия для собственной  индуктивности катушки

п₂=-—- Напряжение U_L вызвано и определяется ЭДС, индуциро- U_Lt

ванной в катушке переменным током в этой же катушке (ЭДС самоиндукции). Если переменный магнитный поток в катушке создан другим током, то получаем ЭДС взаимной индукции, напряжение которой можно выразить через взаимную индуктивность Um\2 ⁼ 1 dr, М\2= vj/j₂ //2 > ^гД^е ^_М1 — напряжение, индуциро

ванное в первой катушке  магнитным потоком, созданным током /₂ во второй катушке; М₁₂— взаимная индуктивность катушек. Критерий

подобия для взаимной индуктивности 7с₄ = ^¹²*² . Наконец, переменим^*

ный магнитный поток  может быть создан движущимся намагниченным телом — постоянным магнитом. В этом случае магнитный поток зависит от положения постоянного магнита, а ЭДС от скорости движения.

<*¥_пм(*)- d\i/_nMQc)cbr d* dr ~ dx dr’ it ' где \|/_пм(х) — потокосцепление катушки с магнитным потоком постоянного магнита; х — координата; v — скорость движения магнита.

Критерий подобия процесса возникновения ЭДС в катушке от Движущегося постоянного магнита

- ₌ Упм(*> _{или к =} УпмW_v e(t)t e(t)x

Суммарное переменное во времени потокосцепление катушки \и

создается тремя источниками: своим  током, чужим током и двиял щимся намагниченным телом. В математической модели возникав щую суммарную ЭДС можно представить:

• одной ЭДС e(t) = - d\y_L / dt;
• в виде напряжения на собственной индуктивности L и ЭДс e(0 = -d(\|/£-V_I)/(i^ индуцированной током второй катушки и движущимся постоянным магнитом;
• в виде напряжения на собственной индуктивности, на взаимной индуктивности и ЭДС, индуцированной движущимся постоянным магнитом.

Вариант принятой модели зависит от конкретной задачи. Обычно удобно включать в модель собственную и взаимную индуктивность, если они имеют постоянное значение (линейная задача).

Для электрического конденсатора С  в соответствии с законом электрической  индукции принято соотношение: i = CdU_c/it,

С = q/U , где q — заряд конденсатора. Критерий подобия для конга _v

денсатора я₃1 . Кроме модели с конденсатором процесс элек-

CUc

трической индукции может быть представлен  моделью источника

тока i = dq/dt и критерием подобия т^- — .

it

Если между элементами различных  подсистем имеются аналогии, то компонентные уравнения элементов макромоделей могут быть записаны в одинаковом виде. Обозначим фазовую переменную типа потенциала символом ф, а перемененную типа потока — символом ф. Существование аналогий предполагает запись компонентных уравнений элементов: на R — ф = фR, на L — Ld<j)/df, на С — ф = (Мф/dt. Критерии подобия должны совпадать со следующими формами записи:

щ = фД/ф; тег = Ц>/(фО; Щ = Сф/(фг). №

Для определения R, L, С в моделях используются не физические

представления элементов, а формальная математическая интерпрет³ ция их параметров. 

Предположим в электрической подсистеме сделан иной выбор фазовых переменных: ток i — переменная типа потенциала <р, а напряжение U — переменная типа потока ф. В математическом моделировании такое представление называется обращенной моделью и вполне допустимо. Как изменятся определения элементов в новой модели R\ L', С' по отношению к традиционным значениям R, L, С ?

В соответствии с общими формами  записи компонентных уравнений на резисторе фазовая переменная типа потенциала равна произведению сопротивления резистора на фазовую переменную типа потока. Следовательно, правильная запись ф = ф/? соответствует / = R'U и

сопротивление нового резистора/?' = 1//?. Аналогично новая индуктивность L' = С, а новая емкость конденсатора С = L.

В традиционном представлении электрической  цепи источник фазовой переменной типа потенциала есть источник ЭДС, а источник фазовой переменной типа потока есть источник тока. В обращенной модели ЭДС будет источником тока, а источник тока будет источником ЭДС. Изменится и схема электрической цепи. Если в традиционном представлении имели последовательное соединение ЭДС и элементов R, L, С, то в обращенной модели соединение всех элементов

будет параллельное (рис. 6).

Магнитная подсистема. Макромодель магнитной подсистемы строится на основе принятого в теоретической электротехнике определения магнитной цепи [4], т.е. используется представление пространственной картины магнитного поля в виде отдельных трубок магнитного потока. Трубка магнитного потока представляет собой мысленно выделенный в пространстве объем, ограниченный торцевыми эквипотенциальными поверхностями и боковыми силовыми поверхностями. Вектор магнитной индукции у боковой поверхности направлен по касательной, а вектор напряженности магнитного поля у торцевой поверхности по нормали. Магнитный поток по всей длине трубки постоянен. Каждая трубка потока заменяется эквивалентной

U ^т £/_msin(a>/)

Рис. & Обращенная модель электрической цепи рис. 5

 

цепью с сосредоточенными параметрами, содержащими источники магнитодвижущей силы (МДС) или потока и магнитные активные или реактивные сопротивления. Необходимо заметить, что принятая в магнитных цепях пространственная аппроксимация параметров магнитного поля не может рассматриваться как асимптотическая модель, снижающая погрешности аппроксимации при дроблении пространства на большее число трубок потока, так как форма трубок не известна заранее и не может быть уточнена по результатам макромоделирования.

В дальнейшем для анализа магнитной  подсистемы будем использовать макромодели только при незначительных магнитных потоках рассеяния, когда ошибками в определении геометрической конфигурации трубок магнитного потока можно пренебречь. В общем случае применяются методы численного анализа электромагнитного поля, т.е. микромоделирования.

В магнитной цепи приняты фазовые  переменные: магнитный потенциал ф_м и магнитный поток ф_м . Разность магнитных потенциалов есть магнитное напряжение U_M. Трубка магнитного потока имеет активное магнитное сопротивлением R_M, которое зависит от формы трубки и магнитных свойств материала. Закон Ома для магнитной цепи имеет вид f/_M = ф_м/?_м. Критерий подобия щ = ф_м/?_м /£/_м указывает на существование подобия с электрической цепью (1.1). Аналогом магнитного резистора будет электрический резистор. Источники фазовой переменной типа потенциала представлены магнитодвижущей силой (МДС) F = iN, где N — число витков катушки с током i, создающей МДС. Другой источник магнитного поля — это предварительно намагниченный постоянный магнит. Его можно моделировать источником МДС с соответствующим внутренним сопротивлением, имеющим линейные или нелинейные свойства.