Формулы расчета процентов

Финансовая математика

Формулы расчета процентов

Проценты — удобная относительная мера, позволяющая оперировать с числами в привычном для человека формате не зависимо от размера самих чисел. Это своего рода масштаб, к которому можно привести любое число. Один процент — это одна сотая доля. Само слово процент происходит от латинского «pro centum», что означает «сотая доля». 
 
Проценты незаменимы в страховании, финансовой сфере, в экономических расчетах. В процентах выражаются ставки налогов, доходность капиталовложений, плата за заемные денежные средства (например, кредиты банка), темпы роста экономики и многое другое.

1. Формула расчета  доли в процентном  отношении. 

Пусть задано два  числа: A₁ и A₂. Надо определить, какую долю в процентном отношении составляет число A₁ от A₂.

P = A₁ / A₂ * 100.

В финансовых расчетах часто пишут

P = A₁ / A₂ * 100%.

Пример. Какую долю в процентном отношении составляет 10 от 200

P = 10 / 200 * 100 = 5 (процентов).

2. Формула расчета  процента от числа. 

Пусть задано число A₂. Надо вычислить число A₁, составляющее заданный процент P от A₂.

A₁= A₂ * P / 100.

Пример. Банковский кредит 10 000 рублей под 5 процентов. Сумма процентов составит.

P = 10000 * 5 / 100 = 500.

3. Формула увеличения  числа на заданный  процент. Сумма  с НДС. 

Пусть задано число A₁. Надо вычислить число A₂, которое больше числа A₁ на заданный процент P. Используя формулу расчета процента от числа, получаем:

A₂= A₁ + A₁ * P / 100.

или

A₂= A₁ * (1 + P / 100).  

Пример 1. Банковский кредит 10 000 рублей под 5 процентов. Общая сумма долга составит.

A₂= 10000 * (1 + 5 / 100) = 10000 * 1.05 = 10500.  

Пример 2. Сумма без НДС равна 1000 рублей, НДС 18 процентов. Сумма с НДС составляет:

A₂= 1000 * (1 + 18 / 100) = 1000 * 1.18 = 1180.

Скачайте Excel таблицу-калькулятор 
НДС, бланк счета-фактуры и правила заполнения, 
простые и сложные проценты.

4. Формула уменьшения  числа на заданный  процент. 

Пусть задано число A₁. Надо вычислить число A₂, которое меньше числа A₁ на заданный процент P. Используя формулу расчета процента от числа, получаем:

A₂= A₁ - A₁ * P / 100.

или

A₂= A₁ * (1 - P / 100).  

Пример. Денежная сумма к выдаче за минусом подоходного налога (13 процентов). Пусть оклад составляет 10 000 рублей. Тогда сумма к выдаче составляет:

A₂= 10000 * (1 - 13 / 100) = 10000 * 0.87 = 8700.

5. Формула вычисления  исходной суммы.  Сумма без НДС. 

Пусть задано число A₁, равное некоторому исходному числу A₂ с прибавленным процентом P. Надо вычислить число A₂. Иными словами: знаем денежную сумму с НДС, надо вычислить сумму без НДС.

Обозначим p = P / 100, тогда:

A₁= A₂ + p * A₂.

или

A₁= A₂ * (1 + p).

тогда

A₂= A₁ / (1 + p).  

Пример. Сумма с НДС равна 1180 рублей, НДС 18 процентов. Стоимость без НДС составляет:

A₂= 1180 / (1 + 0.18) = 1000.

Скачайте Excel таблицу-калькулятор 
НДС, бланк счета-фактуры и правила заполнения, 
простые и сложные проценты.

6. Расчет процентов  на банковский депозит. Формула расчета простых процентов.

Если проценты на депозит начисляются один раз  в конце срока депозита, то сумма  процентов вычисляется по формуле  простых процентов.

S = K + (K*P*d/D)/100 
Sp = (K*P*d/D)/100

Где: 
S — сумма банковского депозита с процентами, 
Sp — сумма процентов (доход), 
K — первоначальная сумма (капитал), 
P — годовая процентная ставка, 
d — количество дней начисления процентов по привлеченному вкладу, 
D — количество дней в календарном году (365 или 366).

Пример 1. Банком принят депозит в сумме 100 тыс. рублей сроком на 1 год по ставке 20 процентов.

S = 100000 + 100000*20*365/365/100 = 120000 
Sp = 100000 * 20*365/365/100 = 20000

Пример 2. Банком принят депозит в сумме 100 тыс. рублей сроком на 30 дней по ставке 20 процентов.

S = 100000 + 100000*20*30/365/100 = 101643.84 
Sp = 100000 * 20*30/365/100 = 1643.84

7. Расчет процентов  на банковский  депозит при начислении  процента на процент.  Формула расчета  сложных процентов. 

Если проценты на депозит начисляются несколько  раз через равные промежутки времени и зачисляются во вклад, то сумма вклада с процентами вычисляется по формуле сложных процентов.

S = K * ( 1 + P*d/D/100 )^N

Где: 
S — сумма депозита с процентами, 
К — сумма депозита (капитал), 
P — годовая процентная ставка, 
N — число периодов начисления процентов.

При расчете сложных  процентов проще вычислить общую  сумму с процентами, а потом  вычислить сумму процентов (доход):

Sp = S - K = K * ( 1 + P*d/D/100 )^N - K

или

Sp = K * (( 1 + P*d/D/100 )^N - 1)

Пример 1. Принят депозит в сумме 100 тыс. рублей сроком на 90 дней по ставке 20 процентов годовых с начислением процентов каждые 30 дней.

S = 100000 * (1 + 20*30/365/100)³ = 105 013.02 
Sp = 100000 * ((1 + 20*30/365/100)^N - 1) = 5 013.02 

Скачайте Excel таблицу-калькулятор: 
Простые и сложные проценты, депозиты, кредиты. 
Подробный табличный расчет и 
наглядное графическое представление.

Пример 2. Проверим формулу начисления сложных процентов для случая из предыдущего примера.

Разобьем срок депозита на 3 периода и рассчитаем начисление процентов для каждого периода, использую формулу простых процентов.

S₁ = 100000 + 100000*20*30/365/100 = 101643.84 
Sp₁ = 100000 * 20*30/365/100 = 1643.84 
 
S₂ = 101643.84 + 101643.84*20*30/365/100 = 103314.70 
Sp₂ = 101643.84 * 20*30/365/100 = 1670.86 
 
S₃ = 103314.70 + 103314.70*20*30/365/100 = 105013.02 
Sp₃ = 103314.70 * 20*30/365/100 = 1698.32

Общая сумма процентов  с учетом начисления процентов на проценты (сложные проценты)

Sp = Sp₁ + Sp₂ + Sp₃ = 5013.02

Таким образом, формула  вычисления сложных процентов верна.

8. Еще одна формула  сложных процентов. 

Если процентная ставка дана не в годовом исчислении, а непосредственно для периода  начисления, то формула сложных процентов  выглядит так. 

S = K * ( 1 + P/100 )^N

Где: 
S — сумма депозита с процентами, 
К — сумма депозита (капитал), 
P — процентная ставка, 
N — число периодов начисления процентов.

Пример. Принят депозит в сумме 100 тыс. рублей сроком на 3 месяца с ежемесячным начислением процентов по ставке 1.5 процента в месяц.

S = 100000 * (1 + 1.5/100)³ = 104 567.84 
Sp = 100000 * ((1 + 1.5/100)³ - 1) = 4 567.84 
 

"Банковские  операции: начисление  простых и сложных  процентов" 
 

Цели урока:

• осознанное понятие формул простого и сложного процентного роста;
• формирование умений решать задачи практической направленности;
• развитие логического мышления, интереса к предметам математики и экономики;
• создание условий для формирования информационной культуры учащихся.

 

Методы: проблемно-диалогический, частично-поисковый. 

Оборудование: компьютер, видеопроектор, экран, калькуляторы. 

Предполагаемый  результат:

• знание формул простого и сложного процентного роста;
• знание смысла параметров в формулах простого и сложного процентного роста;
• знание отличия формулы простого процентного роста от формулы сложного процентного роста;
• умения начисления простого и сложного процентов;
• умения использовать экономический способ при решении задач, связанных с банковскими операциями.

 

Ход урока 

Организационный момент. 

Учитель математики: Сообщение темы, целей урока, практической значимости рассматриваемой темы. 

Актуализация  опорных знаний. 

Учитель математики: 

Что такое процент? (Процентом (от лат. “pro cento”) числа называется сотая часть этого числа.) 

Как найти % от числа? (Данное число умножается на число  процентов и полученный результат  делиться на 100.) 

Что значит увеличить  величину на 10 %, на 50 %? 

Что значит найти 10 %, 20 % от величины? 

Формирование  новых знаний учащихся 

Учитель математики: В сберкассу положили 10000 р., на которые начисляют 4 % годовых. Сколько денег будет в конце первого года хранения? (процентная ставка – десятичная дробь)

Первоначальный  капитал, р.             Р      10000

Процентная ставка                                     i       0,04

Прибыль, р.                                                 10000 x 0,04

Конечный капитал  10000 + 10000 x 0,04 = 10000 x (1 + 0,04) 
 

Полученная формула  зависимости  дает возможность решать три типа задач на денежные расчеты (нахождение Р, i, k) и называется формулой “простых  процентов”. 

k = P х (1 + i)  

Сколько денег  будет в конце второго года хранения ? 

k = k (1 + i) = P (1 + i)(1 + i) = P (1 + i) 

Сколько денег  будет в конце третьего года хранения ? 

 k = k (1 + i) = P (1 + i)(1 + i)(1 + i) = P (1 + i) 
 

Сколько денег  будет в конце n - го года хранения? 

 k = P (1 + i) 
 

Учитель экономики:

(1 + i)     - множитель наращения сложных процентов, а процедура наращения называется капитализацией процентов. 

Что означают параметры  Р, i, n в полученной формуле? 

Р - начальный  капитал; 

i - процентная  ставка прибыли за определённый  промежуток времени; 

n – число  промежутков времени. 

Учитель математики:

Что напоминает полученная формула?

k = P х (1 + i)  

Геометрическая возрастающая прогрессия. 

Чему равны  в этой прогрессии первый член и  её знаменатель? 

Сравните две  формулы: формулу простого процентного  роста и  формулу сложного процентного  роста.  

В чём состоит  отличие формулы простого процентного  роста от формулы сложного процентного роста? 

В формуле простого процентного роста процент берётся  каждый раз от одного и того же числа  Р. 

Формирование  умений учащихся 
 

Учитель математики:

Задача 1. Рассмотрим применение формул на конкретных, часто  встречающихся на практике, задачах. Условие задачи: Клиент положил на счёт 1000 рублей. За оказание определённой услуги сумма на счёте ежемесячно снижается на 5 %. Через сколько месяцев эта сумма сократится: 

а) до 800 рублей; б) до 700 рублей; в) до 400 рублей; г) до 100 рублей?