Транспортная задача распределительным методом

 

аi(q+1)= аi(q) - xi,j, bj(q+1)= bj(q) - xi,j

 

Очевидно, что на каждом шаге выполняется хотя бы одно из равенств: аi(q+1)= 0 или bj(q+1)= 0. Если справедливо первое, то это означает, что весь запас i-го пункта производства исчерпан и необходимо перейти к распределению запаса в пункте производства i+1, т. е. переместиться к следующей клетке вниз по столбцу. Если же bj(q+1) = 0, то значит, полностью удовлетворена потребность для j-го пункта, после чего следует переход на клетку, расположенную справа по строке. Вновь выбранная клетка становится текущей, и для нее повторяются все перечисленные операции.

Основываясь на условии баланса запасов и потребностей, нетрудно доказать, что за конечное число шагов мы получим допустимый план. В силу того же условия число шагов алгоритма не может быть больше, чем m+n-1, поэтому всегда останутся свободными (нулевыми) mn-(m+n-1) клеток. Следовательно, полученный план является базисным. Не исключено, что на некотором промежуточном шаге текущий нераспределенный запас оказывается равным текущей неудовлетворенной потребности (аi(q)=bj(q)). В этом случае переход к следующей клетке происходит в диагональном направлении (одновременно меняются текущие пункты производства и потребления), а это означает «потерю» одной ненулевой компоненты в плане или, другими словами, вырожденность построенного плана.

Особенностью допустимого плана, построенного методом северо-западного угла, является то, что целевая функция на нем принимает значение, как правило, далекое от оптимального. Это происходит потому, что при его построении никак не учитываются значения ci,j. В связи с этим на практике для получения исходного плана используется другой способ — метод минимального элемента, в котором при распределении объемов перевозок в первую очередь занимаются клетки с наименьшими ценами.

 

Преобразование опорного плана в другой опорный план.

Оптимальный план транспортной задачи находится в результате упорядоченного преобразования одного опорного плана в другой так, что транспортные расходы после каждого образования уменьшаются. Упомянутые преобразования осуществляются непосредственно в распределительной таблице. При этом используется следующее свойство циклов: если в распределительной таблице содержится опорный план, то для каждой свободной клетки можно образовать, и притом только один, цикл, содержащий эту свободную клетку и некоторую часть загруженных клеток. Интересующие нас циклы изображаются в распределительной таблице контурами, одна вершина которых находится в свободной клетке, а остальные — только в загруженных клетках.

 

 

2. Транспортная задача распределительным  методом

 

2.1 Транспортная задача как частный случай общей распределительной задачи

 

Транспортная задача ставится следующим образом: имеется m пунктов отправления А1, А2 , ..., Аm , в которых сосредоточены запасы каких-то однородных грузов в количестве соответственно а1, а2, ... , аm единиц. Имеется n пунктов назначения В1 , В2 , ... , Вn подавшие заявки соответственно на b1 , b2 , ... , bn единиц груза. Известны стоимости Сi,j перевозки единицы груза от каждого пункта отправления Аi до каждого пункта назначения Вj . Все числа Сi,j, образующие прямоугольную таблицу заданы. Требуется составить такой план перевозок (откуда, куда и сколько единиц поставить), чтобы все заявки были выполнены, а общая стоимость всех перевозок была минимальна.

Решение транспортной задачи начинается с нахождения опорного плана. Клетки таблицы, в которых стоят ненулевые перевозки, являются базисными. Их число должно равняться m + n - 1. Необходимо отметить также, что встречаются такие ситуации, когда количество базисных клеток меньше чем m + n - 1. В этом случае распределительная задача называется вырожденной. И следует в одной из свободных клеток поставить количество перевозок равное нулю.

Составляя план по способам минимальных стоимостей в отличие от плана по способу “северо-западного угла” мы учитываем стоимости перевозок Ci,j, но все же не можем утверждать, что составленный нами план является оптимальным. Циклом в транспортной задаче мы будем называть несколько занятых клеток, соединённых замкнутой ломанной линией, которая в каждой клетке совершает поворот на 90°.

Существует несколько вариантов цикла:

1.)     2.)     3.)

 

Нетрудно убедиться, что каждый цикл имеет чётное число вершин и значит, чётное число звеньев (стрелок). Условимся отмечать знаком “+” те вершины цикла, в которых перевозки необходимо увеличить, а знаком “-“ те вершины , в которых перевозки необходимо уменьшить. Цикл с отмеченными вершинами будем называть “означенным”. Перенести какое-то количество единиц груза по означенному циклу — это значит увеличить перевозки, стоящие в положительных вершинах цикла, на это количество единиц, а перевозки, стоящие в отрицательных вершинах уменьшить на то же количество. Очевидно, при переносе любого числа единиц по циклу равновесие между запасами и заявками не меняется. По прежнему сумма перевозок в каждой строке равна запасам этой строки, а сумма перевозок в каждом столбце — заявке этого столбца. Таким образом, при любом циклическом переносе, оставляющем перевозки неотрицательными допустимый план остаётся допустимым. Стоимость же плана при этом может меняться: увеличиваться или уменьшатся. Назовём ценой цикла увеличение стоимости перевозок при перемещении одной единицы груза по означенному циклу. Очевидно цена цикла ровна алгебраической сумме стоимостей, стоящих в вершинах цикла, причём стоящие в положительных вершинах берутся со знаком “+”, а в отрицательных со знаком “-“. Обозначим цену цикла через g. При перемещении одной единицы груза по циклу стоимость перевозок увеличивается на величину g. При перемещении по нему k единиц груза стоимость перевозок увеличиться на kg. Очевидно, для улучшения плана имеет смысл перемещать перевозки только по тем циклам, цена которых отрицательна. Каждый раз, когда нам удаётся совершить такое перемещение, стоимость плана уменьшается на соответствующую величину kg. Так как перевозки не могут быть отрицательными, мы будем пользоваться только такими циклами, отрицательные вершины которых лежат в базисных клетках таблицы, где стоят положительные перевозки. Если циклов с отрицательной ценой в таблице больше не осталось, это означает, что дальнейшее улучшение плана невозможно, то есть оптимальный план достигнут.

Метод последовательного улучшения плана перевозок и состоит в том, что в таблице отыскиваются циклы с отрицательной ценой, по ним перемещаются перевозки, и план улучшается до тех пор, пока циклов с отрицательной ценой уже не останется. При улучшении плана циклическими переносами, как правило, пользуются приёмом, заимствованным из симплекс-метода: при каждом шаге (цикле) заменяют одну свободную переменную на базисную, то есть заполняют одну свободную клетку и взамен того освобождают одну из базисных клеток. При этом общее число базисных клеток остаётся неизменным и равным m + n - 1 . Этот метод удобен тем, что для него легче находить подходящие циклы.

Можно доказать, что для любой свободной клетке транспортной таблице всегда существует цикл и притом единственный, одна из вершин которого лежит в этой свободной клетке, а все остальные в базисных клетках. Если цена такого цикла, с плюсом в свободной клетке, отрицательна, то план можно улучшить перемещением перевозок по данному циклу. Количество единиц груза k, которое можно переместить, определяется минимальным значением перевозок, стоящих в отрицательных вершинах цикла (если переместить большее число единиц груза, возникнут отрицательные перевозки).

Применённый выше метод отыскания оптимального решения транспортной задачи называется распределённым; он состоит в непосредственном отыскании свободных клеток с отрицательной ценой цикла и в перемещении перевозок по этому циклу.

Распределительный метод решения транспортной задачи обладает одним недостатком: нужно отыскивать циклы для всех свободных клеток и находить их цены.

Оптимальный план транспортной задачи находится в результате упорядоченного преобразования одного опорного плана в другой так, что транспортные расходы после каждого образования уменьшаются. Упомянутые преобразования осуществляются непосредственно в распределительной таблице. При этом используется следующее свойство циклов: если в распределительной таблице содержится опорный план, то для каждой свободной клетки можно образовать, и притом только один, цикл, содержащий эту свободную клетку и некоторую часть загруженных клеток. Интересующие нас циклы изображаются в распределительной таблице контурами, одна вершина которых находится в свободной клетке, а остальные — только в загруженных клетках.

Операция сдвига оправдала лишь в случае, когда новому опорному плану соответствует меньшее расходы, чем прежнему опорному плану, а это будет тогда, когда приращение целевой функции отрицательно.

 

    (2.1.4)

 

Обозначим алгебраическую сумму тарифов следующим образом:

 

.        (2.1.5)

 

Тогда равенство (2.1.4) запишется в виде:

 

+

  .           (2.1.6)

 

Из равенства (2.1.5) видно, что величина зависит от значений тарифов cij и однозначно определяется структурой цикла клетки (k;s). Поэтому называется оценкой свободной клетки (k;s).

Из равенства (2.1.6) следует, что < 0, если < 0( всегда величина неотрицательная), т.е. если оценка свободной клетки отрицательная, то ее следует загружать. Такие клетки называются перспективными. Если же оценки всех свободных клеток неотрицательные, то содержащийся в распределительной таблице опорный план является оптимальным. Если в распределительной таблице, содержащей оптимальный план, имеются свободные клетки с нулевыми оценками, то задача имеет не единственный опорный план. Загружая свободную клетку с нулевой оценкой, можно найти еще один оптимальный план.

 

2.2 Алгоритм распределительного метода

 

Ниже приведен алгоритм распределительного метода.

1. Условия задачи записывают в форме распределительной таблицы.

2. Сравнивают общий запас груза с суммарным спросом и случае нарушения равенства вводят в рассмотрение фиктивного поставщика (потребителя).

3. Строят начальный опорный план.

4. Вычисляют оценки свободных клеток по формуле (2.1.5). Если оценки всех свободных клеток неотрицательны, то построенный опорный план является оптимальным и остается подсчитать минимальные расходы . Если среди оценок есть отрицательные, то выбирают клетку наибольшей по абсолютной величине отрицательной оценкой и переходят к следующему пункту алгоритма.

5. Загружают выделенную в предыдущем пункте свободную клетку, получают новый опорный план и возвращаются к пункту 4 алгоритма.

Замечание. При выполнении п. 4 можно вычислять оценки, начиная со свободных клеток, имеющих относительно малые тарифы, и загружать первую встретившуюся клетку с отрицательной оценкой.

 

2.3 Пример решения транспортной  задачи распределительным методом

 

Распределительный метод заключается в нахождении оценок циклов пересчета для всех свободных клеток транспортной таблицы. Если оценка цикла отрицательна, то решение задачи можно улучшить путем переноса перевозки xij по циклу. Если оценки для всех циклов неотрицательны, то решение оптимально.

Стоимость доставки единицы груза из каждого пункта отправления в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов  
Распределительный метод является одним из вариантов базового симплексного метода. Поэтому идея распределительного метода (как и симплексного) содержит такие же три существенных момента.  
Прежде всего отыскивается какое-то решение задачи — исходный опорный план. Затем посредством специальных показателей опорный план проверяется на оптимальность. Если план оказывается не оптимальным, переходят к другому плану. При этом второй и последующие планы должны быть лучше предыдущего. Так за несколько последовательных переходов от не оптимального плана приходят к оптимальному.

 

 

	1	2	3	4	Запасы
1	6	6	3	5	80
2	5	4	4	3	105
3	6	5	6	4	125
4	8	4	2	4	90
Потребности	110	130	160	120

 

Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи.

∑ a = 80 + 105 + 125 + 90 = 400 

∑ b = 110 + 130 + 160 + 120 = 520 

Как видно, суммарная потребность груза в пунктах назначения меньше запасов груза на базах. Следовательно, модель исходной транспортной задачи является открытой. Чтобы получить закрытую модель, введем дополнительную (фиктивную) потребность, равным 120 (520—400). Тарифы перевозки единицы груза из базы во все магазины полагаем равны нулю.  
Занесем исходные данные в распределительную таблицу.

 

	1	2	3	4	Запасы
1	6	6	3	5	80
2	5	4	4	3	105
3	6	5	6	4	125
4	8	4	2	4	90
5	0	0	0	0	120
Потребности	110	130	160	120