Контрольная работа по "Теория вероятности"

      МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГБОУ ВПО  «Уральский государственный экономический  университет»

 

 

 

 

 

Контрольная работа

по дисциплине: «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ»

Вариант 2

 

 

 

 

 

 

 

Исполнитель: студентка II курса заочного факультета

специальности «Финансы и кредит»

Гафарова Л.В. Гр Эп

 

 

 

                                            

 

 

 

 

 

 

                                    Екатеринбург 2012

 

 

 

 

 

1. Имеется две урны. В первой урне а белых и b чёрных шаров, во второй с белых и d чёрных шаров. Из каждой урны вынимается по одному шару. Какова вероятность, что они будут белыми?

 

Решение.

В первой урне всего  шаров, из которых белых. Вероятность события А – из первой урны вынут белый шар – по классическому определению вероятности:

.

Во второй урне всего  шаров, из которых белых. Вероятность события В – из второй урны вынут белый шар – по классическому определению вероятности:

.

Событие С – оба шара белые – можно описать через события А и В следующим образом:

.

Поскольку события А и В независимые, то по теореме о вероятности произведения независимых событий получаем:

.

 

2. 12 рабочих получили путёвки в 4 дома отдыха: трое – в первый дом отдыха, трое – во второй, двое – в третий и четверо – в четвёртый дом отдыха. Найти вероятность того, что данные двое рабочих попадут в один дом отдыха.

 

Решение.

Число способов, которыми можно выбрать  для двух данных рабочих 2 путёвки, равно  числу сочетаний из 12 элементов  по 2 элемента:

.

Пусть событие А – два данных рабочих получили путёвки в один дом отдыха.

Число способов выбора двух путёвок  в первый дом отдыха равно  (выделено 3 путёвки), во второй – , в третий – , в четвёртый – :

,    ,    .

То есть всего число способов выбора двух путёвок, благоприятствующих событию А:

.

.

 

3. В денежно-вещевой лотерее на каждые 1000 билетов приходится 24 денежных и 10 вещевых выигрыша. Некто приобрёл 2 билета. Найти вероятность, что он:

1) выиграет хотя бы по одному билет;

2) выиграет по одному билету – деньги, а по другому – вещи.

 

Решение.

Всего на каждые 1000 билетов на 24 билета приходятся денежные выигрыши, на 10 – приходятся вещевые выигрыши и на – не приходятся выигрыши.

 

1) Событие – некто выиграет по первому билету приз.

Событие – некто выиграет по второму билету приз.

Событие – некто выиграет хотя бы по одному билету.

Сначала найдём вероятность  того, что некто не выиграет ни по одному билету (используем теорему о вероятности произведения зависимых событий):

.

Тогда искомая вероятность  того, что некто выиграет хотя бы по одному билету:

.

 

2) Событие – некто выиграет по первому билету денежный приз.

Событие – некто выиграет по второму билету денежный приз.

Событие – некто выиграет по первому билету вещевой приз.

Событие – некто выиграет по второму билету вещевой приз.

Событие – некто выиграет по одному билету – деньги, а по другому – вещи.

Найдём вероятность того, что некто выиграет по одному билету – деньги, а по другому – вещи (используем теоремы о вероятности сложения несовместных событий и вероятности произведения зависимых событий)

 

4. В сборочный цех завода поступили детали с 3-х автоматов. 1-ый автомат даёт 3 % брака, 2-й – 1 %, 3-ий – 2 %. Определить вероятность попадания на сборку бракованной детали, если в цех поступило 500 деталей от 1-го автомата, 200 от 2-го и 300 от 3-го.

 

Решение.

Гипотеза  – деталь произведена 1-ым автоматом.

Гипотеза  – деталь произведена 2-ым автоматом.

Гипотеза – деталь произведена 3-им автоматом.

Событие – деталь бракованная.

Вероятности гипотез найдём по классическому  определению вероятности:

;

;

.

По статистическому определению вероятности, условные вероятности события :

,    ,    .

Искомую вероятность события находим по формуле полной вероятности:

 

5. В специализированную больницу поступают в среднем 70 % больных с заболеванием К, а остальные – с заболеванием М. Вероятность полного излечения болезни К равна 0,8, болезни М – 0,9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Какова вероятность, что он болел болезнью К?

 

Решение.

Гипотеза  – больной поступил в больницу с заболеванием К.

Гипотеза  – больной поступил в больницу с заболеванием М.

Событие – больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым.

Вероятности гипотез, по статистическому  определению вероятности:

.

Условные вероятности события  известны:

,    .

Искомую условную вероятность  первой гипотезы найдём по формуле Бейеса:

 

 

Задание 1. Составить закон распределения дискретной случайной величины , вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины.

2 В урне 4 шара, на которых указаны очки 2; 4; 5; 5. Наудачу вынимается шар. Найти закон распределения случайной величины Х – числа очков на нём. Вычислить матема-тическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины.

 

 

Решение.

Очевидно, что случайная величина Х – число очков на вынутом шаре – может принимать значения 2, 4 или 5. Вероятности этих значений найдём по классическому определению вероятности:

(на 1-м шаре из 4-х написано  число 2);

(на 1-м шаре из 4-х написано  число 4);

(на 2-х шарах из 4-х написано  число 5).

Составим закон распределения  случайной величины :

 

	2	4	5
	1/4	1/4	1/2

 

Выполним проверку.

Поскольку ряд распределения содержит все возможные значения случайной  величины, то суммарная вероятность  должна быть равна 1:

(верно).

 

Найдём математическое ожидание случайной величины :

.

Найдём дисперсию случайной величины :

.

Найдём среднеквадратическое отклонение случайной величины :

.

 

Задание 2. Случайная величина задана функцией распределения . Найти плотность распределения, математическое ожидание, дисперсию, а также вероятность попадания случайной величины в интервал . Построить графики функций и .

2  ,          .

 

 

Решение.

Плотность распределения  связана с функцией распределения формулой . Найдём плотность распределения случайной величины :

.

 

 

Вычислим математическое ожидание случайной величины :

.

Вычислим дисперсию случайной  величины :

Вычислим заданную  вероятность:

.

Построим графики функций и . Для этого вычислим значения этих функций в нескольких точках на интервале :

 

	1	1,2	1,4	1,6	1,8	2
	0,5	0,7	0,9	1,1	1,3	1,5
	0	0,12	0,28	0,48	0,72	1