Контрольная работа по "Строительная механика"

РОССИЙСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ  ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

МИНИСТЕРСТВА  ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

РОССИЙСКОЙ  ФЕДЕРАЦИИ

Факультет: ТРАНСПОРТНЫХ СООРУЖЕНИЙ И ЗДАНИЙ

Специальность:   ПРОМЫШЛЕННОЕ И ГРАЖДАНСКОЕ СТРОИТЕЛЬСТВО

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1

по дисциплине: СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА

Владимир 2006 год.

Содержание.

Выполнил 

Кучер Ю.Р.

02- ПГС-33358

лист

Проверил

1

Расчет  плоской рамы методом перемещений

Для статистически неопределимой  рамы (рис.1) требуется:

1. Определить число неизвестных и выбрать основную систему метода перемещений.
2. Построить необходимые единичные и грузовые эпюры изгибающих моментов в основной системе.
3. Записать систему канонических уравнений метода перемещений и вычислить ее коэффициенты из условий равновесия частей рамы.
4. Решить полученную систему канонических уравнений.
5. Построить окончательные эпюры изгибающих моментов М, поперечных Q и продольных N сил.
6. Проверить полученные результаты, осуществив деформационную и статическую проверки.

Дано:

h = 4,4 м

L = l₁ = 3,8 м

P₁ = 50 кН

q = 2

l₂ / l₁ = 1,25; l₂ = l = 4.75 м

P₂ / P₁ = 1; P₂ = 50 кН

Y_р / Y_с = 1.75

Рассчитаем плоскую  раму методом перемещений.

1) Определение числа неизвестных перемещений.

Число неизвестных перемещений  определяется по формуле:

n = n_у + n_л

где: n_у – число неизвестных углов поворота, равное количеству жестких узлов рамы, исключая опорные   

       n_л - число независимых линейных перемещений узлов рамы, равное степени геометрической изменяемости шарнирной схемы рамы, полученной из заданной путем введения во все жесткие узлы, включая опорные, полных шарниров.

В заданной раме n_у =2. Для определения n_л вводим во все жесткие узлы, включая опорные, полные шарниры и находим и находим степень геометрической изменяемости полученной шарнирной схемы рамы (рис.2) по формуле:

n_л = W = 2 • У – С –С_оп

где: У – число узлов в шарнирной схеме рамы, включая и опорные

        С – число стержней в шарнирной схеме рамы

        С_оп – число опорных связей с землей шарнирной схемы рамы

n_л = 2 • 5 – 4 – 5 = 1

Полученное значение говорит о том, что шарнирная схема один раз геометрически изменяема.

Таким образом, заданная рама имеет два угловых и одно линейное перемещение, а общее количество неизвестных будет равно:

Выполнил 

Кучер Ю.Р.

02- ПГС-33358

лист

Проверил

2

n = n_у + n_л = 2 + 1 = 3

2) Получение основной и эквивалентной системы метода перемещений.

Основную систему метода перемещений получаем путем постановки дополнительной заделки в узлах  В и С, препятствующих неизвестным угловым

перемещениям.

Загрузив основную систему внешней нагрузкой и неизвестными перемещениями и, равными по величине действительным перемещениям заданной системы, получим эквивалентную систему, деформирующуюся тождественно заданной.

3) Составление канонических уравнений метода перемещений.

В развернутом виде канонические уравнения имеют вид:

⌠r₁₁ • Z₁ + r₁₂ • Z₂ + R_1pq = 0

⌠ r₂₁ • Z₁ + r₂₂ • Z₂ + R_2pq = 0

4) Вычисление коэффициентов канонических уравнений.

Для определения коэффициентов  необходимо построить единичные  и грузовые эпюры изгибающих моментов в основной системе метода перемещений.

Для их построения используются таблицы эпюр изгибающих моментов и  реакций статически неопределимых  балок  (см. табл.2.4 "Строительная механика. Основы теории с примерами расчетов" А.Е.Саргсян и др.)

Единичные и грузовые эпюры изгибающих моментов, построенные  в основной системе, показаны на рисунках 5-7

Находим матрицы единичных  эпюр

Выполнил 

Кучер Ю.Р.

02- ПГС-33358

лист

Проверил

3

Находим матрицу Lm

Находим коэффициенты канонических уравнений  по формуле:

К = l_i • EY_c / 6 • EY_i

К _1-2 = l_1-2 • EY_c / 6EY_c = 4.4 / 6 - 0.733333

К_3-4 = l_3-4 • EY_c / 6EY_p =3.8 / 6 • 1.75 = 0.3619048

К_5-6 = l_5-6 • EY_c / 6EY_c = 2.2 / 6 = 0.366667

К_7-8 = l_7-8 • EY_c / 6EY_c = 2.2 / 6 = 0.366667

К_9-10 = l_9-10 • EY_c / 6EY_p = 4.75 / 6  • 1.75 = 0.452881

Для определения реактивного  момента r₁₁, возникающего в дополнительно поставленной заделке узла В от поворота этого узла на угол Z₁=1, вырезаем узел В из эпюры М₁ (рис.8) и решаем уравнение равновесия

r₁₁ = 3EY_c / h + 4EY_р / l ₁

r₁₁ = EY_c (3 / 4,4 + 7 / 3,8)

Реактивный момент в  дополнительно поставленной заделке  узла В от линейного смещения Z₂=1, узлов В и С определяем из условия равновесия узла В вырезанного из эпюры М₂ (рис.9).

r₁₂ = 2EY_р / l₁

r₁₂ = 2EY_р / 3,8 = EY_с2 • 1,75 / 3,8 = EY_с (3,5 / 3,8)

Выполнил

Кучер Ю.Р.

02- ПГС-33358

лист

Проверил

4

Такая же по величине, согласно теореме о взаимности реакций  и реактивная сила r₂₁.

Для определения реактивного  момента r₂₂, возникающего в дополнительно поставленной заделке узла С от поворота этого узла на угол Z₂=1, вырезаем узел С из эпюры М₂ (рис.10) и решаем уравнение равновесия.

r₂₂ = 4EY_р / l₁ + 4EY_c / h + 3EY_р / l₂

r₂₂ = EY_c (7 / 3,8+1 / 1,1+5,25 / 4,75)

Реактивный момент, возникающий в заделке узла В от внешних нагрузок P и q, найдем из уравнения равновесия узла В, вырезанного из эпюры М (рис.11).

R₁ = - q • l₁² / 8= - 3,61

Реактивный момент, возникающий в заделке узла С от внешних нагрузок P и q, найдем из уравнения равновесия узла С, вырезанного из эпюры М (рис.12).

R₂ = - P • h / 8 + q • l₁² / 8 = - 27,5 + 3,61 = - 23,89

5) Решение системы  канонических уравнений.

Подставим найденные значения коэффициентов в канонические уравнения и получим

Z₁ = 1,590435 / EY_р

Z₂ = 11,2172 / EY_р

6) Построение  окончательной эпюры изгибающих  моментов М_ок для заданной системы

Построение окончательной  эпюры изгибающих моментов Мок для заданной системы производим на основании принципа независимости действия сил по формуле:

M_ок = M₁ • Z₁ + M₂ • Z₂ + M_Pq

По найденным значениям строим эпюру M_ок (рис.13).

Для  проверки вырезаем узел В из эпюры Мок, прикладываем действующие в нем изгибающие моменты и проверяем равновесие узла (рис 15)

Выполнил 

Кучер Ю.Р.

02- ПГС-33358

лист

Проверил

5

7) Построение эпюры Q по эпюре М _ок

Эпюру Q для заданной рамы по эпюре М_ок строим, используя формулу:

Q_(z) = Q_0(z) + (M_пр – M_лев) / l + q • z

Участок 1-2

q = 0

M_пр = 0,61965 кН • м

M_лев = 0

l = 4.4м

Q_1-2 = 0 + (0.61965 – 0) / 4,4 + 0 = 0.141

Q₁ = 0.141

Q₂ = 0.141

Участок 3-4

q = 2 кН • м

M_пр = -14,581 кН • м

M_лев = 0,61965 кН • м

l = 3,8 м

Q_3-4 =  q • l / 2 – q • z + (M_пр – M_лев) / l

Q_3-4 = 2 • 3,8 / 2 + ( –14,581 – 0) / 3,8

z=0      Q₃ =2 • 3.8 / 2 - (14.581 + 0) / 3.8 = - 0.037

z=3.8   Q₄ = 2 • 3.8 / 2 – 2 • 3.8 - (14.581 + 0) / 3.8 = 7,563

Участок 5-6

q = 0

M_пр = 28,9568 кН • м

M_лев = -21,673 кН • м

l = h / 2 = 2,2 м

Q_5-6 = 0 + (28,9568+21,673) / 2,2 + 0 = 23,01

Q₅ = 23,01

Q₆ = 23,01

Участок 7-8

q=0

M_пр =  -30,414 кН • м

M_лев = 28,9568 кН • м

l = h / 2 = 2,2 м

Q_7-8 = 0 + (-30,414 - 28,9568) / 2,2 + 0 = -26,987

Q₇ = -26,987

Q₈ = -26,987

Участок 9-10

q = 0

M_пр = 0

M_лев = 7,08455 кН • м

l = 4,75 м

Q_9-10 = 0 + (0 – 7,08455) / 4,75 + 0 =1,49

Q₉ = 1,49

Q₁₀ = 1,49

По найденным значениям  строим эпюру Q (рис.16)

Выполнил

Кучер Ю.Р.

02- ПГС-33358

лист

Проверил

6

8) Построение эпюры N для заданной рамы

Методом сечений находим:

Участок 1-2

N₁₂ = - Q₃ = 0.037

Участок 3-4

N₃₄ = 0

Участок 5-6-7-8

N₅₈ = Q₄ - Q₉ = 7.563 - 1.49 = - 6.073

Участок 9-10

N_9-10 = 0

По этим расчетам строим эпюру нормальных сил (рис. 17)

9) Проверка  равновесия рамы в целом.

Проверим равновесие рамы в целом. Для этого освободим  раму от опор и покажем внутренние силовые факторы в опорных  сечениях (рис.18). Под действием этих сил и заданной нагрузки рама должна находиться в равновесии.

ΣZ = 23,01 + 26,987 – 50 = 0

ΣY = 0,037 – 2 • 3,8 + 1,49 + 6,073 = 0

ΣM_д = 0,037 • 3,8 – 2 • 3,8 • 1,9 + 1,49 • 4,75 – 50 • 2,2 - 30,414 + 23,01 • 3 + 26,987 • 3 = = 0

Условия удовлетворяются, следовательно все эпюры построены верно.

Выполнил 

Кучер Ю.Р.

02- ПГС-33358

лист

Проверил

7

Выполнил 

Кучер Ю.Р.

02- ПГС-33358

лист

Проверил

8

Выполнил 

Кучер Ю.Р.

02- ПГС-33358

лист

Проверил

9

Выполнил 

Кучер Ю.Р.

02- ПГС-33358

лист

Проверил

10

Выполнил 

Кучер Ю.Р.

02- ПГС-33358

лист

Проверил

11

Выполнил 

Кучер Ю.Р.

02- ПГС-33358

лист

Проверил

12