Моделі особистого страхування

Зауважимо, що в страхових  розрахунках замість  більш зручно використовувати цілочисельну випадкову величину , що відображує ціле число прожитих років з віку ([.]- тут показує цілу частину числа). приймає значення з множини і має розподіл

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Страхові виплати на випадок смерті

В цій роботі сума і час  платежів на страхування життя залежить тільки від довжини періоду з  часу купівлі полісу до смерті застрахованого. Модель розглядається з використанням  функції винагороди і функції дисконту . - це процентний дисконтний фактор з часу виплати назад до часу видачі полісу. - це довжина періоду від видачі полісу до здійснення виплати. Якщо мова йтиме про змішане страхування , то може бути більше або рівне довжині інтервалу часу від видачі полісу до моменту виплати.

При такій функції дисконту ми припускаємо, що відповідна інтенсивність  нарахування відсотків є визначеною. Це означає, що модель не передбачає ймовірнісного розподілу для інтенсивності нарахування відсотків. Ми будемо виписувати прості формули, які випливають з припущення про те, що інтенсивність нарахування відсотків не тільки визначена, але і стала.

Визначимо функцію теперішньої  вартості страхування  , таким чином

(1)

Таким чином - це теперішня ціна, в час видачі полісу, страхової виплати. Час, що минув з моменту видачі полісу до смерті застрахованого- випадкова величина майбутньої тривалості його життя Ця випадкова величина позначається через . Тому теперішня ціна в час видачі полісу страхових виплат є випадковою величиною . Якщо ситуація не вимагає введеня більш складних позначень, то ми позначаємо її через . Модель страхування базується на рівнянні

                                                   (2)

Випадкова величина - приклад випадкової величини, що описує страхові виплати.

Перший крок у аналізі  страхування життя полягає у  визначенні і . Наступний крок полягає у встановленні деяких характеристик ймовірнісного розподілу , що слідують з припущеного розподілу . Розглянемо кілька традиційних типів страхування.

В актуарній практиці прийнято страхову суму приймати за 1. Тоді обчислена  премія буде вказувати відносну долю, яку вона складає у страховій  сумі.

4.1 Страхування зі сталими виплатами

Страхування на випадок смерті на термін років передбачає виплати лише, якщо застрахований помирає протягом річного періоду з моменту видачі поліса. Якщо на випадок смерті виплачується одиниця, то

 

 

 

В цих рівняннях використовуються три твердження. По-перше, оскільки довжина життя невід ’ємна  величина, то , і визначені тільки на множині невід’ємних чисел. По-друге, для значення , при якому функція рівна нулю, значення не є суттєвим. Для таких ми задаємо значення з погляду зручності. По-третє, якщо не вказано протилежного, то інтенсивність нарахування відсотків припускається сталою величиною.

Математичне сподівання випадкової величини , що позначає теперішню вартість , називається актуарною теперішньою вартістю страхування позначаємо . Вік застрахованого на момент обчислення вказується в індексі. Актуарна теперішня вартість -річного страхування з виплатою 1 на випадок смерті , , позначається . Її можна обчислити, розглянувши як функцію від . Тоді використаємо розподіл , і отримаємо

                     (3)

-ий момент розподілуможна обчислити так

                         (4)

Другий інтеграл показує, що -ий момент дорівнює актуарній теперішній вартості - річного страхування з виплатою 1 на випадок смерті , обчисленій (виходячи з інтенсивності нарахування процентів, що рівна заданій інтенсивності нарахування процентів, домножена на ) з процентною ставкою , де -дана процентна ставка. Ця властивість називається правилом моментів. На додаток до існування моментів достатньою умовою для виконання правила моментів є відношення , для всіх , тобто для кожного величина виплати рівна 0 чи 1.З правила моментів слідує, що

                                 (5)

Де²- актуарна теперішня вартість - річного страхування з виплатою 1,обчисленій з процентною ставкою, рівною .

Пожиттєве страхування передбачає виплати на випадок смерті застрахованого в будь-який час в майбутньому. Якщо має виплачуватися 1 на випадок  смерті , то

,

 

 

 

Актуарна теперішня вартість

                              (6)

Для людини, що пройшла селекцію у віці , вік якої в даний момент дорівнює  
,актуарна теперішня вартість має вигляд

.                                            (7)

Пожиттєве страхування на випадок смерті являється граничним  випадком для страхування на випадок  смерті на термін років при .

4.2 Мішане страхування

- річне страхування на  дожиття передбачає виплату в  кінці - річного періоду лише в тому випадку, якщо застрахований прожив щонайменше - років з часу видачі йому полісу. Якщо сума виплат 1, то

 

 

 

Єдина невизначеність у страхуванні  полягає в тому, настане чи не настане страхова подія. Розмір і  час виплат, якщо страхова подія  настане, є визначеним. Актуарна теперішня  вартість такого страхування

                              (8)

                        (9)

- річне мішане страхування  передбачає виплату страхової  суми або після смерті застрахованого, або у випадку його дожиття  до кінця - річного періоду, залежно від того, що станеться швидше. Якщо страхова сума дорівнює 1, то маємо

 

 

 

Актуарна теперішня вартість позначається через . Оскільки для мішаного страхування , то

                             (10)

Це страхування можна  розглядати як комбінацію - річного страхування та - річного страхування на дожиття –в кожному випадку з страховою сумою 1. Нехай , , - випадкові величини , що означають теперішню вартість термінового страхового полісу, страхування на дожиття і мішаного страхування відповідно,в кожному з яких страхова виплата настає в момент смерті людини . Отже ми отримали, що

 

 

 

Звідси слідує, що

                                               (11)

Візьмемо математичне  сподівання з обох частин, і отримаємо

                                      (12)

За допомогою рівності (11) ми також можемо знайти :

                  (13)

Скориставшись формулою

                          (14)

І замітивши, що для всіх , ми отримаємо

                    (15)

Підстановка формул  (5), (9) і (15) в (13) призведе до формули для  в термінах актуарної теперішньої вартості для страхування на випадок смерті на термін років і для страхування на дожиття.

Оскільки актуарні теперішні вартості є додатні, то величина- від’ємна. Це можна було збагнути швидше, оскільки одна величина із пари завжди нульова, а друга додатня. З іншої сторони, коефіцієнт кореляції між випадковими величинами не є рівним -1, оскільки ці величини не зв’язані лінійною залежністю.

4.3 Відтерміноване страхування

-річне відтерміноване  страхування передбачає виплату  страхової суми або після смерті  застрахованого тільки в тому  випадку, коли застрахований помре  щонайменше через  років після видачі страхового поліса. Виплати і термін страхування можуть бути будь-яким з тих, які вже розглядалися. Наприклад для -річного відтермінованого по життєвого страхування з страховою сумою 1 ми маємо

 

 

 

Актуарна теперішня вартість такого страхування позначається через _m

_m                                       (16)

 

4.4 Страхування зі змінною сумою виплат

Загальну модель (1) можна  використати при аналізі страхування, за якого рівень виплат на випадок  смерті або зростає, або спадає за арифметичною прогресією протягом всього або частини періоду страхування. Такий страховий продукт часто  пропонується в якості додаткового  покриття, коли основний страховий договір забезпечує повернення періодично виплачуваних премій в момент смерті чи коли ануїтет містить гарантію того, що виплати будуть відповідати вказаній в ньому початковій премії. [6]

Пожиттєве страхування життя  зі щорічно зростаючими виплатами, яке передбачає виплату 1 у випадку  смерті застрахованого протягом першого  року, 2- у випадку смерті протягом 2-го року і т. д., характеризується наступними функціями

 

 

 

Де [ ] означає цілу частину числа.

Актуарна теперішня вартість такого страхування визначається наступним  чином

 

 

На відміну від страхування  з страховими виплатами , рівними 0 і 1, при відкорегованій інтенсивності нарахування відсотків, моменти вищого порядку не рівні актуарній теперішній вартості. Ці моменти можуть бути обчислені безпосередньо з допомогою їх визначень.

Збільшення страхової  виплати, про що сказано в страховому полісі, може відбуватися частіше або рідше, ніж один раз в рік. Для по життєвого страхування на випадок смерті зі страховою виплатою, що збільшується - раз в рік, виплати складають в момент смерті протягом першого з інтервалів, на які розбитий рік, в момент смерті протягом другого такого інтервалу і т. д., збільшуючись на   на кожному наступному інтервалі. Для такого страхування життя

 

 

 

Актуарна теперішня вартість це

 

Граничний випадок при  для по життєвого страхування на випадок смерті зі страховою виплатою, що збільшується  раз в рік, являється страхуванням з виплатою суми в момент смерті . Відповідні функції мають вигляд

 

 

 

В цьому випадку актуарна теперішня вартість позначається через .

Таке пожиттєве страхування на випадок смерті з неперервним збільшенням розміру виплат еквівалентне множині договорів по життєвого відтермінованого страхування на випадок смерті зі сталими виплатами. Ця еквівалентність показана графічно на малюнку 1, де область між прямою і віссю зображає страхові поліси протягом всього життя. Якщо об’єднати інфінітезимальні області (області «нескінченно малої»ширини) по вертикалі для фіксованого , то отримаємо виплату в момент  . Якщо об’єднати їх по горизонталі для фіксованого , то отримаємо пожиттєве страхування на випадок смерті, відтерміноване на років, при розмірі виплати .

Малюнок 1.

З цієї рівності випливає, що актуарні теперішні вартості для вказаних видів страхування рівні. Їх рівність може бути доведена також наступним чином.

За означенням

 

Інтерпретуючи  під знаком інтеграла як інтеграл від нуля до  на малюнку 1, ми маємо

.

Якщо змінити порядок  інтегрування і для кожного значення  про інтегруємо по від до , то згідно формулі (16) ми отримаємо,

.

Якщо за таким полісом  зі збільшенням розміру виплати  раз в рік виплата на випадок смерті відбувається тільки у випадку, коли смерть наступила не пізніше, ніж через років з моменту складання договору, то цей поліс називається полісом страхування на випадок смерті на термін років зі страховою виплатою, що збільшується разів у рік.[8]

Крім -річного страхування зі щорічно зростаючими виплатами є річне страхування зі щорічно спадними виплатами, яке передбачає виплату у випадку, якщо застрахований помре протягом першого року, у випадку смерті протягом другого року і т.д. Таке страхування характеризують наступні функції

 

 

 

Актуарна теперішня вартість цього страхування

 

 

Цей поліс є протилежним  до полісу страхування на випадок  смерті терміном на років з щоденно зростаючою виплатою в тому розумінні, що сума їх функцій виплат є постійною, і рівною для терміну років.

В додатку 1 наводиться узагальнення результатів нашого пункту

В першому стовпці міститься  назва страхового поліса, далі даються  функції виплат і дисконтування, які визначаються в термінах тривалості майбутнього життя застрахованого на момент укладання договору. Потім вказується функція теперішньої вартості , яка завжди отримується як композиція двох попередніх функцій. В п’ятому стовпці представлено позначення для актуарної теперішньої вартості, прийняте в Міжнародній системі актуарних позначень. Символ в останньому стовпці, в якому знаходиться посилання , вказує чи можна використовувати провило моментів для вирахування моментів вищих порядків.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Страхові виплати вкінці року смерті

В попередньому пункті розглянуті моделі для страхування життя  зі страховою виплатою на момент смерті. На практиці більшість премій розглядаються  як виплата на момент смерті і додатково  дохід від процентів до часу, поки здійснюється виплата. Моделі будувалися в термінах , майбутньої тривалості життя застрахованого з моменту видачі поліса[10]. Але у більшості випадків, найкраща інформація про розподіл , подана у формі дискретних таблиць тривалості життя. Це розподіл, усіченої майбутньої тривалості життя застрахованого з моменту видачі поліса, тобто це інформація про випадкову величину . Моделі страхування життя, в яких розмір і час виплат залежать тільки від кількості повних років, прожитих застрахованим, називають страхуванням з виплатою в кінці року смерті.