Тео́рия игр

Тео́рия игр — математический метод изучения оптимальных стратегий в играх. Под игрой понимается процесс, в котором участвуют две и более сторон, ведущих борьбу за реализацию своих интересов. Каждая из сторон имеет свою цель и использует некоторую стратегию, которая может вести к выигрышу или проигрышу — в зависимости от поведения других игроков. Теория игр помогает выбрать лучшие стратегии с учётом представлений о других участниках, их ресурсах и их возможных поступках.[1]

Теория игр — это  раздел прикладной математики, точнее — исследования операций. Чаще всего  методы теории игр находят применение в экономике, чуть реже в других общественных науках — социологии, политологии, психологии, этике, юриспруденции и  других. Начиная с 1970-х годов её взяли на вооружение биологи для исследования поведения животных и теории эволюции. Очень важное значение она имеет для искусственного интеллекта и кибернетики, особенно с проявлением интереса к интеллектуальным агентам.

Математическая теория игр  берёт своё начало из неоклассической  экономики. Впервые математические аспекты и приложения теории были изложены в классической книге 1944 года Джона фон Неймана и Оскара Моргенштерна «Теория игр и экономическое  поведение»

теория игр первоначально  и рассматривала экономические  модели, вплоть до 1950-х она оставалась формальной теорией в рамках математики. Но уже с 1950-х гг. начинаются попытки  применить методы теории игр не только в экономике, но в биологии, кибернетике, технике, антропологии. Во время Второй мировой войны и сразу после  нее теорией игр серьёзно заинтересовались военные, которые увидели в ней  мощный аппарат для исследования стратегических решений.

В 1960—1970 гг. интерес к теории игр угасает, несмотря на значительные математические результаты, полученные к тому времени. С середины 1980-х  гг. начинается активное практическое использование теории игр, особенно в экономике и менеджменте. За последние 20 — 30 лет значение теории игр и интерес значительно  растет, некоторые направления современной  экономической теории невозможно изложить без применения теории игр.

Игры представляют собой  строго определённые математические объекты. Игра образуется игроками, набором  стратегий для каждого игрока и указания выигрышей, или платежей, игроков для каждой комбинации стратегий. Большинство кооперативных игр описываются характеристической функцией, в то время как для остальных видов чаще используют нормальную или экстенсивную форму. Характеризующие признаки игры как математической модели ситуации:

1. наличие нескольких участников;
2. неопределенность поведения участников, связанная с наличием у каждого из них нескольких вариантов действий;
3. различие (несовпадение) интересов участников;
4. взаимосвязанность поведения участников, поскольку результат, получаемый каждым из них, зависит от поведения всех участников;
5. наличие правил поведения, известных всем участникам.

Игры в экстенсивной, или  расширенной, форме[5] представляются в  виде ориентированного дерева, где  каждая вершина соответствует ситуации выбора игроком своей стратегии. Каждому игроку сопоставлен целый уровень вершин. Платежи записываются внизу дерева, под каждой листовой вершиной.

На рисунке слева —  игра для двух игроков. Игрок 1 ходит  первым и выбирает стратегию F или U. Игрок 2 анализирует свою позицию  и решает — выбрать стратегию A или R. Скорее всего первый игрок выберет U, а второй — A (для каждого из них это оптимальные стратегии); тогда они получат соответственно 8 и 2 очка.

Экстенсивная форма очень  наглядна, с её помощью особенно удобно представлять игры с более  чем двумя игроками и игры с  последовательными ходами. Если же участники делают одновременные  ходы, то соответствующие вершины  либо соединяются пунктиром, либо обводятся  сплошной линией.

В нормальной, или стратегической, форме игра описывается платёжной  матрицей.[6] Каждая сторона (точнее, измерение) матрицы — это игрок, строки определяют стратегии первого игрока, а столбцы  — второго. На пересечении двух стратегий можно увидеть выигрыши, которые получат игроки. В примере справа, если игрок 1 выбирает первую стратегию, а второй игрок — вторую стратегию, то на пересечении мы видим (−1, −1), это значит, что в результате хода оба игрока потеряли по одному очку.

Игроки выбирали стратегии  с максимальным для себя результатом, но проиграли, из-за незнания хода другого  игрока. Обычно в нормальной форме  представляются игры, в которых ходы делаются одновременно, или хотя бы полагается, что все игроки не знают  о том, что делают другие участники

Теория игр, как один из подходов в прикладной математике, применяется для изучения поведения  человека и животных в различных  ситуациях. Первоначально теория игр  начала развиваться в рамках экономической  науки, позволив понять и объяснить  поведение экономических агентов  в различных ситуациях. Позднее  область применения теории игр была расширена на другие социальные науки; в настоящее время теория игр  используется для объяснения поведения  людей в политологии, социологии и психологии. Теоретико-игровой  анализ был впервые использован  для описания поведения животных Рональдом Фишером в 30-х годах XX века (хотя даже Чарльз Дарвин использовал  идеи теории игр без формального  обоснования). В работе Рональда Фишера не появляется термин «теория игр». Тем не менее, работа по существу выполнена  в русле теоретико-игрового анализа. Разработки, сделанные в экономике, были применены Джоном Майнардом Смитом в книге «Эволюция и теория игр». Теория игр используется не только для предсказания и объяснения поведения; были предприняты попытки использовать теорию игр для разработки теорий этичного или эталонного поведения. Экономисты и философы применяли теорию игр для лучшего понимания хорошего (достойного) поведения. Вообще говоря, первые теоретико-игровые аргументы, объясняющие правильное поведения, высказывались ещё Платоном.