Статистико-экономический анализ производительности труда

Уравнение гиперболы:

                                                  (44)

 

Система нормальных уравнений для гиперболы:

                                      (45)

Выровняем динамический ряд по гиперболе, опираясь на таблицу 12.

 

 

 

Таблица 12 – Вспомогательная таблица для нахождения уравнения гиперболы

Год	Производительность труда, тыс. руб.	t	t²	1/t	y*1/t	1/t2
2003	38,81	1	1	1	1	155,24	34,45
2004	46,50	2	4	0,5	0,25	46,50	57,99
2005	67,34	3	9	0,33	0,11	0	65,99
2006	70,62	4	16	0,25	0,06	70,62	69,76
2007	77,04	5	25	0,2	0,04	308,16	72,11
∑	300,31	15	55	2,28	1,46	580,52	300,3

 

Решение:

300,31=a₀*5+a₁*2,28

117,35=a₀*2,28+a₁*1,46

Из системы следует:

a₁=-47,08; a₀=81,53. Тогда уравнение гиперболы выглядит следующим образом:

 

За анализируемый промежуток времени производительность труда с 2002 г.  по 2007 г. постепенно увеличивается, как показано на рис.3 (см. ПРИЛОЖЕНИЕ 3)

 

 

 

 

3.3. Факторный анализ

 

Для оценки уровня интенсивности  использования трудовых ресурсов применяется система обобщающих, частных и вспомогательных показателей производительности труда.

 К обобщающим показателям  относятся:

- производство валовой  продукции сельскохозяйственного  назначения на среднегодового  работника, занятого в сельскохозяйственном  производстве;

- производство валовой  продукции на 1 чел.-день.;

- производство продукции  на 1 чел.-час., затраченного на производство  сельскохозяйственной продукции.

  Эти показатели  рассчитываются и анализируются  в целом по хозяйству, а также по растениеводству и животноводству.

Произведем факторный  анализ производительности труда (ПТ).

ПТ = Выручка (В) / Численность работников по организации (Ч)

1. Определим производительность  труда базисного периода (2003г.):

ПТ0 =В0 / Ч0 = 1863/48=38,81 тыс.руб.

2. Определим производительность  труда условную первую:

ПТусл.1= В1 / Ч0 =3621/48=75,44 тыс.руб.

3. Определим производительность  труда отчетного периода(2007г.):

ПТ1= В1 / Ч1 =3621/47=77,04 тыс.руб.

4. Определим общее  изменение производительности труда:

∆ПТобщ.= ПТ1 - ПТ0 =77,04- 38,81=38,23 тыс.руб.

а)  Определим ∆ПТ  за счет изменения выручки от продаж:

∆ПТвыр.= ПТусл.1- ПТ0=75,44-38,81=36,63 тыс.руб.

б) Определим ∆ПТ за счет изменения численности работников:

∆ПТчис.раб.= ПТ1- ПТусл.1=77,04 – 75,44=1,60 тыс.руб.

Проверка: ∆ПТвыр.+ ∆ПТчис.раб.= ∆ПТобщ.

                   36,63+1,60=38,23 тыс.руб.

                           38,23=38,23

Из данного анализа  следует, что при неизменной численности  работников, взятых за 2003 год и  выручке 2007 года, производительность труда составляла бы  75,44 тыс.руб., что на 36,63 тыс.руб. больше, чем в базисном году, и на столько же меньше, чем в отчетном году. Общее изменение производительности труда составило 38,23 тыс.руб. Изменение ПТ за счет изменения численности работников составило 1,60 тыс.руб.

 

4. Корреляционно-регрессионный анализ

 

Для анализа производства, экономических исследований все большее применение получают статистические методы анализа, среди которых большое значение занимает корреляционно-регрессионный анализ.

Корреляционная связь  – это неполная связь между  признаками, которые проявляются при большом числе колебаний. Методы корреляции могут быть применены к измерению связей между тремя и большим числом признаков – это множественная корреляция.

Уравнение однофакторной  линейной корреляционной связи имеет  вид:

                                                       (46)

          где   - корреляционное значение результативного признака, полученного по    уравнению регрессии;

         а₀,а₁ – коэффициент уравнения регрессии;

         а₀ – коэффициент корреляции, которая не имеет экономического смысла;

         а₁ – коэффициент парной линейной регрессии, которая показывает среднее изменение результата признака У при изменении факторного признака Х на единицу измерения.

 Для  того чтобы  найти коэффициенты уравнения  регрессии, необходимо решить систему линейных уравнений:

,                                   (47)

Таблица 13 - Исходные данные для корреляционного анализа

Год	Производительность труда, тыс. руб. (у)	Заработная плата, тыс. руб. (х)
2003	38,81	18,81
2004	46,50	18,81
2005	67,34	26,79
2006	70,62	34,49
2007	77,04	38,87

 

Таблица 14 - Вспомогательная  таблица для корреляционного  анализа

Год, n	x	x2	y	y2	y*x
2003	18,81	353,82	38,81	1506,22	730,02	45,12
2004	18,81	353,82	46,50	2162,25	874,67	45,12
2005	26,79	717,70	67,34	4534,68	1804,04	58,76
2006	34,49	1189,56	70,62	4987,18	2435,68	71,93
2007	38,87	4510,88	77,04	5935,16	2994,54	79,42
Итого	137,77	4125,78	300,31	19125,49	8838,95	300,35
Среднее значение	27,55		60,06		1767,79

 

 Решим систему линейных уравнений, подставив данные из таблицы 14 в формулу 47.

n*a₀ + a₁ * ∑x=∑y

a₀*∑x+a₁*∑x²= ∑y*x

5a₀+137,77a₁=300,31

137,77a₀+4125,78a₁=8838,95

5а₀+137,77а₁=300,31

а₀+27,554а₁=60,062

а₀=60,062-27,554а₁

137,77*(60,062-27,554а₁)+ 4125,78a₁=8838,95

8274,742-3796,115a₁ +4125,78a₁=8838,95

                                        329,67a₁=564,208

                                                   a₁=1,71

а₀=60,062-27,554*1,71

а₀=60,062-47,117

а₀=12,95

ỹ=12,95+1,71х

Значимость коэффициентов  в простой линейной регрессии, совокупность которых менее 30 единиц, осуществляется с помощью t критериев Стьюдента.

             Расчетные значения t-критерия параметра для а₀ и a₁ определяются по следующим формулам:

1. для параметра a₀:

 

ta0 =                                                               (48)

σост.=                                                        (49)

2. для параметра а₁:

 

ta1=‌‌‌‌‌‌‌‌                                                        (50)

σx=                                                          (51)

 

Вычисленные значения сравниваются с критическими значениями t, которые определяются по таблице Стьюдента с учетом уровня значимости α и числом степеней свободы – вариации.

v=n-2                                                                    (52)

Обычно в социально-экономических  исследованиях уровень значимости α принимают равной 0,05.

Параметр признается значимым при условии, если tрасч.> tтаб.

Проведем расчеты по формулам (48-51):

σост.= =√((38,81-45,12)²+(46,50-45,12)²+(67,34-58,76)²+(70,62-71,93)²+(77,04-79,42)²)/5=4,95

 ta0 =‌‌‌‌ =12,95*√5-2 / 4,95=4,53

σx= =√((18,81-27,55)²+( 18,81-27,55)²+(26,79-27,55)²+(34,49-27,55)²+(38,87-27,55)²)/5=8,12

ta1=‌‌‌‌‌‌‌‌ =1,71*√5-2 / 4,53*8,12=5,31

Проверка адекватности также может быть проведена корреляционным анализом. Для этого необходимо определить тесноту корреляционной связи между параметрами x и y.

Для этого рассчитывается эмпирическое корреляционное отношение:

η=                                                          (53)

Подкоренное выражение  корреляционного отношения представляет собой коэффициент детерминации, рассчитаем его:

η=√((45,12-60,06)²+(45,12-60,06)²+(58,76-60,06)²+(71,93-60,06)²+(79,42-60,06)²)/((38,81-60,06)²+(46,50-60,06)²+(67,34-60,06)²+(70,62-60,06)²+(77,04-60,06)²)=√0,89=0,94

Доля вариации результативного  признака под влиянием факторного составила 0,94.

Кроме того при линейной форме уравнения можно рассчитать линейный коэффициент корреляции, при помощи которого  оценивают тесноту или силу связи между признаками:

                                        (54)

               Если r_xy=±1, то между признаками Х и У существует линейная зависимость.

               Если 0,7<| r_xy |<1, то говорят, что между признаками Х и У существует тесная зависимость.

              Если 0,3<| r_xy |<0,7 – между признаками Х и У существует средняя степень зависимости.

              Если | r_xy |<0,3 – то говорят об очень слабой зависимости.

               Если r_xy=0, то это может означать, что между признаками нет никакой зависимости, или может существовать нелинейная зависимость.

               Если r_xy>0 говорят, что между признаками Х и У в этом случае прямая зависимость, т.е. с увеличением значений Х, значения У также возрастают.

              Если r_xy <0 – это значит, что между признаками Х и У обратная зависимость, т.е. с увеличением Х Значения У уменьшаются.

Коэффициент корреляции равен 0,94, следовательно, между производительностью труда и заработной платой существует тесная взаимосвязь, т.е. при увеличении заработной платы  увеличится производительность труда.  Следует отметить, что производительность труда с каждым годом увеличивается, что является положительным показателем для предприятия.

Можно рассчитать линейный коэффициент детерминации:

                                                  (55)

Он характеризует на сколько процентов зависит результативный признак от факторного:

=0,8836*100%=88,36%

Производительность труда  зависит от заработной платы на 88,36%

Для оценки значимости коэффициента корреляции используют t-критерий Стьюдента при линейной однофакторной связи t-критерий можно рассчитать: