Статистические величины и показатели вариации

Введение

Учебная дисциплина «Статистика» является обязательным компонентом  в подготовке дипломированных специалистов по экономическим специальностям. Основное назначение данной дисциплины состоит  в повышении экономико-математической подготовки студентов в области  современных методов сбора, обработки  и анализа статистической информации, достижении высокого и устойчивого  уровня профессионализма. Современный  специалист должен обладать глубокими  знаниями, уметь проводить количественный анализ сложных экономических проблем, применять математические расчеты  в решении экономических задач. Поэтому изучение данной дисциплины поможет сформировать у студентов  целостный взгляд на место и роль статистической науки в современной  экономике.

Тема 1. Статистические величины и показатели вариации.

Абсолютная величина: сущность, виды и единицы измерения. Классификация  относительных величин, способы  их расчета.

Средняя величина как обобщающий показатель. Виды и принципы применения средних величин. Классификация  средних величин: степенные и  структурные; простые и взвешенные; пространственные и временные. Виды степенных средних – простые  и взвешенные; арифметическая, гармоническая, геометрическая. Правило мажорантности  этих средних.

Свойства степенных средних  величин. Математические свойства средней  арифметической. Расчет средней в  интервальных рядах и методом  условного нуля. Групповые средние. Расчет средней для совокупности на основе групповых средних.

Структурные средние величины: мода и медиана. Способы расчета  для интервальных статистических совокупностей.

Причины и необходимость  изучения вариации. Абсолютные и относительные  показатели вариации: размах вариации; среднее линейное и квадратическое отклонение; коэффициенты осцилляции, относительного линейного отклонения, вариации.

Понятие о дисперсии. Математические свойства дисперсии. Общая, внутригрупповая  и межгрупповая дисперсии. Расчет общей  дисперсии четырьмя методами: методом  прямого счета (по определяющей формуле); методом условного нуля; методом  средних величин (разность между  средним квадратом и квадратом  средней); по правилу сложения внутригрупповой  и межгрупповой дисперсий.

Тема 2. Ряды динамики.

Сущность ряда динамики, его элементы и правила построения. Показатели анализа рядов динамики: абсолютный прирост, темпы роста  и прироста, абсолютное значение одного процента прироста. Средние показатели ряда динамики. Графическое изображение  рядов динамики.

Сопоставимость в рядах  динамики. Причины несопоставимости. Преобразование рядов в сопоставимый вид. Смыкание рядов динамики при  территориальных изменениях.

Понятие об общей тенденции  развития ряда, ее значение и методы выявления. Метод укрупнения временных  периодов. Метод усреднения краткосрочных  отрезков за ряд лет (временных периодов), метод скользящей средней. Метод  аналитического выравнивания по способу  наименьших квадратов. Метод экстраполяции. Индекс сезонности.

Тема  3. Индексы.

Экономическая сущность индексов и сферы их применения. Классификация  индексов. Агрегатный индекс как основная форма индексов. Индексный метод. Типовые экономические задачи с  применением статистических индексов.

Двухфакторный индексный  анализ. Мультипликативная (алгебраическая) связь индексов и аддитивная (арифметическая) связь приростов, полученных за счет переменных индексных факторов.

Средние индексы. Индексы  переменного, постоянного составов и структурных сдвигов: методика расчетов и экономический смысл. Трехфакторный индексный анализ сложных явлений.

Территориальные индексы: принципы построения и сфера применения.

 

Тема 4 .Статистическое изучение взаимосвязей.

Основные понятия корреляционно-регрессионного анализа. Парная корреляция. Расчет линейного  коэффициента корреляции. Эмпирическое корреляционное отношение. Множественная  корреляция. Коэффициент множественной  корреляции и коэффициент детерминации. Непараметрические методы оценки связи.

Однофакторный регрессионный  анализ. Нахождение теоретической формы  связи. Выравнивание по прямой. Коэффициент  эластичности. Нелинейные зависимости.

Многофакторный корреляционно-регрессионный  анализ. Парные и частные коэффициенты корреляции. Применение корреляционно-регрессионного анализа в прогнозировании социально-экономических  процессов.

Тема 1. Средние величины и показатели вариации

 

Задача 1. Имеются следующие данные о возрастном составе студентов группы заочного отделения ВУЗа (лет): 19; 19; 19; 20; 20; 20; 20; 21; 21; 23; 23; 25; 26; 26; 26; 27; 27; 28; 28; 30.

Для анализа распределения  студентов по возрасту требуется: 1) построить интервальный ряд распределения  и его график; 2) рассчитать модальный, медианный и средний возраст, установить его типичность с помощью  коэффициентов вариации; 3) проверить  распределение на нормальность с  помощью коэффициентов асимметрии и эксцесса.

Решение. Для построения интервального ряда из дискретного  используется формула Стерджесса, с  помощью которой определяется оптимальное  количество интервалов (n):

n = 1 +3,322 lg N,                                                  (1)

где N – число величин в дискретном ряде.

n = 1 + 3,322lg20 = 1 + 3,322*1,301 = 5,32. Так как число интервалов не может быть дробным, то округлим его до ближайшего целого числа, т.е. до 5.

После определения оптимального количества интервалов определяем размах интервала по формуле:

   h = H / n,                                                         (2)

где H – размах вариации, определяемый по формуле (3):

H = Х_мах –Х_min,                                                (3)

где X_мax и X_min — максимальное и минимальное значения в совокупности.

В нашей задаче h = (30 – 19)/5 = 2,2.

Интервальная группировка данных приведена в первом столбце таблицы 1, которая содержит также алгоритм и промежуточные расчеты.

Таблица 1. Вспомогательные расчеты для решения задачи

 

Xi , лет	fi	Хi	Xifi	Хi-		(Хi- )2	(Хi- )2fi	(Хi- )3 fi	(Хi- )4 fi
до 21,2	9	20,1	180,9	-3,41	30,69	11,628	104,652	-356,863	1216,902
21,2-23,4	2	22,3	44,6	-1,21	2,42	1,4641	2,9282	-3,543	4,287
23,4-25,6	1	24,5	24,5	0,99	0,99	0,9801	0,9801	0,970	0,9603
25,6-27,8	5	26,7	133,5	3,19	15,95	10,1761	50,8805	162,308	517,762
27,8-30	3	28,9	86,7	5,39	16,17	20,0521	87,1563	469,772	2532,071
Итого	20		470,2		66,22		246,5971	272,644	4271,982

 

 

 

На основе этой группировки строится график распределения возраста студентов (рис.1).

 

Рис.1. График распределения возраста студентов.

 

Мода – это наиболее часто повторяющееся значение признака. Для интервального ряда с равными интервалами величина моды определяется по формуле:

                              (4)

 

где – нижнее значение модального интервала; – величина модального интервала; – частоты в модальном, предыдущем и следующем за модальным интервалом соответственно.

В нашей задаче чаще всего повторяется (9 раз) первый интервал возраста (до 21,2), значит, это и есть модальный интервал. Используя формулу (4), определяем точное значение модального возраста:

Мо = 19 + 2,2*(9-0)/(9-0)+(9-2) = 20,23 ≈ 20 (лет).

Медиана – варианта, которая находится в середине вариационного ряда.

Делит ряд на две равные (по числу единиц) части – со значениями признака меньше медианы и со значениями признака больше медианы.

Вычисляется медиана по формуле:

                                      (5)

где - нижняя граница медианного интервала;

– медианный интервал;

 –  половина от общего числа наблюдений;

 – сумма наблюдений, накопленная до начала медианного интервала;

- число наблюдений или  объем взвешивающего признака  в медианном интервале;

В нашей задаче второй интервал возраста (от 21,2 до 23,4) является медианным, так как на него приходится середина ряда распределения возраста. Используя формулу (5), определяем точное значение медианного возраста:

Ме = 21,2 + 2,2*(10-9)/2 = 22,3 (года).

Средняя величина – это обобщающий показатель совокупности, характеризующий уровень изучаемого явления или процесса. Средние величины могут быть простыми и взвешенными. Простая средняя рассчитывается при наличии двух и более статистических величин, расположенных в произвольном (несгруппированном) порядке, по общей формуле (6). Взвешенная средняя величина рассчитывается по сгруппированным статистическим величинам с использованием общей формулы (7).

= ;              (6)                            = ;                                (7)

При этом обозначено: X_i – значения отдельных статистических величин или середин группировочных интервалов; m - показатель степени, от значения которого зависят виды средних величин. Используя формулы (6) и (7) при разных показателях степени m, получаем частные формулы каждого вида (см. таблицу 2).

Таблица 2.

m	Название средней	Формула расчета средней		Когда применяется
		простая	взвешенная
1	Арифметическая	=            (8)	=              (9)	Чаще всего, кроме  тех случаев, когда должны применяться  другие виды средних
–1	Гармоническая	ГМ =        (10)	ГМ =              (11)	Для осреднения величин  с дробной размерностью при наличии  дополнительных данных по числителю  дробной размерности
0	Геометрическая	(12)	(13)	Для осреднения цепных индексов динамики
2	Квадратическая	=        (14)	=          (15)	Для осреднения вариации признака (расчет средних отклонений)
3	Кубическая	=       (16)	=        (17)	Для расчета индексов нищеты населения
1	Хронологическая	(18)	(19)	Для осреднения моментных статистических величин

Выбор вида формулы средней  величины зависит от содержания осредняемого признака и конкретных данных, по которым  ее приходится вычислять. Показатель степени m в общей формуле средней величины оказывает существенное влияние на значение средней величины: по мере увеличения степени возрастает и средняя величина (правило мажорантности средних величин), то есть < < < < . Так, если , то , а если , то .

В нашей задаче, применяя формулу (9) и подставляя вместо середины интервалов возраста Х_i, определяем средний возраст студентов:

= =470,2/20 = 23,51 (года). Теперь осталось определить типичность или нетипичность найденной средней величины. Это осуществляется с помощью расчета показателей вариации. Чем ближе они к нулю, тем типичнее найденная средняя величина для изучаемой статистической совокупности. При этом критериальным значением коэффициента вариации служит 1/3.

Коэффициенты вариации рассчитываются как отношение среднего отклонения к средней величине. Поскольку  среднее отклонение может определяться линейным и квадратическим способами, то соответствующими могут быть и  коэффициенты вариации.