Статистическая обработка результатов измерений

 

 

 

 

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине

 «статистическая обработка  результатов измерений»

 

 

 

 

 

Выполнила:

 Иванова Ивана Ивановна

 

 

 

 

Руководитель:

__________________

__________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Санкт-Петербург

2009г

 

Содержание

 

1. Введение………………………………………………………………………………..3
2. Вычисление основной выборной характеристики по заданной выборке………….4
3. Результаты ранжирования выборных данных и вычисление моды и медианы……………………………………………………………………………..….9
4. Результаты вычислений интервальных оценок для математического ожидания и дисперсий……………………………………………………………………………...10
5. Параметрическая оценка функции плотности распределения…………………….12
6. Расчёт теоретических частот с помощью функции Лапласа.…...……....…………15
7. Проверка гипотезы о нормальности распределения случайной величины по критерию Пирсона…………………………………………………………………....16
8. Список литературы…………………………………………………………………...17

 

Введение

 

Математическая статистика позволяет получать обоснованные выводы о параметрах или виде закона распределения случайных величин по совокупности наблюдения за ними.

Перед нами ставится задача – изучить случайную величину Х, закон распределения которой  неизвестен или для которой закон  распределения известен, но неизвестны параметры этого закона.

 

Вычисление основной выборной характеристики по заданной выборке

 

Выборка
1	7,73
2	7,67
3	8,27
4	7,22
5	7,89
6	9,75
7	9,66
8	8,02
9	8,31
10	7,4
11	8,83
12	9,34
13	8,45
14	7,12
15	7,63
16	8,83
17	9,29
18	6,5
19	7,58
20	6,95
21	8,25
22	9,25
23	8,46
24	9,52
25	9,63
26	7,29
27	8,9
28	9,78
29	8,6
30	8,8
31	6,96
32	6,64
33	8,46
34	8,89
35	9,03
36	7,84
37	6,28
38	7,32
39	8,39
40	8,27
41	6,49
42	8,71
43	9,02
44	7,7
45	9,64
46	8,07
47	6,25
48	6,21
49	6,9
50	6,09
51	9,36
52	8,45
53	7,51
54	8,3
55	8,26
56	8,66
57	6,55
58	7,16
59	9,08
60	7,06
Ранжированный ряд
1	6,09
2	6,21
3	6,25
4	6,28
5	6,49
6	6,5
7	6,55
8	6,64
9	6,9
10	6,95
11	6,96
12	7,06
13	7,12
14	7,16
15	7,22
16	7,29
17	7,32
18	7,4
19	7,51
20	7,58
21	7,63
22	7,67
23	7,7
24	7,73
25	7,84
26	7,89
27	8,02
28	8,07
29	8,25
30	8,26
31	8,27
32	8,27
33	8,3
34	8,31
35	8,39
36	8,45
37	8,45
38	8,46
39	8,46
40	8,6
41	8,66
42	8,71
43	8,8
44	8,83
45	8,83
46	8,89
47	8,9
48	9,02
49	9,03
50	9,08
51	9,25
52	9,29
53	9,34
54	9,36
55	9,52
56	9,63
57	9,64
58	9,66
59	9,75
60	9,78

 

Для определения оптимальной  длины частичного интервала h, т.е. такого, при котором построенный интервальный вариационный ряд не был бы слишком громоздким и в то же время позволял бы надёжно выявить закономерности изменения случайной величины X по выборке, воспользуемся формулой Стерджеса:

           Xmax - Xmin

h =     —————————

          1 + 3,322lgN

где Xmax и Xmin – соответственно максимальное и минимальное значение выборки. Если h оказалось дробным числом, его округляют для удобства и простоты вычислений:

h = 0,534239 округляем до h = 0,5

За начало первого  интервала принимается величина X₀ = Xmin – h/2

Начало второго интервала  совпадет с концом первого и равно X₁ = X₀ – h/2

Начало третьего интервала  совпадет с концом второго и равно X₂ = X₁ – h/2

Построение интервалов продолжается до тех пор, пока начало следующего по порядку интервала не будет больше Xmax

X₀ = 5,84 округляем до X₀ = 6

Вычислим границы всех интервалов:

X₀ = 6

X₁ = 6,5

X₂ = 7

X₃ = 7,5

X₄ = 8

X₅ = 8,5

X₆ = 9

X₇ = 9,5

X₈ =10

В результате получаем последовательность прилегающих полуинтервалов:

[ 6; 6,5), [ 6,5; 7), [ 7; 7,5), [ 7,5; 8), [ 8; 8,5), [ 8,5; 9), [ 9; 9,5), [ 9,5; 10)

После того, как частичные  интервалы выбраны, определяют частоты  – количество элементов n_i, элементов выборки, попавших в i-й интервал:

X_i-1 ≤ X_i* < X_i

X_i-1 и X_i – границы i-того интервала

X_i* - значение вариационного ряда

Результат вычислений запишем  в таблицу:

Таблица 1

h	[6; 6,5)	[6,5; 7)	[7; 7,5)	[7,5; 8)	[8; 8,5)	[8,5; 9)	[9; 9,5)	[9,5; 10)
Xiср = (Xi-1 + Xi)/2	6,25	6,75	7,25	7,75	8,25	8,75	9,25	9,75
ni	5	6	7	8	13	8	7	6
Wi = ni / N	1/12	1/10	7/60	2/15	13/60	2/15	7/60	1/10
Ф(Xiср)=Wi / h	0,1667	0,2000	0,2333	0,2667	0,4333	0,2667	0,2333	0,2000

Основные выборочные характеристики

Среднее арифметическое случайной величины X:

           ∑X_i

  Хср = —————

            N

Хср = 8,0745

Среднее линейное отклонение:

      ∑ |Xi - Xср|

d = ———————

     N

 

d = 0,868533

 

Дисперсия случайной величины X:

                          ∑ ((X_i - X_ср)²)

D[X] = σ^2=  ———————

                         N

D[X] = 1,045465

 

Несмещённая оценка дисперсии:

                           ∑ ((Xi - Xср)²)

~D[X]= ~σ^2=  ———————

                   N-1

~D[X]= 1,063184

Среднее квадратическое отклонение:

√∑ ((Xi - Xср)²)

σ =   ———————  = √D[X]

N

σ= 1,031108

Несмещённая выборочная оценка для среднего квадратического  отклонения:

 

√∑ ((Xi - Xср)²)

~σ =   ————————— = √~D[X]

N-1

~σ= 1,031

Коэффициент вариации

~σ

V =  ———  *100%

Xср 

V = 12,77%

 

 

Коэффициент ассиметрии случайной величины Х:

    ∑ ((Xi - Xср)³)

As = —————————

 N * ~σ³

As = -0,185636

Коэффициент эксцесса случайной величины Х:

     ∑ ((Xi - Xср)⁴)

Ex = ————————— - 3

 N * ~σ⁴

Ex = -1,02867

Вариационный  размах:

R = Xmax – Xmin

R = 3,690

 

 

Результаты ранжирования выборных данных и вычисление моды и медианы

Оценкой медианы ~Me называют число, которое делит вариационный ряд на две части, содержащее равное число элементов. Если объём выборки N – нечётное число (т.е. N = 2k+1), то ~Me = Х_k+1 т.е. является элементом вариационного ряда со средним номером. Если же N = 2k, т.е. число элементов выборки чётное, то ~Me = ½( Х_k + Х_k+1).

т.к. N=2k, k=N/2=60/2=30

Х30 = 8,260

Х31 = 8,260

~Me = ½( Х_k + Х_k+1) = ½ (8,260+8,260) = 8,265

Сравнение оценок медианы ~Me = 8,265 и математического ожидания               Хср = 8,0745 показывает, что они отличаются на десятые доли процента.

Оценкой моды вариационного  ряда является элемент выборки X_i = ~Mo, встречающийся с наибольшей частотой:

Таблица 2

h	[6; 6,5)	[6,5; 7)	[7; 7,5)	[7,5; 8)	[8; 8,5)	[8,5; 9)	[9; 9,5)	[9,5; 10)
Xiср = (Xi-1 + Xi)/2	6,25	6,75	7,25	7,75	8,25	8,75	9,25	9,75
ni	5	6	7	8	13	8	7	6

По результатам вычислений, представленных в таблице, можно  сделать вывод, что мода имеет  единственное значение – локальный  максимум в точке X = 8,25 с частотой n = 13.

 

Результаты вычислений интервальных оценок для математического  ожидания и дисперсий

Интервальная оценка математического  ожидания

~σ                                     ~σ

Xср - t_{N-1; p} * —— < а < Xср + t_{N-1; p} * ——

√N                                     √N

Хср = 8,0745

~σ= 1,031

Зададимся доверительной  вероятностью:

Р₁ = 0,95, Р₂ =0,99, Р₃ = 0,999

Для каждого значения по таблице «Значения t_pv критерия Стьюдента» находим значения t_{59; pi}  и вычисляем три варианта интервальных оценок для математического ожидания:

Р₁ = 0,95              t _{59; 0,95} = 2,000995

7,808136 < а < 8,340864

Р₂ =0,99          t _{59; 0,99}= 2,661759

 

7,720179 < а < 8,428821

 

Р₃ = 0,999        t _{59; 0,999}= 3,46321

 

7,613493 < а < 8,535507

   

Интервальная оценка дисперсии

(N-1) * ~σ²                (N-1) * ~σ²

————— <σ²≤ —————

X²_{(N-1); (1-P) / 2}              X²_{(N-1); (1+P) / 2}

 

Зададимся доверительной  вероятностью:

Р₁ = 0,95, Р₂ =0,99, Р₃ = 0,999

Для каждого значения P_i вычисляем значения (1-P)/2 и (1-P)/2.   Используя эти два значения и степень свободы v = N-1, по таблице «Пределы X² в зависимости от числа v» находим:

Р₁ = 0,95                Х² _{59; 0,25} = 82,11741

 Х² _{59; 0,975} = 39,66186

 

0,874003 < σ < 1,257604

 

 

Р₂ = 0,99                   Х² _{59; 0,005} = 90,71529

 Х² _{59; 0,995} = 34,77043

 

0,831553 < σ < 1,343152

 

 

Р₃ = 0,999                   Х² _{59; 0,0005} = 101,3937

Х² _{59; 0,999} = 29,64037

 

0,786547 < σ < 1,45475

 

 

 

 

 

Параметрическая оценка функции плотности распределения

Представим вычисление теоретических вероятностей и частот по заданному интервальному вариационному ряду, для которого вычислены Xср и σ, в виде таблицы:

Таблица 3

Xi-1	Xi		Xiср=(Xi-1+Xi)/2			ni	Zi	φ(xi)	Piтеор	niтеор	≈niтеор
6	6,5		6,25			5	-1,76946	0,080858	0,040429	2,42574530	2
6,5	7		6,75			6	-1,28454	0,169552	0,084776	5,0865661	5
7	7,5		7,25			7	-0,79962	0,281036	0,140518	8,43107670	8
7,5	8		7,75			8	-0,31471	0,368213	0,184106	11,0463866	11
8	8,5		8,25			13	0,170205	0,381342	0,190671	11,4402704	11
8,5	9		8,75			8	0,65512	0,312183	0,156092	9,36550486	9
9	9,5		9,25			7	1,140035	0,202015	0,101008	6,0604510	6
9,5	10		9,75			6	1,62495	0,103332	0,051666	3,09997047	3
0,949266		56,9559715