Лабораторная работа по "Статистике"

Министерство образования и науки Российской Федерации

ФГБУ ВПО

Уфимский  государственный авиационный технический университет

 

 

 

Кафедра Экономики 

предпринимательства

 

 

 

 

 

Лабораторная  работа №2

по дисциплине

Статистика

 

 

 

 

Выполнил:

      (ФИО)             

Проверил:

 

 

 

 

 

 

Уфа 2012

 

 

 

 

 

 

 

Цель работы: рассчитать парную регрессию  и  корреляцию, используя исходные данные.

 

Практические указания:

1. Построить линейное уравнение парной регрессии у по х.
2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции, коэффициент детерминации и среднюю ошибку аппроксимации.
3. Оценить статистическую значимость уравнения регрессии в целом и отдельных параметров регрессии и корреляции с помощью

      F - критерия Фишера и l – критерия Стьюдента.

4. Выполнить прогноз заработной платы у при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума х, составляющим 107% от  среднего уровня.
5. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.
6. На одном графике отложить исходные данные и теоретическую прямую.

 

Исходные данные:

 

Номер региона	Среднедушевой прожиточный  минимум в день одного трудоспособного, руб, х	Среднедневная заработная плата, руб, у
1	67	139
2	73	152
3	76	159
4	78	133
5	79	154
6	82	148
7	87	134
8	87	162
9	88	158
10	89	162
11	106	195
12	115	173

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Построить линейное уравнение парной регрессии у по х.

 

Уравнение линейной регрессии : у=а+bх+

 

_{Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров.}

 

_{Воспользуемся формулами:}

 

_,

,

b	0,920430553
a	76,9764852

 

где = - ковариация признаков х и у, = -дисперсия признака  x и

 

 

 

     Ковариация - числовая  характеристика совместного распределения  двух случайных величин, равная  мат. ожиданию произведения отклонений  этих случайных величин от  их математического отклонения.

 

 

 

 

 

 

Рассчитанные значения

 

ху	х^2	У^2	Xсред	Усред	ХУсред	Х^2сред	cov(х,у)
10374	6084	17689	85,58333	155,75	13484	7492,25	154,3958
12136	6724	21904				Y^2сред
11658	7569	17956				24531,42
12166	6241	23716
14418	7921	26244
20670	11236	38025
9313	4489	19321
13904	7744	24964
11096	5329	23104
14094	7569	26244
12084	5776	25281
19895	13225	29929
161808	89907	294377

 

 

2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции, коэффициент детерминации и среднюю ошибку аппроксимации.

 

Тесноту связи  изучаемых явлений оценивает  линейный коэффициент парной корреляции для линейной регрессии (-1≤ ≤1)

Линейный коэффициент парной корреляции

=0,721025

Если Rxy > 0,7 - связь между изучаемыми показателями сильная, можно проводить анализ линейной модели

Если 0,3 < Rxy < 0,7 - связь между показателями умеренная, можно использовать нелинейную модель при отсутствии Rxy > 0,7

Если Rxy < 0,3 - связь слабая, модель строить нельзя 

 

Следовательно связь между изучаемыми показателями сильная.

 

Дисперсия  - характеристика случайной величины, определяемая как мат. ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Мат. ожидание  - сумма произведения значений случайной величины на соответствующие вероятности.

- общая дисперсия результативного  признака у. 

аналогично для х.

                                                                              

 

дисперсия

167,7430556

273,3541667

 

Оценку качества построенной модели даст коэффициент детерминации

	Коэф.детерминации
	0,519877

 

Средняя ошибка аппроксимации  -  среднее отклонение расчетных значений от фактических

 

Допустимая ошибка аппроксимации  не должна превышать 10%

 

	Средняя ошибка аппроксимации     5,752052

3. Оценить статистическую значимость уравнения регрессии в целом и отдельных параметров регрессии и корреляции с помощью

      F - критерия Фишера и l – критерия Стьюдента.

Проводим  оценку значимости как линейного  уравнения регрессии в целом, так и отдельных его параметров.

Проверить значимость уравнения регрессии  - значит установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными, экспериментальным данным и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих  переменных (одной или нескольких) для описания зависимой переменной.

Оценка значимости уравнения  регрессии в целом производится на основе F-критерия Фишера, которому предшествует дисперсионный анализ. В математической  статистике  дисперсионный  анализ  рассматривается  как самостоятельный  инструмент  статистического  анализа. В эконометрике он применяется как вспомогательное средство для изучения  качества регрессионной модели. Согласно основной идее дисперсионного анализа, общая сумма квадратов  отклонений  переменной (y) от среднего значения  (y_ср.)  раскладывается на две части – «объясненную»и «необъясненную»:

где - общая сумма квадратов отклонений,

  - сумма квадратов отклонений, объясненная регрессией (или факторная сумма квадратов отклонений), - остаточная сумма квадратов отклонений, характеризующая влияние изученных в модели факторов.

Вычисления:

 

теорет.значение у
148,7701
152,4518
157,0539
149,6905
158,8948
174,5421
138,6453
157,9744
144,1679
157,0539
146,9292
Сумма 182,826
(У-Теор.знач)/У	(Теор.знач-Усред)^2				(y-Усред)^2	(у-теор зн)^2
0,118571942	48,71944641				517,5625	248,6950545
0,030079666	10,87818578				60,0625	19,81843883
0,172044353	1,700268085				473,0625	531,4843009
0,027983774	36,71755405				3,0625	18,57180006
0,019167874	9,889794641				39,0625	9,642239787
0,104912186	353,1439163				1540,5625	418,5246993
0,002551567	292,5696595				280,5625	0,125789228
0,000162191	4,947838961				5,0625	0,0006567
0,051526871	134,1446803				14,0625	61,3415469
0,030531214	1,700268085				39,0625	24,46347705
0,075916936	77,80638556				10,5625	145,7040387
0,056797681	733,1097087				297,5625	96,55025159
Сумма0,690246254	1705,327706				3280,25	1574,922294

 

Вычисленная дисперсия на одну степень свободы:

S^2факт
1705,328
S^2общ
298,2045
S^2ост
157,4922

Определение  дисперсии  на  одну  степень  свободы  приводит  дисперсии к  сравнимому  виду.  Сопоставляя  факторную  и  остаточную  дисперсии  в расчете на одну степень свободы, получим величину  F-критерия Фишера. Фактическое  значение  F -критерия  Фишера  сравнивается  с табличным значением F_табл. (α, k₁, k₂)  при заданном уровне значимости α и степенях свободы k₁= m и k₂=n-m-1.  При  этом,  если  фактическое  значение  F-критерия  больше  табличного F_факт > F_теор, то  признается статистическая  значимость уравнения в целом. Для парной линейной регрессии m=1 , поэтому:

Эта формула в общем виде может  выглядеть так:

Величина критерия Фишера тесно связана с коэффициентов  детерминации, чтобы определить, при  каких значениях R² уравнение регрессии следует считать статистически не значимым, что, в свою очередь, делает необоснованным его использование в анализе, рассчитывается F-критерий Фишера: F_факт > F_теор - делаем вывод о статистической значимостиуравнения регрессии. Величина F-критерия связана с коэффициентом детерминации R²_xy (r²_xy) и ее можно рассчитать по следующей формуле:

Вычисления: 10,82801  - критерий Фишера

 

F-критерий Фишера

10,82801173

Табличный

4,96

Оценка статистической значимости параметров регрессии с помощью t-статистики Стьюдента

Для оценки статистической значимости параметров регрессии и корреляции рассчитываются t – критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Оценка значимости коэффициента регрессии и корреляции с помощью t- критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки.

Mb

0,279715587

Ma

24,21156138

Mr(xy)

0,21911701

Определим стандартные ошибки: