Курсовая работа по "Математической статистике"

 

 

 

Границы интервалов	Частота ni	Частность ni/n=Pi	Плотность относительных частот Pi/h	Накопительная частота niнак	Накопительная частность Pi нак = niнак/n
-75.417;-51.244	1	0.01	0.0004	1	0.01
-51.244;-27.071	6	0.06	0.0025	7	0.07
-27.244;-2.898	6	0.06	0.0025	13	0.13
-2.898;21.275	20	0.20	0.0083	33	0.33
21.275;45.448	28	0.28	0.0116	61	0.61
45.448;69.621	21	0.21	0.0087	82	0.82
69.621;93.794	10	0.10	0.0041	92	0.92
93.794;117.967	6	0.06	0.0025	98	0.98
117.967;142.137	1	0.01	0.0004	99	1
∑	99	0.99	0.0414	-	-

Задача № 2

Все характеристики, полученные при выборке из генеральной совокупности, называются эмпирическими, выборочными или их оценками.

    –значение  параметра,    -его оценка. Оценки  характеристик обладают свойствами: несмещённостью (величиной смещения), эффективностью, состоятельностью.

Оценка называется несмещённой, если её математическое ожидание равно оцениваемому параметру.

M(     )=Q

Разность между ними M(     )-Q называется смещением.

Требование несмещённости гарантируют отсутствие систематических ошибок.

Оценка параметра называется состоятельной, если                ,т.е. удовлетворяет закону больших чисел.

 

Практический смысл имеют только состоятельные оценки.

Несмещённая оценка      параметра Q называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещённых оценок, вычисленных по выборкам одного и того же объёма.

Оценка математического ожидания: x=

Оценка дисперсии: D = ( ²-(X_i²))

(множитель  устраняет смещение)

Пользоваться D_x неудобно, т.к. размерность не совпадает с размерностью x. Поэтому вводят понятие S_x=

Такие оценки считают только для  тех выборок, которые по нашему предположению имеют нормальный и равномерный законы распределения. После вычисления оценок делаем первую проверку по закону 3 .

 

-X₁-

 

xi	0.803;1.118	1.118;1.373	1.373;1.628	1.628;1.883	1.883;2.138	2.138;2.393	2.393;2.65	∑
ni	6	17	15	12	23	19	8	100
niнак	6	23	38	50	73	92	100	-
pi	0.06	0.17	0.15	0.12	0.23	0.19	0.08	1
piнак	0.06	0.23	0.38	0.5	0.73	0.92	1	-
xi сер	0.99	1.245	1.5	1.755	2.01	2.265	2.52
Xi2сер	0.98	1.55	2.25	3.08	4.04	5.13	6.35

 

 

X= _ic*p_i=0.06*0.99+0.17*1.245+0.15*1.5+0.12*1.755+0.23*2.01+0.19*2.265+0.08*2.52=0.0594+0.21165+0.225+0.2106+0.4623+0.43+0.2016=1.8

D(x) = _i²*p_i-x²=0.06*0.98+0.17*1.55+0.15*2.25+0.12*3.08+0.23*4.04+0.19*5.13+0.08*6.35-1.8²=0.06+0.26+0.34+0.37+0.93+0.97+0.508-3.24=0.198

S_x= =0.44

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-X₂-

xi	-12.81; -8.73	-8.73;  -4.67	-4.67;  -0.59	-0.59; 3.47	3.47; 7.55	7.55; 11.61	11.61;15.69	15.685;19.75	19.75; 23.83	∑
ni	2	6	5	19	22	21	13	7	4	99
niнак	2	8	13	32	54	75	88	95	99	-
pi	0.02	0.06	0.05	0.19	0.22	0.21	0.13	0.07	0.04	0.99
piнак	0.02	0.08	0.13	0.32	0.54	0.75	0.88	0.95	1	-
xi сер	-10.77	-6.7	-2.63	1.44	5.51	9.58	13.65	17.72	21.79
Xi2сер	115.99	44.89	6.92	2.07	30.36	91.78	186.32	313.99	474.8

 

X= _ic*p_i=0.02*(-10.77)+0.06*(-6.7)+0.05*(-2.63)+0.19*1.44+0.22*5.51+0.21*9.58+0.13*13.65+0.07*17.72+0.04*21.79=-0.2154-0.402-0.1315+0.2736+1.2122+2.0118+1.7745+1.2404+0.8716=6.63

D(x) = _i²*p_i-x²=0.02*115.99+0.06*44.89+0.05*6.92+0.19*2.07+0.22*30.36+0.21*91.78+0.13*186.32+0.07*313.99+0.04*474.8-6.63²=2.3198+2.6934+0.346+0.3933+6.6792+19.2738+24.2216+21.9793+18.992-43.9569=52.94

S_x= =7.27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-z-

xi	-75.42;         -51.24	-51.24; -27.07	-27.07;       -2.90	-2.90; 21.27	21.27;45.45	45.45;69.62	69.62;93.79	93.79; 117.97	117.9  7; 142.14	∑
ni	1	6	6	20	28	21	10	6	1	99
niнак	1	7	13	33	61	82	92	98	99	-
pi	0.01	0.06	0.06	0.20	0.28	0.21	0.10	0.06	0.01	0.99
piнак	0.01	0.07	0.13	0.33	0.61	0.82	0.92	0.98	1	-
xi сер	-63.33	-39.15	-14.98	9.19	33.36	57.53	81.71	105.88	130.05
Xi2сер	4010.69	1532.72	224.4	84.46	1112.9	3309.7	6676.52	11210.57	16913

 

X= _ic*p_i=0.01*(-63.33)+0.06*(-39.15)+

+0.06*(-14.98)+0.2*9.19+0.28*33.36+0.21*57.53+0.1*81.71+0.06*105.88+0.01*130.05=-0.63-2.349-0.9+1.838+9.34+12.08+8.171+6.35+1.305=35.205

D(x) = _i²*p_i-x²=0.01*4010.69+0.06*1532.72+0.06*224.4+0.2*84.46+0.28*1112.89+0.21*3309.7+0.1*6676.52+0.06*11210.57+0.01*16913-35.205²=40.11+91.96+13.46+16.89+311.61+695.04+667.65+672.63+169.13-1239.39=1439.09

S_x= =37.93

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача № 3

Задача выравнивания статистического ряда заключается  в подборе теоретической плавной  кривой распределения, наилучшим образом  описывающей данное распределение.

Выравнивание позволяет  в значительной степени увеличить  достоверность используемых данных. Происходит это за счёт устранения случайных погрешностей регистрации данных и за счёт перехода к зависимостям, которых можно умеренно экстраполировать за пределы выявленного диапазона изменения наблюдаемой случайной величины. Конечно, следует убедиться в приемлемости выбранного для выравнивания теоретического закона распределения. Проще всего сделать это по гистограмме или из соображений, связанных с существом задачи.

Функция распределения F(x)=P(X-x)=P_нак является одной из форм закона распределения, содержит всю информацию, которая необходима для оценки любых статических свойств и числовых характеристик исследуемых случайных величин.

Аналитическое выражение  выбранной кривой распределения  зависит от некоторых параметров; задача выравнивания переходит в задачу рационального подбора тех значений параметров, при которых соответствие между статистическими и теоретическими распределениями оказывается наилучшим.

Эмпирическая функция распределения (оценкой функции F(x)) должна обладать свойствами теоретической:

0≤F(x)≤1; F(x)-неубывающая,

=F(x)-накопительная частота, при X<x

P_нак=n_нак/n 

 

Проверка для нормального  распределения

Три сигма:

x-3s x x+3s

Для x₂:

6.63-3*7.27 x 6.63+3*7.27

6.63-21.81 x 6.63+21.81

-15.18 x 28.44

Для z:

35.205-3*37.93 x 35.205+3*37.93

35.205-113.79 x 35.205+113.79

-78.585 x 148.995

Для x₁:

b=x+                       a=x- s

b=1.8+ *0.44=1.8+0.762=2.562

a=1.8-0.762=1.038

Для равномерного закона распределения:

F(x) =                      f(x)=

 

f (x)= = =0.656                   f*h=0.167

 

 

 

 

 

 

интервалы	-12.81; -8.73	-8.73; -4.67	-4.67; -0.59	-0.59; 3.47	3.47; 7.55	7.55; 11.61	11.61;15.69	15.69;19.75	19.75;    23.83
Xi сер	-10.77	-6.7	-2.63	1.44	5.51	9.58	13.65	17.72	21.79
( Xi сер-X)/s	-2.393	-1.833	-1.274	-0.714	-0.154	0.406	0.966	1.525	2.085
( Xi сер-   X)2/2s2	2.864	1.681	0.811	0.255	0.012	0.082	0.466	1.163	2.174
	0.0573	0.1864	0.4449	0.7788	0.99	0.9231	0.6313	0.3135	0.1142