Управление динамической системой

 

 

 

 

Рисунок 4 – График функции μ(t).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 5 – График функции z(t).

 

 

Из графиков видно, что m w V пришли к устоявшимся значениям:

 

 

 

 

2 Линеаризация системы

 

Задание №4

 

Линеаризовать уравнение (1) в окрестности точки равновесия численно рассчитать решить линеаризованную систему.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Линеаризованная система:

 

 

Численно решая, линеаризованную систему для непрерывного времени получаем:

 

 

 

 

 

 

Рисунок 6 - График  функции ω(t).

 

 

  Рисунок 7 График  функции μ(t).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 8 - График  функции z(t)

 

 

 

 

3 Замкнутая система

 

Задание №5

 

Замкнуть систему, положив

u(t) = k × (w(t) - w* ),

где k - коэффициент усиления регулятора, w*- требуемое значение скорости.

Привести линеаризованную  систему к безразмерной форме, взяв в качестве базового значения  . Введя новые переменные, представить систему в векторно-матричной форме для непрерывного и дискретного времени:

  ,

.

 

Разомкнутая линеаризованная  система:            

                                              

 

 

 

Где

 

 

 

 

 

Отсюда  матрицы А  и В для  непрерывного времени:

 

 

 

 

 

 

 

Для дискретного времени  матрицы А и В при t=0,05:

 

 

 

 

 

 

 

Замкнем систему. Для  выражения u(t) = k × (w(t) - w*) в качестве w*  необходимо взять  w0 , тогда с учетом, что   получается 

 

 

Значит, внешнее управление отсутствует. Замкнем линеаризованную  систему 

 

 

Задание №6

 

Оценить управляемость  системы (5). Составить характеристическое уравнение системы (7). На основе критерия Рауса - Гурвица определить значение коэффициента k = k₀,  соответствующее пределу устойчивости линеаризованной замкнутой системы

 

Оцениваем управляемость  системы: Система дифференциальных уравнений размерности n управляема, если ранг составной матрицы K=[ B | AB | A²B | … | A^n-1B] равен n.

Для n=3  составная матрица имеет вид K=[ B | AB | A²B] .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так ранг матрицы К  соответствует размерности системы, система дифференциальных уравнений  управляема

 

Согласно критерию Рауса-Гурвица  система устойчива, если все определители Рауса-Гурвица положительны при а₀>0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Матрица Рауса-Гурвица:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем определители Рауса-Гурвица:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Как мы видим для нахождения границы устойчивости, достаточно чтобы  D3 было равно 0, а так как , то достаточно, чтобы а₃ было равно 0.

 

 

пределы устойчивости

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 Переходный процесс в замкнутой системе

 

Задание №7

 

Найти корни характеристического  уравнения  системы (5) и исследовать  перемещение корней на комплексной плоскости при варьировании коэффициента усиления k (k=ak0, a=0.9, 0.8, 0.7, 0.6 ). Построить траекторию движения корней. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 9 - График  движения корней характеристической системы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 10 - График  движения корней характеристической системы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 11 - График  движения корней характеристической системы

 

 

Из графиков траектории движения видим, что устойчивость системы увеличивается  при уменьшении коэффициента усиления, следовательно, система становится более устойчивой.

 

 

Задание №8

Построить  переходный процесс в системе (5) для одного из значений a при возмущении по w* (положив w*=1.1w0 и начальные условия: t=0, w(0)=1.1w0, m(0)= 0). Уравнение решить аналитически, выполнив спектральное разложение матрицы А и использовав собственные числа и собственные вектора матрицы А.

 

Возьмем матрицу А безразмерной замкнутой системы (при a=1):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 12 - График функции ω(t)

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 13 - График функции m(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 14 - График функции z(t)

 

 

5 Частотные характеристики системы

 

Задание №9

 

Используя преобразование Лапласа, получить передаточные функции  незамкнутой системы (5) по каналу u®x1.

 

 

 

 

 

 

Применим преобразования Лапласа

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Передаточная функция  разомкнутой системы (положим u1 = 1) :

 

 

 

 

Задание №10

Выписать выражения  для амплитудно-фазовой, амплитудной, фазовой, вещественной и мнимой частотных  характеристик для разомкнутой  системы (5). Для одного из значений a (см. п.7) построить годограф АФЧХ и графики характеристик A(w), j(w), Re(w), Im(w)

 

Перейдем к функции  комплексного переменного

 

 

 

 

 

 

Выражение для действительной частотной характеристики (ДЧХ):

 

 

 

 

Выражение для мнимой частотной характеристики (МЧХ)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 15 – график ДЧХ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 16 – график МЧХ

 

 

Выражение для амплитудной частотной  характеристики для разомкнутой  системы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выражение для фазовой частотной характеристики для разомкнутой системы:

Рисунок 17 – график АЧХ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 18 – график ФЧХ

 

Построим годограф АФЧХ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 19 – годограф АФЧХ

 

Подробное представление  годографа для анализа:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 20 – годограф АФЧХ на подробном промежутке

 

 

6 Критерии устойчивости  Найквиста и Михайлова

 

Задание №11

 

Оценить устойчивость разомкнутой системы (5) по  критерию  Найквиста и замкнутой системы (7) по критерию Михайлова. Определить запас  устойчивости системы по амплитуде и по фазе используя годограф АФЧХ.

 

Как видно из рисунка 19, годограф АФЧХ не охватывает точку Re=-1, следовательно, замкнутая система устойчива.  

 

Запас устойчивости системы  по амплитуде:

 

 

Нахождения запаса устойчивости по фазе отображено на рисунке 21

 

 

Согласно критерию устойчивости Михайлова, если система устойчива, то годограф Михайлова  проходит против часовой стрелки последовательно n квадрантов  (n – размерность системы), не пропуская ни одного. В нашем случае n=3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 21 – Нахождение запаса устойчивости по фазе

 

 

На рисунке 21 представлен годограф Михайлова, на рисунке 22 годограф Михайлова, увеличенный в районе пересечения оси координат.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 22– Годограф Михайлова

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 23 – годограф Михайлова, увеличенный

 

 

На графиках видно, что  замкнутая система устойчива по критерию Михайлова, так как годограф последовательно против часовой стрелки проходит 3 (размерность системы – 3) квадранта комплексной плоскости

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

 

1.  Доррер Г.А., Основы теории управления: Учебное пособие для студентов направлений 552800 и 654600 всех форм обучения. – Красноярск: СибГТУ, 2003.-228 с.