Система автоматического регулирования частоты вращения двигателя постоянного тока

Где: 

        

         

Тогда получаем передаточную функцию по возмущающему фактору:

      

И по задающему воздействию:

2. Двигатель постоянного тока (ДПТ):

3. Корректирующее  устройство(КУ):

      

4. Датчик скорости (ДС):

 

5. Магнитный суммирующий усилитель (МСУ), по прямой цепи прохождения сигнала:

6. Магнитный суммирующий усилитель (МСУ), по обратной связи:

      

 Получив передаточные функции всех элементов САР частоты вращения двигателя постоянного тока, можем составить структурную схему системы (рис.10). Она получена путем замены элементов функциональной схемы соответствующими им передаточными функциями.

 

Рис. 10. Структурная схема САР частоты  вращения турбореактивного двигателя

 

3. Принцип регулирования САР

САР частоты  вращения турбореактивного двигателя  - система стабилизации. Система  стабилизации – это система, которая  поддерживает постоянной некоторую  величину. 
 

   В данной САР реализовано регулирование по отклонению (∆U) выходной величины - частоты ω(t) от требуемого значения ω₀=const. При увеличении возмущающего воздействия f(t) (см рис. 11) выходная величина уменьшается относительно заданного значения ω_0. Возникает положительная ошибка регулирования (∆U=U_з-U_ос), она складывается с задающим воздействием  ∆U. При уменьшении возмущающего воздействия f(t) (см рис. 11) выходная величина увеличивается относительно заданного значения ω_0. Возникает отрицательная ошибка регулирования (U_з-∆U), она вычитается от задающего воздействия  ∆U.  
 
 
 

 

4. Передаточные  функции системы

1. Передаточная  функция системы  в разомкнутом  состоянии 

 
 

   Для получения  структурной схемы разомкнутой  системы существуют два правила::

1. Отбрасываются все воздействия и цепи прилегающие к ним.
2. Разрывается главная обратная связь и совмещается с прямой цепью прохождения воздействия.

 

     Применим  эти два правила к структурной схеме системы автоматического регулирования частоты вращения турбореактивного двигателя (рис.10) и получим структурную схему САР в разомкнутом состоянии (рис.12): 

Рис. 12. Структурная схема САР частоты вращения турбореактивного двигателя в разомкнутом состоянии 
 

     Пользуясь правилами преобразования структурных  схем и преобразованиями Лапласа (п.2), получим передаточную функцию системы  в разомкнутом состоянии. Для получения общей передаточной функции всей системы в разомкнутом состоянии необходимо, так как по правилам преобразований структурных схем каждый следующий блок является выходом предыдущего, то эквивалентный блок является произведением передаточных функций цепи:

       

      Преобразовав выражение и подставив численные значения, получим:

 
 
 

2. Передаточная  функция замкнутой  системы по задающему  воздействию 

 

    Для получения необходимо отбросить возмущающий фактор и цепи, прилегающие к нему, так как выходная величина равна сумме реакций на каждое из воздействий. Таким образом, отбрасывая f(t) и цепь, прилегающую к нему, мы реализуем принцип суперпозиции:

    X(t) = X₁(t) + X₂(t);

    X(t) = X₁(t), при X₂(t) = 0.

    Применимо к структурной схеме (рис.10), получаем структурную схему САР по задающему воздействию (рис.13): 

Рис. 13. Структурная схема замкнутой САР по задающему воздействию 

Применив правила  преобразований структурных схем, получим:

 

     Зная, что передаточная функция системы  с отрицательной обратной связью равна , получим передаточную функцию системы по задающему воздействию: 

 
где (s) – прямая цепь прохождения сигнала g(t); 

 

Т.к. по условию  значения T_э, Т_му, К_д2 и Т_дс равны 0, то далее в расчетах буду их опускать. 

Численно, после  упрощения дроби: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3. Передаточная  функция замкнутой системы по возмущающему фактору

 

    Для получения передаточной функции  системы по возмущающему фактору  необходимо отбросить задающее воздействие  и цепи прилегающее к нему.

    Применимо к структурной схеме (рис.10) получим структурную схему САР по возмущающему фактору (рис.14): 

Рис. 14. Структурная схема замкнутой САР по возмущающему воздействию 

Передаточная  функция системы по возмущающему воздействию:

Где – передаточная функция объекта управления (ТРД) по возмущающему фактору.

 
 

В численном  виде: 
 
 

5. Дифференциальное уравнение САР

 

     Входной сигнал, возмущение и выходной сигналы связаны между собой линейным дифференциальным уравнением:

      Для описания САР используется символьная форма:

            

Тогда:

Обозначим:

где -операторы воздействий

Получаем дифференциальное уравнение в символьной форме:

Отношение операторов R1(p) и R2(p) к оператору Q(p) является передаточной функцией:

• По управлению:

• По возмущению:

Наряду с операторной  формой используется форма в изображениях Лапласа:

p→s: 

Дифференциальное  уравнение в символьной форме:

 

Таким образом, для нашей системы линейное дифференциальное уравнение в символьной форме выглядит следующим образом:

Численно: 
 
 

Перейдём: s → p →

1. s → p:

 
 
 

2. Так как  , то дифференциальное уравнение имеет вид:

. 

 

6. Проверка  САР на устойчивость по корням характеристического уравнения

 

   Для проверки САР на устойчивость по корням характеристического  уравнения воспользуемся прикладной программой MathCAD.  

 

     Для того, чтобы линейная система была устойчива необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения были левыми (отрицательными). В нашем случае корни левые, следовательно,  система устойчива.

 

7. Проверка  САР на устойчивость по критерию Михайлова

 

   Критерий  Михайлова:

     Пусть дано уравнение замкнутой системы 

     где – передаточная функция замкнутой системы.

     Тогда дифференциальное уравнение системы, преобразованное по Лапласу можно  записать в виде: 

     где – характеристический полином n-ной степени.

     В соответствии с основной теоремой алгебры  этот полином можно разложить  на множители в виде:

           (1)

     где p₁, p₂, …, p_n - корни характеристического уравнения А(р) = 0.

     Выражение (1) действительно при любых значениях p, в частности при p=jw. Тогда (1) можно переписать так:

           (2)

   Выражение (2) называется кривой Михайлова и обычно обозначается D(jw) = A(jw).

     Критерий Михайлова формулируется следующим образом: для того, чтобы замкнутая система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы, начинаясь на положительной оси при w=0, при изменении w от 0 до + ¥ вектор Михайлова D(jw), нигде не обращаясь в 0, повернулся на угол , где n – степень характеристического уравнения. Если годограф Михайлова прошёл через ноль, то замкнутая система находится на границе устойчивости.

     Условие устойчивости можно сформулировать иначе: чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф вектора D(jw) прошел на комплексной плоскости последовательно n квадрантов в положительном направлении (против часовой стрелки), не проходя через начало координат. Если годограф проходит через начало координат, то система находится на границе устойчивости. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   Построим годограф Михайлова, воспользовавшись прикладной программой MathCAD. В характеристическом уравнении произведем замену:

 

     Произведем замену

     _{и приведем ДУ к виду}

     , где и - вещественная и мнимая функции Михайлова соответственно.

     

Строим годограф Михайлова (рис.15):

 

Рис. 15. Годограф Михайлова 

     При Im(D(ω))=0, частоты ω₀ и ω₂ соответствуют корням мнимой составляющей кривой Михайлова.

     При Re(D(ω))=0, частоты ω₁ и ω₃ соответствуют корням действительной составляющей кривой Михайлова.

     Из  графика видно, что критерий Михайлова выполняется, следовательно, система устойчива.

 

8. Проверка  САР на устойчивость по критерию Найквиста

   Критерий  Найквиста:

   Если разомкнутая система устойчива и ее характеристическое уравнение D(s)=0 имеет все корни в левой полуплоскости, то критерий Найквиста формулируется следующим образом:

     Система автоматического управления, устойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчивой и в замкнутом состоянии, если АФЧХ W(jw) разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до ¥ не охватывает критическую точку с координатами (-1, j0).

   Т.к. будем  работать в программе MATLAB, то удобнее пользоваться следующим критерием:

   Система устойчива тогда и только тогда, когда:

1. Частота, на которой ФЧХ пересекает линию больше частоты среза.
2. В диапазоне положительности ЛАЧХ разность между положительными и отрицательными переходами через ось –π ФЧХ  равна 0.