Расчет LC- и ARC- фильтров

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Курсовая работа по ТЭЦ  на тему:

"Расчет LC- и ARC- фильтров"

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание:

1. .Расчет LC-фильтра

1. Содержание задания                                                                                            3
2. Проектирование схемы фильтра                                                                         4
3. Определение передаточной функции фильтра                                                  6
4. Расчёт характеристики ослабления проектируемого фильтра                        7
5. Моделирование фильтра на ПК                                                                          8

2. Расчёт ARC-фильтра

2.1 Содержание задания                                                                                             9

2.2 Построение схемы                                                                                               10

2.3 Расчёт параметров элементов  ARC- фильтра                                                  11

2.4 Расчёт характеристики  ослабления фильтра на ПК                                        17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Расчёт LC-фильтра
1. Содержание задания:

           Задание 1 состоит в том, чтобы  рассчитать LC-фильтр, полагая, что его элементы имеют пренебрежимо малые потери. Исходные данные для 9 варианта:

• Тип фильтра: Фильтр нижних частот (ФНЧ);
• Вид аппроксимации: по Чебышеву;
• Режим работы фильтра: Одностороння нагрузка;

 

• С=0 дБ;
• М=(С+1)=1 дБ;
• Гарантированное ослабление в полосах задерживания: дБ;
• Граничная частота полосы пропускания: кГц;
• Граничная частота полосы задерживания: кГц;
• Допустимая неравномерность характеристики ослабления фильтра в полосе пропускания: дБ;
• Величина нагрузочного сопротивления =600 Ом.
• находится при расчете фильтра.

 

 

 

 

 

 

 

2. Проектирование схемы фильтра

Схема, параметры элементов  и характеристики проектируемого фильтра  находятся с помощью частотного преобразования фильтра-прототипа  нижних частот (ФПНЧ).

Определяем порядок ФПНЧ, который для фильтров с характеристиками Чебышева находится по формуле:

 

 

Округляя до большего значения, получаем n=6.

 – нормированная  граничная частота полосы задерживания  ФПНЧ. Для ФНЧ она рассчитывается  по формуле: .

Схема ФПНЧ 6-ого порядка для режима с односторонней нагрузкой:

Элементы двусторонне  нагруженного ФПНЧ (при ) с характеристиками Чебышёва при дБ:

1,169	1,446	2,106	1,613	2,118	1,313

 

Параметры элементов проектируемого фильтра могут быть определены путем  соответствующего пересчета параметров элементов низкочастотного фильтра-прототипа. Так как у меня стоит задача расчёта ФНЧ, то параметры ФПНЧ переходят  в параметры ФНЧ по приведенным  ниже правилам. Далее нужно пересчитать  их из нормированных значений в обычные:

 

 

 

 

 

Элементы
ФПНЧ	ФНЧ

 

Тогда параметры проектируемого фильтра:

=600 Ом;

==600 Ом;

 

=22× Гн;

=25× Гн;

=20× Гн;

=1.008×Ф;

=1.803× Ф;

=1.813×Ф;

 

 

 

 

 

 

3. Определение передаточной функции фильтра

Для начала необходимо определить передаточную функцию ФПНЧ, которая  имеет следующий вид: H(,  где - полином Гурвица степени n=6, B – коэффициент, определяющий ослабление фильтра на частоте. Для ФПНЧ с характеристикой Чебышева при дБ, B₆=0,05412, а сомножители полинома Гурвица имеют вид:

 

 

Тогда  =0.4274; =0.1158,

=0.3128; =0.5489,

=0.1144; =0.9817.

Передаточная функция  проектируемого фильтра H(p) находится частотным преобразованием передаточной функции низкочастотного фильтра прототипа.

Передаточная  функция ФПНЧ	Формула преобразования	Передаточная  функция фильтра

 

Передаточная функция  фильтра выглядит следующим образом:

=;      =;

 

=;      =;

 

=;      =;

 

Следовательно: H(p)== =

1.4 Расчёт характеристики ослабления проектируемого фильтра

 

При этом   берется из таблицы для n=6:

Для расчета характеристики ослабления проектируемого фильтра  можно использовать прямое преобразование частоты :

 

Тогда:

,   где 

 

Построение графика характеристики ослабления фильтра в программе  MATHCAD

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.5 Моделирование  фильтра на ПК

Моделирование фильтра  на ПК выполняется с помощью программы  Fastmean. Схема фильтра в этой программе выглядит следующим образом:

Полученная характеристика ослабления фильтра:

2. Расчёт ARC-фильтра.

2.1 Содержание  задания

Операторную передаточную функцию, полученную в  задании 1, с точностью до постоянного  множителя реализовать активной RC-цепью.

Требуется:

1)Привести  схему ARC-фильтра, составленную путем каскадного соединения звеньев, взятых из таблицы 2.1 и 2.2. Обосновать выбор звеньев и порядок их включения в схеме фильтра;

2)Рассчитать  параметры элементов звеньев  методом уравнивания коэффициентов;

3)Получить выражения и построить графики АЧХ и ФЧХ, а также частотных зависимостей чувствительностей АЧХ и ФЧХ к изменению параметра заданного элемента для звена фильтра, номер которого указан в табл. 2.3;

4)Рассчитать характеристику ослабления ARC-фильтра через его передаточную функцию , либо путем моделирования фильтра на ПК;

5)Сравнить графики характеристик ослабления LC и ARC-фильтров и сделать выводы.

 

 

2.2 Построение  схемы

Схема ARC-фильтра составляется путём каскадно-развязанного соединения звеньев 2-го и 1-го порядка, каждое из которых реализует один из сомножителей функции , полученной в задании 1:

 

Каскадно-развязанный  принцип реализации обусловлен тем, что с повышением порядка передаточной функции фильтра резко увеличивается  чувствительность его частотных  и временных характеристик к  изменению параметров элементов, а  также повышается вероятность неустойчивой работы цепи.

Звенья  из таблиц 2.1 и 2.2 методических указаний к курсовой работе следует выбирать так, чтобы вид их передаточных функций  соответствовал типу фильтра (ФНЧ). Также  следует учитывать величину добротности  полюса сомножителя передаточной функции  фильтра, рассчитываемой по формуле:

Q=

При следует использовать звенья с одним операционным усилителем, схемы которых приведены в табл. 2.1, тогда как при больших добротностях следует использовать звенья, построенные по методу АВТ, схемы которых в табл. 2.2

Рассчитаем  добротности полюсов сомножителей H(p):

 

 

 

Таким образом, для реализации сомножителей со значениями добротностей и нужно использовать звенья с одним операционным усилителем, а для реализации сомножителя со значением добротности ,звено, построенное по методу АВТ. ARC-звенья в схеме фильтра во избежание их перегрузки, появления нелинейных искажений и с целью улучшения соотношения сигнал/шум следует располагать от входа к выходу в порядке возрастания добротности полюса передачи.

 

 

 

2.3 Расчет  параметров

Для нахождения численных значений параметров элементов выбранных звеньев  составляется система уравнений  путём уравнивания численных  коэффициентов реализуемого сомножителя  передаточной функции фильтра, полученной в задании 1, с соответствующими буквенными коэффициентами передаточной функции  звена, выбранного из таблиц 2.1 и 2.2 методических указаний к курсовой работе.

Звено №1:

Его .

Выберем схему звена №1 из таблицы 2.1 в качестве первого  звена ARC-фильтра.

Передаточная функция  данной схемы:

 

Сомножитель функции ОПФ, полученной в задании 1, который требуется реализовать:

=

=Уравнивая коэффициенты, получаем систему уравнений:

 

Положим и зададим величину . Рассчитаем :

 

Получаем:

 

 

 

Звено №2:

Его .

Выберем схему звена №1 из таблицы 2.1 в качестве второго звена ARC-фильтра. (Разрешено преподавателем)

Передаточная функция:

 

В первом задании было получено:

=;

Уравнивая коэффициенты, получаем систему уравнений:

 

Положим и зададим величину . Рассчитаем :

 

Получаем:

 

 

 

Звено №3:

Рассчитаем  звено, построенное по методу АВТ (аналоговой вычислительной техники), которое в таблице 2.2 идет под №3.

Схему данного звена представим в виде совокупности трех блоков, используя  следующее правило: каждый блок содержит только один операционный усилитель, выход  которого одновременно является выходом  звена.

 

Блок №1.

Взвешенный сумматор с инверсией  входных напряжений.

 

 

Блок №2.

Нестандартный.

 

 

 

Блок №3.

Интегратор.

 

 

Составим систему из трех уравнений:

 

 

 

 

Чтобы получить операторную передаточную функцию H(p) третьего звена, раскроем скобки, сделаем удобные преобразования и выразим :

 

 

В первом задании было получено:

(p)=;

 

Уравнивая коэффициенты, получаем систему уравнений:

 

Положим и . Рассчитаем :

 

 

 

Рассчитаем  величину плоского ослабления . Для этого вычислим коэффициент по формуле:

 

Где число сомножителей передаточной функции полученной в первом задании;

значение коэффициента перед в старшей степени числителя

значения коэффициентов  числителей передаточных функций реализованных  звеньев.

При этом передаточная функция реализованного фильтра имеет вид:

 

а характеристика ослабления

 

 

Отсюда  следует, что

 

Рассчитаем  значения коэффициентов числителей передаточных функций реализованных  звеньев:

 

 

 

 

Получаем:

=y/A=4.64

 

Величина плоского ослабления:

 

-13.33 дБ

 

2.4 Расчет параметров  элементов ARC-фильтра

1. Получим выражения АЧХ и ФЧХ с числовыми коэффициентами для звена №3:

 

Рассчитаем АЧХ:

 

Подставляя  численные значения элементов, получаем АЧХ этого звена:

 

 

Рассчитаем ФЧХ:

 

Подставляя  численные значения элементов, получаем ФЧХ этого звена:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Получим выражение для  операторной функции чувствительности к изменению заданного параметра

Операторная функция чувствительности:

 

Передаточная  функция цепи представляет собой  отношение полиномов, поэтому операторную функцию чувствительности можно находить как разность чувствительностей числителя и знаменателя:

 

При заданном параметре :

 

 

 

Получаем  операторную функцию чувствительности:

 

Производим  замену

 

 

 

Подставляя  численные значения параметров элементов, получаем: