Преобразование непериодического сигнала в линейной цепи

Казанский Государственный  Технический Университет им. А.Н. Туполева

Факультет радиотехнический

 

 

 

 

Курсовая работа по дисциплине

«Основы теории цепей»

 

 

Преобразование непериодического сигнала в линейной цепи

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Автор курсового проекта	________________Габидуллин Р.Р.
Специальность	Теоретическая радиотехника и радиоэлектроника
Группа
Научный руководитель	____________________Козлов В.А.
	« ___ » __________________ 2007г.

 

 

Содержание 

 

 

Введение

 

Для уменьшения пульсаций выпрямленного напряжения используют сглаживающие фильтры.

Главное требование к фильтрам: максимально  возможное уменьшение переменных слагаемых  выпрямленного напряжения и тока в сопротивлении нагрузки.

По наличию внутренних источников энергии различают:

- фильтры пассивные (RC или LC фильтры)

- фильтры активные (пассивные  RC-цепи и активные элементы)

По полосе пропускаемых частот различают:

- фильтры высоких частот (ФВЧ)

- фильтры нижних частот (ФНЧ)

- фильтры полосовые (ПФ)

- фильтры заграждающие / режекторные  (ЗФ / РФ)

Активные RC-фильтры относятся к  широко распространенному классу частотно избирательных цепей и, наряду с  построенными на основе их использования  генераторами синусоидальных колебаний, находят применение в системах передачи информации, автоматического управления и регулирования, технике измерения и различного рода функциональных преобразователях. Активные RC-фильтры (АФ) содержат пассивные избирательные RC-цепи и активные устройства (усилители, генераторы, конверторы отрицательного сопротивления), при помощи которых получают требуемую добротность звеньев второго порядка.

Активный фильтр представляет собой  четырёхполюсник, содержащий пассивные  RC-цепи и активные элементы: транзисторы, электронные лампы, операционные усилители. Активные фильтры обычно не содержат катушек индуктивности. Стремление исключить катушки индуктивности из фильтра вызвано рядом причин:

- катушки индуктивности имеют большие габариты и массу,

- потери в катушках приводят к отклонению расчётных характеристик

  фильтра от реальных значений,

- в катушках рассеивается большая  мощность,

- в катушках с сердечником  проявляется нелинейный эффект,

  связанный с насыщением сердечника.

Активные фильтры можно реализовать  на повторителях напряжения, на операционных усилителях, на усилителях с ограниченным усилением и т.д.

Пассивные LC и RC фильтры не требуют источников питания и имеют простое исполнение, однако они не обеспечивают хорошего разделения полосы пропускания от полосы затухания; в области пропускания и затухания могут наблюдаться большие неравномерности передаточной характеристики; очень сложно выполнить условие согласования фильтра с нагрузкой.

В отличие от пассивных, активные фильтры  обеспечивают более качественное разделение полос пропускания и затухания. В них сравнительно просто можно  регулировать неравномерности частотной характеристики в области пропускания и затухания, не предъявляется жестких требований к согласованию нагрузки с фильтром. Все эти преимущества активных фильтров обеспечили им самое широкое применение.

Цель курсового проекта состоит в практическом ознакомлении с основами синтеза активных RC-фильтров.

В задачи проекта входит как осуществление  параметрического синтеза полосового ARС-фильтра, так и исследование влияния одного из его элементов, а именно сопротивления R₁ на его частотные и переходные характеристики.

В первой части работы приводится теоретический вывод операторных передаточной функции и входного импеданса исследуемого фильтра. Вторая глава посвящена параметрическому синтезу активного полосового RC-фильтра на операционном усилителе. Далее проводятся исследование частотных и переходных характеристик фильтра при определенных значениях параметров используемых радиоэлементов. Наконец, в четвертой главе проводится исследование влияния сопротивления резистора R₁ на частотные и переходные характеристики фильтра. На основании проведенных исследований сделаны выводы о выборе оптимального значения сопротивления указанного резистора при проектировании фильтра.

 

 

1. Вывод операторных передаточной функции и входного импеданса

 

ARC-фильтры – это активные RC-четырехполюсники, обладающие избирательными свойствами, которые пропускают электрические колебания одних частот и подавляют электрические колебания других частот. Область частот пропускаемых колебаний  называют полосой пропускания (ПП) фильтра, область частот подавляемых колебаний – полосой задерживания (ПЗ). Граничные значения ПП называют частотами среза - w_ср . На частоте среза w_ср модуль коэффициента передачи (т.е. амплитудно-частотная характеристика – АЧХ) фильтра достигает уровня 0,707 от своего максимального уровня, т.е. уменьшается на 3 дБ.

Передаточную функцию ARC-фильтра  по напряжению в общем случае можно  записать в виде:

 (1.1),

где p=s+jw = комплексная частота; b_m и a_n – вещественные числа, коэффициенты дробно-рациональной передаточной функции K(p); n>m.

Наибольшая степень n переменной р  определяет порядок ARC-фильтра, ARC-фильтры  высокого порядка реализуются, как  правило, в виде каскадного соединения звеньев второго (при n – четном) и одного звена первого порядка (при n – нечетном), т.к. при этом получают наиболее простые схемы реализации.

В общем случае передаточные функции  звеньев второго порядка имеют  вид биквада:

  (1.2)

Для полосового фильтра (ПФ) b₀ = b₂ = 0.

Коэффициенты  полиномов числителя и знаменателя определяют на первом этапе синтеза, т.е. этапе аппроксимации. На практике передаточные функции звеньев полосовых ARC- фильтров второго порядка (в дальнейшем для простоты – ARC-фильтров) принято описывать с  использованием таких параметров, как коэффициент передачи ARC-фильтра в полосе пропускания К₀, квазирезонансная частота полюса (в дальнейшем просто частота полюса) w₀, добротность полюса Q.

Определим значения этих параметров через коэффициенты полиномов. Допустим, что полюса функции передачи (1.2) располагаются в точках

р_1,2 = б_n ± j w_n.

тогда очевидно, что

 (1.3)

С другой стороны, известно что

 (1.4)

  (1.5)

Тогда с учетом (1.4) и (1.5) перепишем (1.3) в виде

 (1.6)

Отсюда частота  полюса

 (1.7),

а добротность

 (1.8).

Прежде, чем определить К₀, напомним, что К(Р=jw) = K(jw), есть амплитудно-фазовая характеристика (АФХ), и К(jw)e ^jjk(w)   ,где K(w) = êK(jw)ê - амплитудно-частотная, jk(w) = А rg K (jw) – фазочастотная характеристика ARC-фильтра. Тогда коэффициент передачи в полосе пропускания для ПФ К_он вычисляется на частоте w = w_о (К_он = К_н(w_о ) = b₁/ a₁).

 

Исследуемый фильтр представляет собой активный фильтр с двухпетлевой обратной связью (Рис. 1.1).

 

 

Рис.1.1. Схема полосового ARC-фильтра.

 

В соответствии с первым законом  Кирхгофа для узла а имеем:

I₁ = (U_вх-U_a)/R₁ = I₂+I₃+I₄ (1.9),

причем

I₂ = U_a/R₂    (1.10),

I₃ = (U_a- U_b)pC₂ = U_a×pC₂^* (1.11),

I₄ = (U_а-U_вых)рС₁   (1.12),

I₅ = (U_b-U_вых)/R₃=-U_вых/R₃ (1.13).

Подставим (1.10)-(1.13) в (1.9).

  (1.14)

Учитывая, что I₅=I₃ получим и исключив, таким образом, вспомогательную переменную U_a, получаем следующее выражение для передаточной характеристики:

 (1.15).

Далее вычислим входной импеданс Z_ВХ:

  (1.16)

 

2. Параметрический синтез ARC-цепи

 

Выбор схемной реализации ARC-фильтров зависит от множества факторов: диапазона рабочих частот, стабильности характеристик, энергопотребления, технологии изготовления, условий эксплуатации и т.п. В рамках данной работы предполагается, что схема ARC-фильтра известна (задана руководителем). Тогда задача синтеза ARC-фильтра сводится к задаче параметрического синтеза, т.е. к определению параметров элементов заданной схемы ARC-фильтра по заданным требованиям к его частотным характеристикам или расположению нулей и полюсов.

Проведем параметрический синтез полосового ARC-фильтра в соответствии с электрической схемой, показанной на рисунке 1.1.

Исследуемая RC-цепь имеет следующие параметры:

К₀=0.7;

Q=1.4;

F₀=10000 Гц

w₀=2pF₀=62830 Гц.

Запишем соотношения между коэффициентами полиномов числителя и знаменателя передаточной функции и величинами сопротивлений и емкостей используемых резисторов и конденсаторов:

b₀=b₂=0;  (2.1)

b₁=-C₂R₂R₃;  (2.2)

a₀=R₁+R₂;  (2.3)

a₁= R₁R₂(C₁+C₂); (2.4)

a₂=R₁R₂R₃C₁C_2. (2.5)

Уравнения, связывающие коэффициенты полиномов с параметрами фильтра:

  (2.6)

 (2.7)

   (2.8)

Таким образом, имеем пять неизвестных, а именно: R_1, R_2, R₃ и C_1, C_2, и только три уравнения. Естественно, что система уравнений (2.9) имеет множество решений. Выбор решения, оптимального для конкретного случая, и является задачей параметрического синтеза.

При интегральной технологии изготовления ARC-фильтров, необходимо, чтобы одноименные  элементы имели минимальный разброс параметров. Очевидно, что с этой точки зрения оптимально, если положить

C₁=C₂=C  (2.9).

Подставив (2.9) в (2.7)-(2.8) получим:

  (2.10)

   (2.11)

Примем R₁=1 кОм и с помощью (2.11) вычислим R₃:

Далее используя значения для R₁ и R₃, решая уравнение (2.10), находим R₂:

R₂=217 Ом.

Подставляя вычисленные значения сопротивлений в (2.6) и решая полученное уравнение, находим значения емкостей С:

 (2.12)

Подставим полученные значения в передаточную функцию фильтра

 (2.13)

и его входной импеданс:

  (2.14)

 

3. Расчет частотных и переходных характеристик ARC-цепи

 

3.1 Расчет частотных характеристик

 

Расчет частотных характеристик  будем производить по операторной функции вида:

 (3.1)

Степень полинома числителя m=1.

Коэффициенты числителя

a₀= 0;

a₁= -0.01;

Степень полинома знаменателя n=2.

Коэффициенты знаменателя

b₀= 1217;

b₁= 0.014;

b₂= 3.31е-7.

Расчет будем производить с  помощью программы CHAST.BAS.

Введем следующие параметры:

Имя функции = K_u;

Нaчальное значение частоты f₁= 100 Гц;

Конечное значение частоты f₂= 10⁷ Гц;

Число точек на декаду k= 10.

Полученные частотные характеристики представлены на рисунках 3.1 и 3.2.

 

Рис.3.1 Логарифмическая амплитудно-частотноая характеристика ARC-фильтра

 

 

Рис.3.2 Логарифмическая фазо-частотноая характеристика ARC-фильтра

 

 

Рис.3.3. Амплитудно-фазовая характеристика ARC-фильтра.

 

Из рисунков 3.1-3.3 видно, что ЛАЧХ, ФЧХ и АФХ синтезированного ARC-фильтра соответствуют характеристикам полосового фильтра.

Таблица 3.1 представляет собой таблицу частот полосового ARC-фильтра.

Таблица 3.1.1.

Таблица частот полосового ARC-фильтра.

Частота f, Гц	Модуль H(f)	Фазовый угол, °
100	0.005163001	-90.41001
125.8	0.0065	-90.52001
158.4	0.008184001	-90.64999
199.5	0.0103	-90.82
251.1	0.01297	-91.04
316.2	0.01633	-91.31
398.1	0.02058	-91.65
501.1	0.02592	-92.08
630.9	0.03268	-92.62
794.3	0.04122	-93.3
1000	0.05205	-94.17
1258	0.06584	-95.28
1584	0.08351	-96.70999
1995	0.1064	-98.56
2511	0.1365	-101
3162	0.1771	-104.3
3981	0.234	-109.1
5011	0.3174	-116.3
6309	0.445	-128.5
7943	0.6227001	-150.6
10000	0.7105	174.1
12580	0.5656001	142.3
15840	0.3996	124
19950	0.2878	113.7
25110	0.2142	107.4
31620	0.1632	103.2
39810	0.1262	100.1
50110	0.09866999	97.93999
63090	0.07757	96.23001
79430	0.06121	94.91001
100000	0.04842	93.88
125800	0.03836	93.07
158400	0.03042	92.44
199500	0.02414	91.93
251100	0.01916	91.53
316200	0.01521	91.22
398100	0.01208	90.96
501100	0.00959001	90.76
630900	0.007621	90.61
794300	0.006053	90.48
1258000	0.003819	90.38001
1584000	0.003033	90.29999
1995000	0.002409	90.24001
2511000	0.001914	90.19
3162000	0.00152	90.15
3981000	0.001207	90.12
5011000	0.0009593	90.08999
6309000	0.00762	90.07
7943000	0.0006053	90.06