Повышение вычислительной культуры учащихся

(следствие сочетательного  закона) = (переместительность умножения  (сочетательность умножения) = (переместительность) = (деление произведения на число) = 1680 (умножаем полученные числа).

Чтобы разделить  произведение нескольких чисел на другое произведение, все сомножители которого входят в состав первого произведения, достаточно разделить, каждый из сомножителей первого произведения на соответствующий сомножитель второго произведения, а затем полученные частные и оставшиеся сомножители перемножить.

6. Деление числа на частное.

3200: (800: 32) = 3200: 800: (800: 32) (если данное число разделить на какое-нибудь число, а затем полученное частное умножить на это же число, то данное число останется без изменения)  
= 3200: 32: 32 : (800: 32) (если данное число умножить на какое-либо число (не равное нулю), а затем полученное произведение разделить на это же число, то данное число останется без изменения)  
= 3200: : 32: (800: 32) (переместительность ряда умножений и делений) = 3200: (800: 32): (800: 32) (сочетательность ряда умножения и деления) = 3200: 32 (если данное число умножить на какое-нибудь число (не равное нулю), а затем полученное произведение разделить на это же число, то данное число останется без изменения) = 4 = 128 (делим и умножаем полученные числа).

Чтобы разделить  число на частное, достаточно разделить  его на делимое, а затем полученное частное умножить на делитель.

2.2.6 Деление,  сложение и вычитание

1. Деление суммы на число.

(63028 + 14049): 7 = (63028 + 14049) (чтобы разделить одно число  на другое, достаточно делимое  умножить на число, обратное  делителю) = (распределительность умножения) = 63028: 7 + 14049: 7 (замена умножения делением) = 9004 + 2007 (порядок действий) =11011.

Чтобы разделить  сумму чисел на число, достаточно разделить на него каждое слагаемое  и полученные результаты сложить.

2. Деление разности на число.

1) (36042): 6 = (36042) (чтобы разделить одно число на другое, достаточно делимое умножить на число, обратное делителю) = (умножение разности на число) = 36042: 6: 6 (замена умножения делением) = 6007 (порядок действии) = 3003.

Чтобы разделить  разность чисел на число, достаточно разделить на него уменьшаемое, затем вычитаемое и из первого частного вычесть второе частное.

К указанному способу  по обоснованию близок способ вынесения  общего делителя за скобки.

2) 675: 45 + 225: 45 = (675 + 225): 45 = 900: 45 = 20.

2.3 Приемы устных вычислений, основанные на изучении результата действий в зависимости от изменения компонентов

2.3.1 Сложение  и вычитание

1. Округление одного или нескольких слагаемых.

Этот прием  основан на изменении суммы при  изменении слагаемых.

а) Если одно из слагаемых увеличить (или уменьшить) на несколько единиц (или долей), а другое слагаемое оставить без изменения, то сумма увеличится (или уменьшится) на столько же единиц (или долей). Округляя слагаемое, мы увеличиваем (или уменьшаем) его, а следовательно, и сумму на несколько единиц (или долей). Чтобы сумма не изменилась, надо уменьшить (или увеличить) ее на столько же единиц (или долей).

1199 + 406 = (1200 + 406) = 1605.

б) Если одно из слагаемых увеличить (или уменьшить) на несколько единиц (или долей), другое слагаемое уменьшить (или увеличить) на столько же единиц (или долей), а остальные слагаемые оставить без изменения, то сумма не изменится. Перемещаем несколько единиц (долей) из одного слагаемого в другое, сумма не изменяется.

994 + 196 = 994 + 190 + 6 = (994 + 6) + 190 = 1000 + 190 = 1190.

В том случае, когда одно из слагаемых близко к  разрядной единице (на несколько  единиц больше или меньше) или близко к целому числу (на несколько долей  больше или меньше его), удобнее заменить его разрядной единицей или целым числом, а в полученный от сложения результат внести необходимую поправку.

2. Округление уменьшаемого или вычитаемого.

Этот прием  основан на изменении разности от изменения уменьшаемого или вычитаемого.

а) Если уменьшаемое  увеличить или уменьшить на несколько единиц (или долей), то разность соответственно увеличится или уменьшится на столько же единиц (или долей). Округляя уменьшаемое, мы увеличиваем или уменьшаем его на несколько единиц (или долей), следовательно, и разность увеличивается или уменьшается настолько же единиц (или долей). Чтобы разность не изменилась, надо ее уменьшить или увеличить настолько же единиц (или долей).

1) .

Уменьшаемое увеличено  на несколько единиц, разность, записанная в скобках, должна быть уменьшена  на столько же единиц.

2) .

Уменьшаемое уменьшено  на несколько единиц; записанная в  скобках разность должна быть увеличена  на столько же единиц.

б) Если вычитаемое увеличить или уменьшить на несколько  единиц (или долей), то разность соответственно уменьшится или увеличится на столько же единиц (или долей). Округляя вычитаемое, мы увеличиваем или уменьшаем его, а следовательно, разность уменьшается или увеличивается на несколько единиц (или долей). Чтобы разность не изменилась, надо ее увеличить или уменьшить на столько же единиц (или долей).

1) .

Вычитаемое  увеличено на несколько единиц, записанная в скобках разность должна быть увеличена  на столько же единиц.

2) 7,83 = (7,83 ) + 0,02 = 1,83 + 0,02 = 1,85.

Вычитаемое  увеличено на несколько долей; разность, записанная и скобках, должна быть увеличена на столько же долей.

3) 910 = (910) = 396.

Вычитаемое  уменьшено на несколько единиц, записанная в скобках разность должна быть уменьшена  на столько же единиц.

Итак:

1) При округлении  уменьшаемого:

а) если уменьшаемое  увеличено, разность надо уменьшить;

б) если уменьшаемое  уменьшено, разность надо увеличить.

2) При округлении  вычитаемого:

а) если вычитаемое увеличено, то и разность надо увеличить;

б) если вычитаемое уменьшено, то и разность надо уменьшить.

Выгоднее округлять  вычитаемое, так как разрядное или целое число легко вычитается из любого числа.

Если уменьшаемое  и вычитаемое увеличить или уменьшить  на одинаковое число единиц (долей), то разность не изменится.

.

В данных примерах уменьшаемое и вычитаемое увеличены  на одно и то же число, разность не изменилась.

.

В данных примерах уменьшаемое и вычитаемое уменьшены  на одно и то же число, разность не изменилась.

.

В данных примерах, округляя уменьшаемое, мы уменьшали  разность на несколько единиц (долей); округляя вычитаемое, мы также уменьшали разность на несколько единиц (долей). Следовательно, «округленная» разность должна быть увеличена на такую сумму единиц (долей), на какую мы уменьшили уменьшаемое и увеличили вычитаемое.

3. Арифметическое дополнение. Замена сложения вычитанием и вычитания сложением.

а) Арифметическим дополнением числа называется число, которое нужно прибавить к  данному числу, чтобы получить единицу  непосредственно высшего разряда. Дополнением числа 9247 будет число, которое надо прибавить к 9247, чтобы  получить 10000. Поэтому, чтобы найти дополнение какого-либо числа, надо вычесть это число из единицы со столькими нулями, сколько в числе цифр: 10000 = 753. Таким образом, для получения дополнений надо все цифры данного числа вычитать из 9, за исключением последней справа значащей цифры, которую вычитать из 10. Если находят дополнение числа с нулями на конце, то приписывают столько нулей, сколько их было за последней значащей цифрой.

В замене сложения вычитанием первое слагаемое вычитаем из ближайшего разрядного числа (ищем его дополнение до разрядного числа), полученная разность вычитается из второго слагаемого и результат складывается с разрядным числом.

89 + 47:

1) 100; 2) ; 3) 100 + 36= 136.

Способ замены сложения вычитанием удобен в том  случае, когда дополнение первого слагаемого до разрядного числа легко вычитается из второго слагаемого.

б) В замене вычитания  сложением находим дополнение вычитаемого  до ближайшего разрядного числа и  к нему прибавляем разность между  уменьшаемым и этим разрядным  числом.

112 - 67:

1) ; 2); 3) 12 + 33 = 45.

Этот способ удобен, когда единицы, десятки и  т.д. вычитаемого больше единиц, десятков и т.д. уменьшаемого.

а) Для одновременного производства сложения и вычитания  можно вместо вычитаемых взять их дополнения до одного и того же числа, изображенного единицей с нулями, найти сумму новых слагаемых, а затем ее исправить, вычтя числа, до которых взяты дополнения. . Заменим все три вычитаемых дополнением каждого до 1000 и вычтем столько тысяч, сколько взято дополнений, т.е. 3000: 923 + 804 + 711 + 602 = 40.

Этот способ удобен в том случае, когда цифры  вычитаемых больше пяти.

б) Когда же цифры  вычитаемых меньше пяти, то можно не заменять вычитаемые их дополнениями. В таком случае следует подписать  числа с их знаками одно под  другим.

2.3.2 Умножение и деление

Мы знаем, что  если один из сомножителей увеличить  в несколько раз, а другой уменьшить  во столько же раз, то произведение не изменится. На этом свойстве основывается применение сокращенных способов умножения  на 5, 25, 125 и на другие числа, представляющие собой делители числа, изображаемого единицей с нулями.

1. Умножение на 5, 50, 500 и т.д.

Умножение числа  на 5, 50, 500 и т.д. заменяется умножением на 10, 100, 1000 и т.д. с последующим  делением на 2 полученного произведения. Или: сначала множимое делится на 2, а потом полученное частное умножается на 10, 100, 1000 и т.д.

1) ; ;

2) ;

3) .

2. Умножение на 25, 250, 2500 и т.д.

При умножении  числа на 25, 250, 2500 и т.д. достаточно данное число умножить на 100, 1000, 10000 и т.д. и полученный результат разделить на 4. Или: сначала данное число разделить на 1, затем полученное частное умножить на 100, 1000, 10000 и т.д.

1) ;

2) ;

3) .

3. Умножение на 125, 1250 и т.д.

При умножении  числа на 125, 1250 и т.д. данное число  умножают на 1000, 10000 и т.д., полученное произведение делят на 8. Или: данное число делят на 8 и полученное частное умножают на 1000, 10000 и т.д.

1) 72 = (72: 8) = 9 = 9000, или

72 = (100 + 25) = 100 + 72: 4 = 7200 + 1800 = 9000

4. Умножение на 37.

При умножении  числа на 37, если данное число кратно 3, его делят на 3 и умножают на 111..

Если же данное число не кратно 3, то из произведения вычитают 37 или к произведению прибавляют 37.

2) ;

3) .

Известно, что  если делимое и делитель увеличить  или уменьшить в одинаковое число раз, то частное не изменится. На этом свойстве основывается применение сокращенных способов деления на 5, 25, 125 и на другие числа, представляющие какую-либо часть числа, изображенного единицей с нулями.

5. Деление на 5, 50, 500 и т.д.

Деление числа  на 5, 50, 500 и т.д. заменяется делением на 10, 100, 1000 и т.д. с последующим умножением на 2. Или: делимое умножается на 2 и полученное произведение делится на 10, 100, 1000 и т.д.

1) 8740: 5 = (8740: 10) = 874 = 1748;

2) 197500: 50 = (197500: 100) = 3950;

3) 3,7: 500 = (3,7): (500) = 7,4: 1000 = 0,0074.

6. Деление на 25, 250 и т.д.

При делении  числа на 25, 250 и т.д. достаточно разделить  его на 100, 1000 и т.д. и полученное частное умножить на 4. Или: сначала  делимое умножить на 4, а потом  полученное произведение разделить на 100, 1000 и т.д.

1) 14200: 25 = (14200: 100) = 142 = 568;

2) 14, 4: 25 = (14,4: 100) = 0,144 = 0,576, или

14,4: 25 = (14,4): (25) = 57,6: 100 = 0,576.

7. Деление на 125, 1250 и т.д.

При делении  числа на 125, 1250 и т.д. достаточно разделить его на 1000, 10000 и т.д. и полученное частное умножить на 8. Или: сначала делимое умножить на 8, а потом полученное произведение разделить на 1000, 10000 и т.д.

1) 35000: 125 = (35000: 1000) = 35 = 280;

2) 32250: 125 = (32250): (125) = 258000: 1000 = 258.

2.3.3 Умножение,  сложение и вычитание

1. Округление одного из сомножителей.

Если один из двух сомножителей увеличить или  уменьшить на несколько единиц (долей), то произведение соответственно увеличится или уменьшится на число, равное произведению другого сомножителя на прибавляемое или вычитаемое число единиц.