Методы аппроксимации

где: μ_i – коэффициенты, уравновешивающие размерности величин Δx_i0.

Если с течением времени limΔx_i→0, то система асимптотически устойчива.

Понятие о характеристическом уравнении

Было сказано, что устойчивость системы связана с природой самой  системы, а не с тем, как внешние  источники движущих сил (задание, помехи) заставляют перемещаться ее координаты. Очевидно, что невозможно описать  цепь преобразования энергии (систему) не учитывая источников. Поэтому в  правой части ДУ описывающих систему  всегда будут присутствовать источники  движущих сил (вспомните как записываются уравнения по II закону Кирхгофа). Однако если их обнулить, то система ДУ не потеряет смысла. После отключения источников в любой линейной цепи преобразования энергии возникнет переходный процесс обусловленный энергией, которую накопили пассивные реактивные элементы цепи (собственный переходный процесс). Именно он определит, будет ли система устойчивой. И именно эта система ДУ, в которой обнулены величины источников движущих сил, называется характеристической. Если система характеристических ДУ решена относительно одной из координат, то она называется характеристическим уравнением.

Условие устойчивости. Типы границы устойчивости

Устойчивость систем зависит  от корней характеристического уравнения, поскольку его решение есть сумма  экспоненциальных функций:

y_перех(t)=C₁e^s₁^t+C₂e^s₂^t+…+C_ne^s_n^t.

Рассмотрим варианты свободного движения систем от ненулевого начального положения:

Заметим, что:

C₁e^−(α+jβ)t+C₂e^{−(α−jβ)t}=Ae^−αtsin(βt+φ),

где: A и φ – новые постоянные интегрирования, α – показатель затухания, β – круговая частота затухающих колебаний.

Таким образом, для затухания переходного  процесса и устойчивости линейной системы  необходимо и достаточно, чтобы вещественные части корней были отрицательными, те лежали слева от мнимой оси плоскости  корней.

Система будет находиться на границе устойчивости при наличии:

• нулевого корня,
• пары чисто мнимых корней,
• бесконечного корня.

Необходимое условие  устойчивости САР, 
достаточное только для систем 1-ого и 2-ого порядков

Чтобы корни ХУ имели отрицательные  вещественные части, необходимо чтобы  все его коэффициенты были положительны. Однако это условие является достаточным  только для систем 1-ого и 2-ого  порядков. Док-во:

ХУ

a₀sⁿ+a₁sⁿ⁻¹+…+a_n−1s+a_n=0,

представим в виде:

a₀(s−s₁)(s−s₂)…(s−s_n−1)(s−s_n)=0,

где: s₁,s₂,…s_n−1,s_n – корни.

В устойчивой системе вещественные части корней отрицательны. Подставим  такие корни: s₁=−α₁; s₂=−α₂; s₃₄=−α₃±jβ…:

a₀(s+α₁)(s+α₂)(s+α₃−jβ)(s+α₃+jβ)…= 
=a₀(s+α₁)(s+α₂)((s+α₃)²+β²)…=0

Если раскрыть скобки и  вернутся к стандартному виду ХУ, то все коэффициенты уравнения получатся  положительными.

Критерий устойчивости Найквиста

Чтобы система в замкнутом состоянии  была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы при изменении ω от -∞ до +∞ годограф разомкнутой системы W(jω) (АФХ), поворачиваясь вокруг начала координат по часовой стрелке, охватил точку (−1,j0) столько раз, сколько корней в правой полуплоскости содержит знаменатель W(jω).

Примечания:

1. Если корней в правой полуплоскости нет, то годограф W(jω) не должен охватить точку (−1,j0).
2. Неустойчивая система в разомкнутом состоянии может быть устойчивой в замкнутом состоянии. И наоборот.
3. Годограф W(jω) всегда начинается на оси "+1". Но при порядке астатизма равном r, по причине устремления W(jω) к ∞ (приω→0), видимая часть годографа появляется только в квадранте r, отсчитанном по часовой стрелке.

Док-во:

 Рассмотрим ПФ для статической САР сдвинутую на величину (−1,j0):

W₁(s)=1+W(s)=Q(s)/Q(s)+R(s)/Q(s)=D(s)/Q(s),

в ней D(s) – характеристический полином, Q(s) пусть не имеет корней в правой полуплоскости (пусть W(s) устойчива).

Рассмотрим  угол поворота годографа W₁(s). Он равен φ=φ₁(D(jω))−φ₂(Q(jω)). Поскольку степень полинома R(s) всегда меньше степени полинома Q(s), то степени полиномов числителя и знаменателя ПФ W₁(s) равны. Следовательно, при изменении ω от -∞ до +∞ имеем: φ₁(D(jω))=nπ (по критерию Михайлова), φ₂(Q(jω))=nπ (по предположению об отсутствии корней в правой полуплоскости у полинома Q(s)). Т.е. φ=nπ−nπ=0. Другими словами для устойчивости САР в замкнутом состоянии W₁(jω) не должна охватывать начала координат, а функция W(jω) – точку (−1,j0).

 Если знаменатель будет содержать l корней в положительной полуплоскости, то угол поворота годографа W(jω) должен составить величину:

φ=φ₁(D(jω))−φ₂(Q(jω))=nπ−[(n−l)π−lπ]=l2π,

что и требовалось  доказать.

1. Свойства годографа Найквиста

1. Годограф Найквиста спиралевиден.
2. При ω→∞ годограф W(jω)→0, т.к. нет безынерционных систем.
3. Годограф статических САР начинается из точки на вещественной оси.
4. Для положительных и отрицательных частот годографы зеркально симметричны относительно оси "+1".
5. Наличие корней на границе устойчивости приводит к устремлению годографа в ∞ и приращению его фазы на −180°.

2. Примеры годографов Найквиста статических САР (ω∈[0…+∞))

1. САР на колебательной границе устойчивости.
2. Абсолютно устойчивая САР (устойчива при любом уменьшении K).
3. Неустойчивая САР.
4. Условно устойчивая САР (только при изменении K в некотором диапазоне).

2. Расчет и исследование линейной системы регулирования

Задание: Рассчитать систему управления температурой горячего дутья. Управляющее воздействие - положение смесительного клапана.

Рис. 2. Реальная переходная характеристика объекта управления

2.1 Аппроксимация переходной  характеристики объекта.

Рис. 3. Переходная характеристика объекта управления

 

 

Исследовав переходную характеристику объекта получили следующие характеристики:

t_рег= 7c.

k_o= 0,8

T_o= 4с.

τ_ч= 0с.

τ_п=1с.

τ_o= 1с.

2.1.1  Аппроксимация моделью первого порядка

Расчет производился по формулам представленным в пункте 1.1.1 а.

W_o(p) = k_oe^-pτ'°/(T'_op+ 1);

где:

Т_о' = 0,64Т_о=2,56;

τ^'₀ ≈τ₀ -0.11T₀=0,56;  

таким образом, передаточная функция равна:

;

Смоделируем систему с  этим объектом в программе Matlab с использованием функции Simulink. Переходная характеристика, аппроксимированного таким звеном объекта, представлена на рис. 4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4. Переходный процесс для объекта, аппроксимированного инерционным звеном первого порядка.

2.1.2 Аппроксимация моделью второго  порядка с одинаковыми постоянными времени

Расчет производился по формулам представленным в пункте 1.1.2 б.

;

где:

T_oi = T_o/2.72=1,47;

 τ^'₀= τ₀–0.107 Т_о=0.6;

таким образом, передаточная функция равна:

;

Смоделируем систему с  этим объектом в программе Matlab с использованием функции Simulink. Переходная характеристика, аппроксимированного таким звеном объекта, представлена на рис. 5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5. Переходный процесс для объекта, аппроксимированного инерционным звеном второго порядка с одинаковыми постоянными времени

2.1.3 Аппроксимация моделью второго  порядка с разными постоянными времени

Расчет производился по формулам представленным в пункте 1.1.2 б.

;

Смоделируем систему с  этим объектом в программе Matlab с использованием функции Simulink. Переходная характеристика, аппроксимированного таким звеном объекта, представлена на рис. 6.

Рис. 6. Переходный процесс для объекта, аппроксимированного инерционным звеном второго  порядка с разными постоянными времени

 

 

 

 

 

 

2.1.4 Аппроксимация объекта по  методу Симою

Расчет производился в  программе “Excel” по формулам представленным в пункте 1.1.1. Данные полученные в процессе расчета занесены в таблицу 2.

Таблица 2. Расчетные данные

Время t, с	Температура ∆Х ˚С	σ (i ∆t)	1 - σ (i ∆t)	θ = t / F1	1 - θ	(1 - σ) (1 - θ)	1 - 2θ + θ²/2	(1 - σ) (1 - 2θ + θ²/2)
1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	0,000	1,000	0,000	1,000	1,000	1,000	1,000
1	0,06	0,067	0,933	0,275	0,725	0,676	0,487	0,455
2	0,18	0,200	0,800	0,550	0,450	0,360	0,051	0,040
3	0,38	0,422	0,578	0,826	0,174	0,101	-0,310	-0,179
4	0,58	0,644	0,356	1,101	-0,101	-0,036	-0,596	-0,212
5	0,7	0,778	0,222	1,376	-0,376	-0,084	-0,805	-0,179
6	0,78	0,867	0,133	1,651	-0,651	-0,087	-0,939	-0,125
7	0,8	0,889	0,111	1,927	-0,927	-0,103	-0,997	-0,111
Σ =			4,133			1,828		0,689

 

F₁=3,633

F₂=4,823

F₃=2,497

 

Получена следующая передаточная функция:

 

 

Смоделируем систему с  этим объектом в программе Matlab с использованием функции Simulink. Переходная характеристика, аппроксимированного таким звеном объекта, представлена на рис. 7.

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 7. Переходный процесс для объекта, аппроксимированного инерционным звеном третьего порядка по методу Симою

2.1.5 Выбор лучшей модели объекта

Лучше всех повторяет реальную переходную характеристику объекта, переходная характеристика инерционного звена третьего порядка, полученного по методу Симою. Эту модель будем использовать для моделирования процесса регулирования.

2.2 Расчет настроек регулятора

2.2.1 Расчет настроек регулятора по методу динамической компенсации

Для расчета использовался  объект рассчитанный по методу Симою

Расчет производился по формулам представленным в пункте 1.2.2

 

Передаточная функция  регулятора вычисляется по формуле 21:

 

 

 

В итоге передаточная функция  регулятора примет вид:

 

W_p(p)=

 

Переходная характеристика системы с таким регулятором  и объектом аппроксимированным по методу Симою идентична характеристики объекта, посчитанного тем же способом.(см рис. 7) .

 

2.3 Моделирование  и исследование системы регулирования

Моделирование системы производилось  в программе Matlab с помощью функции Simulink.

C помощью программы Matlab исследуем реакцию системы на задающего воздействия.

Подадим ступенчатое задающее воздействие.

Рис. 8. Переходный процесс, при ступенчатом задающем воздействии

 

 

 

 

 

 

 

Подадим линейное задающее воздействие.

 

Рис. 9. Переходный процесс, при линейном задающем воздействии

Подадим синусоидальное задающее воздействие.

Рис. 10. Переходный процесс, при синусоидальном задающем воздействии.

 

 

 

 

 

 

2.4 Получение  АЧХ

C помощью программы Matlab получим АЧХ системы по нагрузке, управлению и задающему воздействию. Они отражены на рисунках 11,12,13

Рис.11 АЧХ по нагрузке

Рис.12 АЧХ по задающему  воздействию

Рис.13 АЧХ по управлению