Принятие решений в условиях объективно существующей неопределенности и риска

 Перечисленные критерии  базируются на том, что лицу, принимающему решение, не противостоит  разумный противник. В случае, когда в роли противника выступает  природа, нет оснований предполагать, что она стремится причинить  вред лицу, принимающему решение. 

 При наличии разумного  противника, интересы которого противоречат  интересам лица, принимающего решения  (например, в военных действиях  противоборствующие армии являются  разумными противниками), для построения  подходящего критерия требуется  специальный подход. Эти вопросы  рассматриваются в теории игр. 

 Данные, необходимые для  принятия решений в условиях  неопределенности, задаются в форме  матрицы, строки которой соответствуют  действиям, а столбцы - возможным  состояниям системы. 

 Каждому действию и  каждому возможному состоянию  системы соответствует результат  (исход), определяющий выигрыш (или  потери) при выборе данного действия  и реализации данного состояния. 

 Пусть ai (i=1,2, ... , m)

 и q j представляет возможное  состояние j ( j=1,2, ... ,n),

n ( ai , q j ) - описывает соответствующий  результат. 

 В общем случае n ( ai , q j ) может быть непрерывной функцией ai и q j .

 В дискретном случае  указанные данные представляются  в форме матрицы.   q 1   q 2   ...   q n

a1   n (a1 ,q 1)   n (a1 ,q 2)   ...   n (a1 ,q n)

a2   n (a2 ,q 1)   n (a2 ,q 2)   ...   n (a2 ,q n)

 ...   ...   ...   ...   ...

am   n (am ,q 1)   n (am ,q 2)   ...   n (am ,q n)

 

Критерий Лапласа 

 Этот критерий опирается  на известный принцип недостаточного  обоснования. Поскольку вероятности  состояний q 1, q 2, ... ,q n не известны, необходимая информация для вывода, что эти вероятности различны, отсутствует. В противном случае  можно было бы определить эти  вероятности и ситуацию уже  не следовало рассматривать как  принятие решения в условиях  неопределенности. Так как принцип  недостаточного обоснования утверждает  противоположное, то состояния  q 1, q 2, ...,q n имеют равные вероятности.  Если согласиться с приведенными  доводами, то исходную задачу  можно рассматривать как задачу  принятия решений в условиях  риска, когда выбирается действие ai , дающее ожидаемый выигрыш. 

 Другими словами, находится  действие ai* , соответствующее 

 

- вероятность реализации  состояния q j ( j=1,2, ... ,n),

 Пример. Одно из предприятий  должно определить уровень предложения  услуг так, чтобы удовлетворить  потребности клиентов в течение  предстоящих праздников. Точное  число клиентов не известно, но  ожидается, что оно может принять  одно из четырех значений: 200, 250, 300 или 350 клиентов. Для каждого  из этих возможных значений  существует наилучший уровень  предложения (с точки зрения  возможных затрат). Отклонения от  этих уровней приводят к дополнительным  затратам либо из-за превышения  предложения над спросом, либо  из-за неполного удовлетворения  спроса.

 В таблице приведены  потери в тысячах долларов.

 Клиенты 

 Уровень предложения    q 1   q 2   q 3   q 4

a1   5   10   18   25

a2   8   7   8   23

a3   21   18   12   21

a4   30   22   19   15

 

 Принцип Лапласа предполагает, что q 1, q 2, q 3, q 4 равновероятны. 

 Следовательно, P{q =q j } =1/4, j= 1, 2, 3, 4, и ожидаемые потери при  различных действиях a1, a2, a3, a4 составляют 

E{a1}= (1/4)(5+10+18+25)=14,5

E{a2}= (1/4)(8+7+8+23)=11,5

E{a3}= (1/4)(21+18+12+21)=18,0

E{a4}= (1/4)(30+22+19+15)=21,5

 Таким образом, наилучшим  уровнем предложения в соответствии  с критерием Лапласа будет  a2.

Минимаксный (максиминный) критерий

 Является наиболее  осторожным, поскольку основывается  на выборе наилучшей из наихудших  возможностей. Если результат n (ai , q j) представляет потери лица, принимающего  решение, для действия ai наибольшие  потери независимо от возможного  состояния q j будут равны 

 

 В этом случае критерий  называется максиминным. 

 Пример. Рассмотрим предыдущий  пример. Так как n (ai , q j) представляют  потери, применим минимаксный критерий. Результаты вычислений представим  в виде следующей таблицы.   q 1   q 2   q 3   q 4  

a1   5   10   18   25   25

a2   8   7   8   23   23

a3   21   18   12   21   21

a4   30   22   19   15   30

 

 

 Минимаксной стратегией  будет a3 .

 Подходы к учету  неопределенности при описании  рисков. В теории принятия решений  в настоящее время при компьютерном  и математическом моделировании  для описания неопределенностей  чаще всего используют такие  математические средства, как: 

- вероятностно-статистические  методы,

- методы статистики нечисловых  данных, в том числе интервальной  статистики и интервальной математики, а также методы теории нечеткости,

- методы теории конфликтов (теории игр).

 Они применяются в  имитационных, эконометрических, экономико-математических  моделях, реализованных обычно  в виде программных продуктов. 

 Некоторые виды неопределенностей  связаны с безразличными к  организации силами - природными (погодные  условия) или общественными (смена  правительства). Если явление достаточно  часто повторяется, то его естественно  описывать в вероятностных терминах. Так, прогноз урожайности зерновых  вполне естественно вести в  вероятностных терминах. Если событие  единично, то вероятностное описание  вызывает внутренний протест,  поскольку частотная интерпретация  вероятности невозможна. Так, для  описания неопределенности, связанной  с исходами выборов или со  сменой правительства, лучше использовать  методы теории нечеткости, в частности,  интервальной математики (интервал  – удобный частный случай описания  нечеткого множества). Наконец, если  неопределенность связана с активными  действиями соперников или партнеров,  целесообразно применять методы  анализа конфликтных ситуаций, т.е.  методы теории игр, прежде всего  антагонистических игр, но иногда  полезны и более новые методы  кооперативных игр, нацеленных  на получение устойчивого компромисса. 

 Иногда под уменьшением  риска понимают уменьшение дисперсии  случайной величины, поскольку при  этом уменьшается неопределенность. В теории принятия решений  риск - это плата за принятие  решения, отличного от оптимального, он обычно выражается как математическое  ожидание. В экономике плата измеряется  обычно в денежных единицах, т.е.  в виде финансового потока (потока  платежей и поступлений) в условиях  неопределенности.

Критерий Сэвиджа 

 Этот критерий характеризуется  крайней осторожной (пессимистической) позицией к возможным потерям  из-за отсутствия достоверных  сведений о том, какая из  ситуаций,  влияющих на экономический  результат, будет иметь место  в конкретном случае. Реализуется  применительно к матрице рисков  и потерь.

 Матрица потерь строится  следующим образом: 

1.Находим наибольшее значение  по каждому случайному событию  Qi

2. Выписываем их в качестве  утопических точек отдельно 

3.Вычитаем из каждой  такой утопической точки соответствующие  этому случайному события Хi (пример: для Q1: Xy-X1,Xy-X2,Xy-X3.....).

4.Получаем новую матрицу  потерь.

 В рамках такого  подхода функция, задающая семейство  «линий уровня» определяется  равенством:

 F(u,v,......,z)= max(ay-u, ay-v,......, ay-z)

 Целевая функция критерия:

Zs=min(Ki), где Ki=max(Lij), Lij=max(Aij)-Ay, где (Lij) – матрица потерь

 i – вариант возможного решения ЛПР

j – вариант возможной  ситуации 

Aij – доход ЛПР, если  будет принято решение i, а ситуация  сложится j

 А = (Aij) – матрица  полезностей. 

(Lij) – соответствующая  матрица рисков или потерь 

 

Критерий Гурвица 

 Критерий Гурвица –  это взвешенная позиция “пессимизма-оптимизма”.

 При  С =1  - критерий  Гурвица просто соответствует  Максиминному критерию.

 Составные критерия  принятия решений в условиях  неопределенности.

 Шаг А: требования  к допустимому риску. 

 Вот на этом шаге  уточняется критический уровень  дохода(или потерь), приемлемый для  ЛПР в конкретной ситуации. За  основу бреется опорное значение  для выбранного опорного критерия. После задается допустимое для  ЛПР максимально возможное отклонение  Едоп>0 от опорного значения(в  худшую сторону).

 Шаг Б: блокировка  решений с недопустимом риском.

 Вот на этом шаге  удаляются из исходной матрицы  все решения, который не подходят  требованиям ЛПР, которые предъявляются  к допустимому риску применительно  к анализируемой ситуации.

 Шаг В: требования  к компенсации за риск.

 Этот шаг уточняет  требования к анализируемым решениям, для которых баланс между риском  потерь( при -) и компенсации( при  +) является приемлемым для ЛПР. 

 Шаг Г: блокировка  решений с недостаточной компенсацией  риска. 

 Вот на этом шаге  из матрицы полезностей(которая  будет получена после шага  Б) удаляются все решения, которые  не соответствуют требованиям  ЛПР. 

 Шаг Д: выбор оптимального  решения. 

 И наконец, на этом  шаге для оставшейся «урезанной»  матрицы находится оптимальное  решение по заранее оговоренном  критерию. Это найденное решение  и будит являться оптимальным  выбором для соответствующего  составного критерия.

 Последствия решений  менеджера, экономиста, инженера  проявятся в будущем. А будущее  неизвестно. Мы обречены принимать  решения в условиях неопределенности. Мы всегда рискуем, поскольку  нельзя исключить возможность  нежелательных событий. Но можно  сократить вероятность их появления.  Для этого необходимо спрогнозировать  дальнейшее развитие событий,  в частности, последствия принимаемых  решений. 

 Задача №1.

 Предприятие выпускает  два вида продукции: А и В.  При этом используются pecypcы: Rl, R2 и R3. Нормы расхода на ресурсы  составляют соответственно:

R1: a1, a2

R2: b1,b2

R3: c1, c2

 Рыночная цена продукции  А составляет-Р1, продукции В-Р2. Необходимо  принять решение относительно  плана выпуска продукции обеспечивающего  максимальный доход. Оценить устойчивость  выбранного решения относительно  колебания цен на продукцию.  Объемы ресурсов: Rl -Vl, R2-V2, R3-V3  Вариант    al   а2   bl   Ь2   cl   с2   Р1   Р2   VI   V2   V3

12   3   5   2   1   4   6   3   2   30   20   48

 

 Обозначим  - количество  продукции А,  - Количество продукции  В. 

 Найти Х=( , ), удовлетворяющие  системе 

3х1+5х2 ≤ 30 -количество  ресурса  

2х1+х2 ≤ 20 -количество  ресурса  

4х1+6х2 ≤ 48 - количество  ресурса  

 и условию  

 при котором функция  дохода принимает максимальное  значение.

V = P1  + P2  = 3 + 2  → max

 Формулировка задачи.

 Графический метод. 

 Построим ОДЗ  и  

 Неравенства ,  задают  первый квадрант координатной  плоскости. 

 Неравенство 3x1+5x2£30 задает  полуплоскость, расположенную под  прямой 3x1+5x2=30, включая эту прямую.

 Неравенство 2x1+x2£20 задает  полуплоскость, расположенную под  прямой 2x1+x2=20, включая эту прямую.

 Неравенство 4x1+6x2£48 задает  полуплоскость, расположенную под  прямой 4x1+6x2=48, включая эту прямую.

 Таким образом, получаем, что множество точек, удовлетворяющее  всем неравенствам, Область ОАВС.

 Построим вектор N{3;2}. Его  проекция на ось  равна 3, на ось  2.

 Поскольку необходимо  найти максимум функции V, будем  перемещать прямую l, перпендикулярно  вектору H, от начала к концу  вектора H, т.е. в направлении  возрастания функции V. Перейдя  в точку В, прямая l окажется  на выходе из многоугольной  области ОАВС. Точка В – (крайняя)  последняя точка области при  движении в направлении вектора  H, поэтому значение функции V в  этой точке будет наибольшим  по сравнению с ее значениями  в других точках области. 

 Поскольку точка В  – точка пересечения первой  и второй прямой, то ее координаты  можно найти, решая систему  уравнений: 

                                                   ì 3x1 +5x2  = 30

                                                   í 

                                                   î 2 + = 20

 Выразим из второго  уравнения :

x2 = 20-2x1

 И подставим в первое  уравнение 

3x1+5(20-2x1) = 30

 Откуда x1 = 10

 Подставив  в выражение  для , получим x2 = 0

 Таким образом оптимальное  решение – точка В (10,0)

 Оценим устойчивость  выбранного решения относительно  колебания цен на продукцию. 

 Функция V=3x1+2x2 достигает  максимального значения в угловой  точке В. При изменения коэффициентов  целевой функции  точка В  останется точкой оптимального  решения до тех пор, пока  угол наклона прямой l будет лежать  между углами наклона двух  прямых, пересечением которых является  точка В. Этими прямыми являются  (ограничение на ресурс R1) и  (ограничение  на ресурс R2).

 Алгебраически записывается:

3/5£ P2/P1 £ 2/1 

0,6 £ P2/P1 £ 2  

 Таким образом найденное  решение будет оптимальным, пока  отношение цены продукции А  к цене продукции В будет  находиться в диапазоне от 0,6 до 2.

 Задача 2 (Многокритериальная  задача)

 Используя условие  задачи 1, найти план работы при  котором достигается: 

 А) Максимум дохода 

 Б) Минимум затрат  ресурсов (в натуральном выражении) 

 В) Максимум выпуска  продукции А в натуральном  выражении 

 Задача решается методом  уступок Величина уступок выбирается  студентом. 

 Решение 

 Как было показано  в задаче 1, максимум выручки V = P1  + P2  = 3 + 2  → max достигается  в точке В (15, 75).

 Минимум затрат ресурсов  определяется минимумом целевой  функции: 

R= (3+4+2)x1 + (5+1+6)x2 = 9x1+12x2 → min

 Поскольку ограничения  на минимальный объем продукции  не заданы, то минимум затрат  ресурсов будет достигаться при  полном прекращении выпуска продукции,  т.е. когда  и . Это же видно  из рассмотрения области ОАВС  на рис. 1. Соответственно минимум  функции затрат ресурсов R=0.

 В оптимальной по  критерию максимума выручки точке  В (10,0) целевая функция принимает  значение:

V= 3x1+2x2 =3*10+2*0 =30

 Примем величину уступки  90%

90%V=30*0,9 =27

 То есть 

 V= 3x1+2x2 =27

 Нанесем прямую  3x1+2x2 =27 на  график (рис. 2)

 Для поиска минимума функции  R=9x1+12x2 построим вектор М{9;12}. Его  проекция на ось  равна 9, на ось  12.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Разработка и реализация управленческих решений в условиях неопределенности и риска